江苏省镇江市实验中学2022年高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设是正实数，以下不等式                       （　 ）     ① ，② ，③ ，④     恒成立的序号为     (A) ①、③　      (B) ①、④　       (C) ②、③　       (D) ②、④　 参考答案： D 2. 若实数x，y满足，则（x﹣3）2+y2的最小值是（　　） A． B．8 C．20 D．2 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】先画出满足条件的平面区域，根据（x﹣3）2+y2的几何意义求出其最小值即可． 【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由图象得P（3，0）到平面区域的最短距离dmin=， ∴（x﹣3）2+y2的最小值是：． 故选：A． 【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题． 3. 已知集合，则是     A．         B．        C．        D． 参考答案： D 4. 设集合，，，则=（     ） A．     B． C．      D． 参考答案： A 略 5. 已知x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，函数定义域为[x1，x2]，g（k）=f（x）max﹣f（x）min，若对任意k∈R，恒只有成立，则实数a的取值范围是（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： 考点： 函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义． 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析： 先求f′（x）=，根据x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，结合图象可知，当x∈[x1，x2]时，4x2﹣4kx﹣1≤0，则可判断导数分子的符号，因此可判断导数的符号，由此得到g（k），则利用分离常数的方法求结论中a的范围，此时只需求出关于k的函数的最值即可． 解答： 解：由已知f′（x）=， 又因为x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，结合图象可知，当x∈[x1，x2]时，4x2﹣4kx﹣1≤0， 所以﹣[4x2﹣4kx﹣1﹣3]恒成立，故f′（x）＞0在[x1，x2]恒成立，故f（x）在定义域内是增函数， 所以g（k）=f（x）max﹣f（x）min=f（x2）﹣f（x1）=①，又因为x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根， 所以，代入①式化简后得：g（k）=，由对任意k∈R，恒成立得： ，结合k2≥0，所以， 故a的取值范围是a． 故选A． 点评： 本题考查了不等式的恒成立问题，一般是分离参数转化为函数的最值求解，本题的关键是利用已知条件判断出函数f（x）的单调性，再用韦达定理实现对g（k）表达式的化简． 6. 设命题p:若定义域为R的函数不是偶函数，则，. 命题q:在(－∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.则下列判断错误的是(    ) A．为真 　　     B．为假 　　  C．p为假       D.为真 参考答案： A 函数不是偶函数，仍然可，使,故为假 ，在上都是增函数，为假， 故为假 故答案选   7. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： C 【考点】程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件， 当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件， 当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件， 当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件， 故输出的n值为4， 故选C． 8. 若,则的值为（    ） A．            B．0              C． 2           D． 参考答案： A 9. 下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（　　） A．y=ln（x+1） B．y=2﹣x C．y= D．y=cosx 参考答案： B 【考点】函数单调性的性质． 【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】逐一判断各个选项中函数在区间（﹣1，1）上的单调性，从而得出结论． 【解答】解：由于y=ln（x+1）在区间（﹣1，1）上为增函数，故排除A； 由于函数y=2﹣x =在区间（﹣1，1）上为减函数，故满足条件； 由于函数y==﹣在区间（﹣1，1）上为增函数，故排除C； 由于函数y=cosx在区间（﹣1，1）上没有单调性，例如cos（﹣）=cos，故排除D， 故选：B． 【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，属于基础题． 10. 阅读如图所示的程序框图，则输出的S＝(　　) A．45                B．35 C．21                D．15 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD=5DB，设∠COD=，则tan的值为             ． 参考答案： 12. 运行如图语句，则输出的结果T=　　． 参考答案： 625 考点： 伪代码． 专题： 计算题；图表型． 分析： 本题所给的是一个循环结构的算法语句，由图可以看出，此是一个求等差数列和的算法语句，由公式计算出T的值，即可得到答案． 解答： 解：T=1，I=3， 第1次循环，T=1+3，I=5＜50，符合循环条件， 第2次循环，T=1+3+5，I=7＜50，符合循环条件， …， 第23次循环，T=1+3+…+47，I=49＜50，符合循环条件， 第24次循环，T=1+3+…+49，I=51＞50，不符合循环条件，输出T， ∴T=1+3+…+49==625， ∴输出的结果T=625． 故答案为：625． 点评： 本题考查了伪代码，即循环结构的算法语句，解题的关键是理解题设中语句的意义，从中得出算法，由算法求出输出的结果．属于基础题． 13. 对正整数n，设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列=        . 参考答案： 略 14. 已知函数是定义域为的偶函数. 当时，  若关于的方程有且只有7个不同实数根，则实数的取值范围是      　． 参考答案： ． 15. 巳知函数分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系内的图象如图所示. （1）若，则         ； （2）设函数，则的大小关系为         (用“<”连接）. 参考答案： 16. 某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为           ；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为                     。   相关人员数 抽取人数 公务员 32 x 教师 48 y 自由职业者 64 4 参考答案： 9， 略 17. 在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则?等于　   　． 参考答案： 0 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由向量加法的三角形法则得出=+，再利用向量数量积的运算性质求出结果． 【解答】解：等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，且=2， ∴=+ =+（﹣） =+， ∴?=（+）? =?+ =×6×6×cos120°+×62 =0． 故答案为：0． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2+acos2=c． （Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列； （Ⅱ）若C=，△ABC的面积为2，求c． 参考答案： 【考点】数列与三角函数的综合；正弦定理；余弦定理的应用． 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角形的内角和，化简求解即可． （Ⅱ）利用三角形的面积以及余弦定理化简求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）证明：由正弦定理得： 即， ∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinC… ∴sinB+sinA+sin（A+B）=3sinC ∴sinB+sinA+sinC=3sinC… ∴sinB+sinA=2sinC ∴a+b=2c… ∴a，c，b成等差数列．… （Ⅱ） ∴ab=8… c2=a2+b2﹣2abcosC =a2+b2﹣ab =（a+b）2﹣3ab =4c2﹣24．… ∴c2=8得… 19. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式. （1）如果不等式当时恒成立，求的范围； （2）如果不等式当时恒成立，求的范围. 参考答案： （1）或；（2）. 试题分析：（1）整理成关于的一次函数，只需即可；（2）分离参数，只需即可. 考点：1、数形结合法求解不等式恒成立问题；2、分离参数法解答不等式恒成立问题. 20. （本小题满分14分） （1）已知是公差为的等差数列，是与的等比中项，求该数列前10项和； （2）若数列满足，，试求的值. 参考答案： (1)设数列的首项为,公差为,则. 根据题意,可知道,即( 解得     (2)解法一:由,经化简可得 数列是首项为,公差为的等差数列.   . 解法二:分别把代入可得: ,,,,, 因此,猜想. . 21. 坐标系与参数方程 已知某圆的极坐标方程为 （1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （2）若点在该圆上，求的最大值和最小值． 参考答案： 解：（1） 即 （2）圆的参数方程为： 略 22. （本小题满分12分）甲、乙两个围棋队各派出三名选手、、和、、并按、、和、、的出场顺序进行擂台赛（擂台赛规则是：败者被打下擂台，胜者留在台上与对方下一位进行比赛，直到一方选手全部被打下擂台比赛结束），已知胜的概率为，而、和、、五名选手的实力相当，假设各盘比赛结果相互独立． （Ⅰ）求到比赛结束时共比赛三盘的概率； （Ⅱ）求到比赛结束时选手胜二盘的概率． 参考答案： （I）设到比赛结束时共比赛三盘为事件， 再设在这比赛过程中，胜出为事件，胜出为事件……………2分 则， ………………6分 （II）到比赛结束时选手胜二盘为事件， 则，……………11分 答：到比赛结束时共比赛三盘的概率；到比赛结束时选手胜二盘的概率为………………12分