2022-2023学年河南省开封市金兰职业中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 直线在轴上的截距是
A.1 B. C. D.
参考答案:
D
2. 设集合,则下列关系成立的是
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 在等比数列中,, 若对正整数都有, 那么公比的取值范围是
A . B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点,且有,那么 的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 观察式子:,…,则可归纳出式子为( )
A、 B、
C、 D、
参考答案:
解析:用n=2代入选项判断. C
6. 函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】函数的图象.
【分析】根据指数函数,对数函数和一次函数的图象和性质分别进行判断即可.
【解答】解:对于A:由指数函数和对数函数的单调性可知a>1,此时直线y=x+a的截距不满足条件.
对于B:指数函数和对数函数的单调性不相同,不满足条件.
对于C:由指数函数和对数函数的单调性可知0<a<1,此时直线y=x+a的截距满足条件.
对于D:由指数函数和对数函数的单调性可知0<a<1,此时直线y=x+a的截距a>1不满足条件.
故选:C.
7. 过点(1,0)且与直线垂直的直线方程是 .
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
根据与已知直线垂直的直线系方程可假设直线为,代入点解得直线方程.
【详解】设与直线垂直的直线为:
代入可得:,解得:
所求直线方程为:,即
本题正确选项:A
【点睛】本题考查利用两条直线的垂直关系求解直线方程的问题,属于基础题.
8. 若集合A={0,1,2,4},B={1,2,3},则A∩B=( )
A.{0,1,2,3,4} B.{0,4} C.{1,2} D.{3}
参考答案:
C
【考点】交集及其运算.
【专题】集合.
【分析】直接利用交集的运算得答案.
【解答】解:∵A={0,1,2,4},B={1,2,3},
∴A∩B={0,1,2,4}∩{1,2,3}={1,2}.
故选:C.
【点评】本题考查交集及其运算,是基础题.
9. 已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=﹣(x﹣1)2+1,满足f[f(a)]=的实数a的个数为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
参考答案:
D
考点: 函数奇偶性的性质.
专题: 计算题.
分析: 令f(a)=x,则f[f(a)]=转化为f(x)=.先解f(x)=在x≥0时的解,再利用偶函数的性质,求出f(x)=在x<0时的解,最后解方程f(a)=x即可.
解答: 解:令f(a)=x,则f[f(a)]=变形为f(x)=;
当x≥0时,f(x)=﹣(x﹣1)2+1=,解得x1=1+,x2=1﹣;
∵f(x)为偶函数,
∴当x<0时,f(x)=的解为x3=﹣1﹣,x4=﹣1+;
综上所述,f(a)=1+,1﹣,﹣1﹣,﹣1+;
当a≥0时,
f(a)=﹣(a﹣1)2+1=1+,方程无解;
f(a)=﹣(a﹣1)2+1=1﹣,方程有2解;
f(a)=﹣(a﹣1)2+1=﹣1﹣,方程有1解;
f(a)=﹣(a﹣1)2+1=﹣1+,方程有1解;
故当a≥0时,方程f(a)=x有4解,由偶函数的性质,易得当a<0时,方程f(a)=x也有4解,
综上所述,满足f[f(a)]=的实数a的个数为8,
故选D.
点评: 本题综合考查了函数的奇偶性和方程的解的个数问题,同时运用了函数与方程思想、转化思想和分类讨论等数学思想方法,对学生综合运用知识解决问题的能力要求较高,是高考的热点问题.
10. (5分)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的点()
A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动1个单位长度 D. 向右平行一定1个单位长度
参考答案:
A
考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: 根据 y=sin(2x+1)=sin2(x+),利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.
解答: ∵y=sin(2x+1)=sin2(x+),∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,
即可得到函数y=sin(2x+1)的图象,
故选:A.
点评: 本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系xOy中,300°角终边上一点P的坐标为(1,m),则实数m的值为 .
参考答案:
﹣
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义、诱导公式,可得tan300°=﹣=,从而求得m的值.
【解答】解:在平面直角坐标系xOy中,∵300°角终边上一点P的坐标为(1,m),
∴tan300°=tan=﹣tan60°=﹣=,∴m=﹣,
故答案为:﹣.
12. 若,则的值为
参考答案:
-1
13. 在R上为减函数,则的取值范围 .
参考答案:
14. ( 5分)计算cos315°的值是 .
参考答案:
考点: 运用诱导公式化简求值.
专题: 三角函数的求值.
分析: 利用诱导公式化简求值即可.
解答: 由于cos315°=cos(360°﹣45°)=cos45°=;
故答案为:.
点评: 本题考查运用诱导公式化简求值,属于基础题.
15. 设函数若,则x0的取值范围是________.
参考答案:
(-∞,-1)∪(1,+∞)
略
16. 已知数列满足:,定义使为整数的数叫做企盼数,则区间内所有的企盼数的和为 .
参考答案:
2026
略
17. 设函数在R上是减函数,则的
范围是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知向量,,0<β<α<π.
(1)若,求的夹角θ的值;
(2)设,若,求α,β的值.
参考答案:
【考点】9R:平面向量数量积的运算;9S:数量积表示两个向量的夹角.
【分析】(1)由向量的坐标减法运算求得,再由,两边平方后整理可得cosαcosβ+sinαsinβ=0,即,从而得到与的夹角为90°;
(2)由向量相等的条件可得,结合平方关系及角的范围即可求得α,β的值.
【解答】解:(1)由,,
得,
由=2﹣2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2,
得:cosαcosβ+sinαsinβ=0,
∴,
∴与的夹角为;
(2)由,
得:,①2+②2得:,
∵0<β<α<π,
∴0<α﹣β<π,
∴,,
代入②得:,
∵,
∴,得β=,.
综上所述,,.
19. 已知向量,函数的最大值为6.
(1)求A的值及函数图象的对称轴方程和对称中心坐标;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的值域.
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算;正弦函数的单调性;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】(1)根据向量的数量积公式和三角形函数的化简求出f(x),再求出对称轴方程和对称中心坐标,
(2)根据图象的变换可得g(x),再根据正弦函数的性质求出函数的值域.
【解答】解:(1)∵,
∴=Asinxcosx+cos2x=Asin(2x+),
∵函数的最大值为6,
∴A=6,
∴对称轴方程为,对称中心坐标为;
(2)∵函数y=f(x)的图象向左平移个单位,
再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,
∴,
∵x∈,
∴4x+∈[,],
∴sinx∈[﹣,1],
∴值域为[﹣3,6].
17.(8分)已知, ,为锐角,
求 (1)的值.(2)的值.
参考答案:
17. (1)=
(2)=
略
21. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:.
⑴若圆E的半径为2,圆E与x轴相切且与圆C外切,求圆E的标准方程;
⑵若过原点O的直线l与圆C相交于A、B两点,且,求直线l的方程.
参考答案:
(1) 或 (2)
【分析】
(1)设出圆的标准方程为,由圆与轴相切,可得,由圆与圆外切,可得两圆心距等于半径之和,由此解出,,的值,得到圆的标准方程;
(2)法一:设出点坐标为,根据,可得到点坐标,把、两点坐标代入圆方程,解出点坐标,即可得到直线的方程;
法二:设的中点为,连结,,设出直线的方程,由题求出的长,利用点到直线的距离即可得求出值,从而得到直线的方程
【详解】⑴设圆的标准方程为,故圆心坐标为,半径;
因为圆的半径为2,与轴相切,所以①
因为圆与圆外切
所以,即②
由①②解得
故圆的标准方程为或
⑵方法一;设
因为,所以为的中点,从而
因为,都在圆上
所以
解得或
故直线的方程为:
方法二:设的中点为,连结,
设,
因为,所以
在中,③
在中,④
由③④解得
由题可知直线的斜率一定存在,设直线的方程为
则,解得
故直线的方程为
【点睛】本题考查圆的标准方程与直线方程,解题关键是设出方程,找出关系式,属于中档题。
22. (本题满分14分)已知
(1)求的最小值及取最小值时的集合;
(2)求在时的值域;
(3)求在时的单调递减区间;
参考答案:
化简得 4分
最小值为 5分
的集合为 7分
(2)当时,, 10分
(3)当即
14分