2022-2023学年陕西省西安市工业大学附属中学高一数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△AOB（O为坐标原点）中，，若，则△AOB的值为（  ） A．               B．              C．             D． 参考答案： D 略 2. 已知数列{an}满足，，则an=（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 通过裂项得，进而利用累加求和即可. 【详解】由，得. 所以当时， ， 所以，，所以，也满足. 所以. 故选A. 3. 已知函数，则（    ） A．1                 B．0               C． -1              D．4 参考答案： C 4. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g[f（﹣8）]=（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 参考答案： A 【考点】函数的值． 【分析】先求出f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log39=﹣2，从而得到g[f（﹣8）]=g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2），由此能求出结果． 【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=， ∴f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log39=﹣2， ∴g[f（﹣8）]=g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣log33=﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 5. 已知A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则A∩B=（　　） A．{5} B．{2，4} C．{2，5} D．{2，4，5，6} 参考答案： A 【考点】交集及其运算． 【分析】根据交集的定义可知，交集即为两集合的公共元素所组成的集合，求出即可． 【解答】解：由A={2，4，5}，B={1，3，5，7}， 得A∩B={5}， 故选：A． 6. 函数y =+的最小值是（    ） （A）2      （B）2     （C）     （D） 参考答案： D 7. 如图，三棱柱中，是棱的中点,平面分此棱柱为上下两部分，则这上下两部分体积的比为 （A）             （B）            （C）           （D） 参考答案： B 8. 函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， 等于(  　) A．        B．      C．        D． 参考答案： B 略 9. 已知向量，，且，则的值是（ ▲ ） A．        B．         C．           D． 参考答案： C 略 10. 已知函数f（x）=，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是（　　） A．（0，] B．（0，1） C．[，1） D．（0，3） 参考答案： A 【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明． 【分析】由题意可知，f（x）=为减函数，从而可得，由此可求得a的取值范围． 【解答】解：∵f（x）对任意的x1≠x2都有成立， ∴f（x）=为R上的减函数， ∴解得0＜a≤． 故选A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. .若点为直线上的动点，则的最小值为________． 参考答案： 【分析】 把转化为两点距离的平方求解. 【详解】由题意知的最小值表示: 直线上的点到 点的最近距离的平方， 由点到直线的距离为： ， 所以最小值为. 【点睛】本题考查两点距离公式的应用，点到直线的距离公式. 12. 某射手射击一次击中10环,9环,8环的概率分别为,则他射击一次不够8环的概率为_________ 参考答案： 0。2  13. 若曲线与直线有两个交点，则的取值范围是___________． 参考答案： 14. 已知数列{an}满足：，．若，，且数列{bn}是单调递增数列，则实数的取值范围是______． 参考答案： 【分析】 由题意，数列满足，取倒数可得， 即，利用等比数列的通项公式可得，代入得，再利用数列的单调性，即可求解. 【详解】由题意，数列满足 ，取倒数可得，即，所以数列表示首项为2，公比为2的等比数列，所以， 所以， 因为数列是单调递增数列，所以当时，， 即； 当时，，因此. 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义的通项公式，以及数列的递推关系式，数列的单调性等知识点的综合应用，其中解答中根据等比数列的定义和递推关系式，合理利用数列的单调性，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 15. 函数f（x）=的定义域为，则a的值为      ． 参考答案： 2 【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】转化思想；函数的性质及应用． 【分析】根据二次根式的定义知（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6≥0的解集是， 结合一元二次方程根与系数的关系，求出a的值． 【解答】解：由二次根式的定义，得（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6≥0的解集是， ∴（1﹣a2）＜0， 且﹣2和1是方程（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6=0 的2个根； ∴﹣2+1=①， ﹣2×1=②； 解得a=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了求函数的定义域的问题，解题时应注意转化思想，把求函数的定义域转化为一元二次不等式的解集问题，是基础题． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，.、分别为、的中点，则二面角的正切值为          ． 参考答案：    17. 函数的值域为              参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （14分）已知函数：f（x）=（a∈R且x≠a） （1）当a=1时，求f（x）值域； （2）证明：f（a﹣x）+f（a+x）=﹣2； （3）设函数g（x）=x2+|（x﹣a）f（x）|，求g（x）的最小值． 参考答案： 考点： 函数的最值及其几何意义；函数的值域． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）将a=1代入函数的解析式求出函数的表达式，从而求出函数的值域； （2）先根据已知得到f（2a﹣x），带入f（x）+2+f（2a﹣x）直接运算即可； （3）分情况讨论x≥a﹣1和x＜a﹣1两类情况，去掉绝对值，利用二次函数的性质，即可确定g（x）的最小值． 解答： （1）a=1时，f（x）==﹣1﹣， ∴f（x）的值域是：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）； （2）证明：∵f（x）=， ∴f（a﹣x）==，f（a+x）==﹣， ∴f（a﹣x）+f（a+x）=﹣=﹣2， ∴命题得证． （3）g（x）=x2+|x+1﹣a|（x≠a） ①当x≥a﹣1且x≠a时，g（x）=x2+x+1﹣a=+﹣a， 如果a﹣1≥﹣即a≥时，则函数在[a﹣1，a）和（a，+∞）上单调递增g（x）min=g（a﹣1）=（a﹣1）2 如果a﹣1＜﹣即a＜且a≠﹣时，g（x）min=g（﹣）=﹣a， 当a=﹣时，g（x）最小值不存在； ②当x≤a﹣1时g（x）=x2﹣x﹣1+a=+a﹣， 如果a﹣1＞，即a＞时，g（x）min=g（）=a﹣， 如果a﹣1≤，即a≤时，g（x）min=g（a﹣1）=（a﹣1）2， 当a＞时，（a﹣1）2﹣（a﹣）=＞0， 当a＜时，（a﹣1）2﹣（﹣a）=＞0， 综合得：当a＜且a≠﹣时，g（x）最小值是﹣a， 当≤a≤时，g（x）最小值是（a﹣1）2； 当a＞时，g（x）最小值为a﹣ 当a=﹣时，g（x）最小值不存在． 点评： 本题考查绝对值函数的化简，利用二次函数性质求最值，以及分类讨论的数学思想，属于难题． 19. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，. (Ⅰ)求角A的大小； (Ⅱ)设点M满足，求线段AM长度的取值范围. 参考答案： (Ⅰ) (Ⅱ) 【分析】 （I）利用数量积的定义和三角形面积公式可求得，从而得角； （II）由得，平方后可求得，即中线长，结合可得最小值，从而得取值范围． 【详解】(Ⅰ)因为，所以 因为，所以得以 两式相除得 所以 (Ⅱ)因为，所以 因为， 所以 所以 所以． 当且仅当时取得等号 所以线段长度的取值范围时. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的线性运算、三角形面积公式，解题关键是把中线向量表示为，这样把线段长度（向量模）转化为向量的数量积． 20. （本小题满分12分） 对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①在内具有单调性；②存在区间，使在上的值域为；则称为闭函数。 （Ⅰ）求闭函数符合条件②的区间； （Ⅱ）判断函数是否为闭函数？并说明理由； （Ⅲ）若函数是闭函数，求实数的取值范围 参考答案： （1）由题意，在上递减，则解得， 所以，所求的区间为                   ………………………………3分                      （2）不是 函数不是闭函数。      取，则， 即。 取，则， ， 所以，函数在定义域内不是单调函数，从而该函数不是闭函数。  ．．．．7分 （3）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上， 函数的值域也为[]，即， 为方程的两个实根， 即方程有两个不等的实根。 设 当时，有，解得。 当时，有，无解 综上所述，         ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 以上答案及评分标准仅供参考，如用其它解法请酌情给分。 21. （12分）已知空间四边形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中点，F是BD的中点， （1）求证：BC∥平面AFE； （2）平面ABE⊥平面ACD． 参考答案： 考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题： 计算题；证明题． 分析： （1）由已知中E是CD的中点，F是BD的中点，根据三角形中位线定理，我们可得到FE∥BC，再由线面平行的判定定理，即可得到∥平面AFE； （2）由已知中空间四边形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中点，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一，我们易得到AE⊥DC，BE⊥CD，结合线面垂直判定定理，可得CD⊥平面AEB，结合面面垂直判定定理，即可得到平面ABE⊥平面ACD． 解答： 证明：（1）∵E，F分别是CD与BD的中点 ∴FE∥BC ∵EF?平面AFE，BC?平面AFE ∴BC∥平面AFE．（6分） （2）∵AC=AD，BC=BD，且E是CD的中点，F是BD的中点 ∴AE⊥DC，BE⊥CD ∵EB∩EA=E ∴CD⊥平面AEB ∵CD?平面ACD ∴平面ABE⊥平面ACD．（12分） 点评： 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握平面与平面垂直的判定定理及直线与平面平行的判定定理及证明思路，是解答本题的关键． 22. （本小题满分12分）已知。（1）求的单调增区间；（2）求图象的对称轴的方程和对称中心的坐标；（3）在给出的直角坐标系中，请画出在区间[]上的图象。   参考答案： （1）由得的单调增区间为 ．.…………………………………………（4） （2）由得，即为图象的对称轴方程． 由得．故图象的对称中心为．.…………………………………………（4） （3）由知