吉林省长春市吉大中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 经过点P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为(　　) A.x＋2y－6＝0 B.2x＋y－6＝0 C. x－2y＋7＝0 D.x－2y－7＝0 参考答案： B 2. 已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于(     ) A．30° B．30°或150°     C．60° D．60°或120° 参考答案： D 3. 若一个球的表面积为12π，则它的体积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何． 【分析】直接利用球的表面积公式，求出球的半径，即可求出球的体积． 【解答】解：设球的半径为r， 因为球的表面积为12π， 所以4πr2=12π，所以r=， 所以球的体积V==4π． 故选：A． 【点评】本题考查球的表面积、体积公式的应用，考查计算能力． 4. 将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2016﹣5=（　　） A．2 018×2 014 B．2 018×2 013 C．1 011×2 015 D．1 010×2 012 参考答案： C 【考点】归纳推理． 【分析】根据前面图形中，编号与图中石子的个数之间的关系，分析他们之间存在的关系，并进行归纳，用得到一般性规律，即可求得结论． 【解答】解：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为： n=1时，a1=2+3=×（2+3）×2； n=2时，a2=2+3+4=×（2+4）×3； … 由此我们可以推断： an=2+3+…+（n+2）= [2+（n+2）]×（n+1） ∴a2016﹣5=×[2+]×﹣5=1011×2015． 故选C． 5. 在一个数列中,若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数(有限数列最后一项除外),则称该数列为等积数列,其中常数称公积.若数列是等积数列,且,公积为6,则的值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 6. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C北偏东，灯塔B在观察站C南偏东，则A、B之间的距离是（　　） A．a km B． km C． km   D．2a km 参考答案： A 7. 已知1，，2…为等比数列，当时，则 A. 6                      B. 7                      C. 8                      D. 9 参考答案： C 8. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线A1 D与BE所成角的余弦值为（       ） A．                B．               C．       D． 参考答案： A 9. 已知平面向量，且，则m的值为 (      )  A．1      B．-1      C．4     D．-4 参考答案： D 略 10. 直线 的位置关系是  (   ) （A）相切  （B）直线过圆心   （C）直线不过圆心但与圆相交    （D）相离   参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则的最小值是________． 参考答案： 12. 在中，，则最短边的长是               。 参考答案： 2 13. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10……这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……这样 的数称为“正方形数”.如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是　   　 ①13=3+10；  ②25=9+16    ③36=15+21；   ④49=18+31；   ⑤64=28+36 参考答案： ③⑤ 略 14. 给出下列命题: ①经过空间一点一定可作一条直线与两异面直线都垂直；②经过空间一点一定可作一平面与两异面直线都平行；③已知平面、，直线a、b，若，，则；④四个侧面两两全等的四棱柱为直四棱柱；⑤底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；．其中正确命题的序号是           ． 参考答案： ① 略 15. 在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．已知成绩在[60,70）的学生有40人,则成绩在[70,90）的有_________人. 参考答案： 25 16. 已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围为　　． 参考答案： k＜2 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】利用双曲线的简单性质列出不等式求解即可． 【解答】解：方程表示焦点在y轴上的双曲线， 可得：2﹣k＞0＞k﹣3， 解得：k＜2． 故答案为：k＜2． 17. 已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E（X）=7，求D（X）        . X a 5 9 P 0.1 0.3 b       参考答案： 2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分13分)已知且，设：指数函数在上为减函数，：不等式的解集为．若为假，为真，求的取值范围． 参考答案： 解：当正确时， 函数在上为减函数  ， ∴当为正确时，； 当正确时， ∵不等式的解集为， ∴当时，恒成立． ∴，∴ ∴当为正确时，． 由题设，若和有且只有一个正确，则 （1）正确不正确，∴∴ （2）正确不正确∴∴ ∴综上所述，  的取值范围是   19. 设函数. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）若函数f(x)在(0,+∞)上有零点，证明：. 参考答案： （1）在上是增函数，在上是减函数； （2）. 【分析】 （1）先确定函数的定义域，然后求，进而根据导数与函数单调性的关系，判断函数 的单调区间； （2）采用分离参数法，得，根据在上存在零点，可知有解，构造，求导，知在上存在唯一的零点，即零点k满足，进而求得，再根据有解，得证 【详解】（1）解：函数的定义域为， 因为，所以． 所以当时，，在上是增函数； 当时，，在上是减函数． 所以在上是增函数，在上是减函数． （2）证明：由题意可得，当时，有解， 即有解． 令，则． 设函数，所以在上单调递增． 又，所以在上存在唯一的零点． 故在上存在唯一的零点．设此零点为，则． 当时，；当时，． 所以在上的最小值为． 又由，可得，所以， 因为在上有解，所以，即． 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式成立，考查了利用导数研究函数的零点问题，涉及了求函数导数，函数零点存在性定理的应用等知识；从哪里入手，怎样构造，如何构造适当的函数，是解决此类问题的关键一步. 20. 在平面直角坐标系中，已知曲线，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线. （1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程； （2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值. 参考答案： 解：（1），的参数方程是为参数） （2）上一点到直线的距离为， 所以，当时，取得最大值，此时 21. 如图，在所有棱长均为2的正三棱柱中,、分别为、的中点， （Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.   参考答案： 所以△≌△，． 所以．所以．， 又所以平面．                …………8分 （Ⅲ），，连交于点M   ， 为平行四边形，        连AM，AM为在平面的射影， 即为所求                                        ……………10分 令相交于点，在中，， 可得，，， 易得，    所求与平面所成角的正弦值为                ………………13分   略 22. 已知函数，其中a∈R （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线，求a的值； （Ⅱ）若f（x）在（0，6）上单调递减，（6，+∞）上单调递增，求a的值． 参考答案： 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），得到关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）根据f′（6）=0，得到关于a的方程，解出即可． 【解答】解：（Ⅰ）， 由题设知：， 解得：； （Ⅱ）由题设知，f（x）在x=6处取得极值， 则f'（6）=0， 所以， 解得：a=3． 【点评】本题考查了导数的应用以及函数的单调性问题，是一道基础题．