江西省萍乡市大安中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数,则是 ( )
A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数
参考答案:
D
2. 在2012年8月15日,某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示:
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
由散点图可知,销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是:=-3.2 x+a,则a=( )
A.-24 B.35.6 C.40.5 D.40
参考答案:
D
3. 某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则a的值是( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
参考答案:
D
分析】
模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的,的值,当时,根据题意,此时应该满足条件,退出循环,输出的值为,从而得解.
【详解】模拟执行程序框图,可得
,
不满足条件,,
不满足条件,,
不满足条件,,
不满足条件,,
根据题意,此时应该满足条件,退出循环,输出的值为.
故选:.
【点睛】本题主要考查了循环结构,根据的值正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.
4. 对,23x≤logax+1恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】函数恒成立问题;全称命题.
【分析】先构造函数f(x)=x2+x,g(x)=﹣logax.h(x)=f(x)+g(x),将问题等价转化为函数h(x)在区间(0,)上恒有h(x)≤0,又函数为增函数,故可求答案.
【解答】解:构造函数f(x)=23x,g(x)=﹣logax﹣1.
h(x)=f(x)+g(x).(0<x<)
易知,在区间(0,)上,函数f(x),g(x)均是递增函数,
∴函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(0,)上是递增函数.
由题设可知,函数h(x)在区间(0,)上恒有h(x)≤0.
∴必有h()≤0.
即有2﹣loga()﹣1≤0.
整理就是logaa=1≤loga(),
∴实数a的取值范围是≤a<1.
故选C.
5. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 能够把椭圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”,下列函数是椭圆的“亲和函数”的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
7. 函数为R上的单调函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
8. 在中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若,,,则b等于( )
A.1 B. C. D.2
参考答案:
A
9. 设在内单调递增,对任意恒成立,则是的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
参考答案:
B
略
10. 使奇函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)在[﹣,0]上为减函数的θ值为( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
参考答案:
D
【考点】正弦函数的奇偶性;正弦函数的单调性.
【专题】计算题.
【分析】首先根据已知将函数f(x)化简为f(x)=2sin(2x+θ+),然后根据函数的奇偶性确定θ的取值,将选项分别代入验证再根据单调性即可排除选项.
【解答】解:由已知得:f(x)=2sin(2x+θ+),
由于函数为奇函数,
故有θ+=kπ
即:θ=kπ﹣(k∈Z),可淘汰B、C选项
然后分别将A和D选项代入检验,
易知当θ=时,
f(x)=﹣2sin2x其在区间[﹣,0]上递减,故选D、
故答案为:D
【点评】本题考查正弦函数的奇偶性和单调性,通过对已知函数的化简,判断奇偶性以及单调性,通过对选项的分析得出结果.考查了对三角函数图象问题的熟练掌握和运用,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 以F1(-1,0)、F2(1,0)为焦点,且经过点M(1,-)的椭圆的标准方程为___
参考答案:
.
12. 实数a∈[0,3],b∈[0,2],则关于x的方程x2+2ax+b2=0有实根的概率是 .
参考答案:
考点:
几何概型.3804980
专题:
概率与统计.
分析:
首先分析一元二次方程有实根的条件,得到a2≥b2.本题是一个几何概型,试验的全部结束所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},满足条件的构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},根据概率等于面积之比,得到概率.
解答:
解:方程有实根时,△=(2a)2﹣4b2≥0,即a2≥b2.记方程x2+2ax+b2=0有实根的事件为A.
设点M的坐标为(a,b),由于a∈[0,3],b∈[0,2],所以,所有的点M对构成坐标平面上一个区域(如图中的矩形OABC),即所有的基本事件构成坐标平面上的区域OABC,其面积为2×3=6.
由于a在[0,3]上随机抽取,b在[0,2]上随机抽取,
所以,组成区域OABC的所有基本事件是等可能性的.
又由于满足条件0≤a≤3,且0≤b≤2,且a2≥b2,即a≥b的平面区域如图中阴影部分所示,其面积为 ×(1+3)×2=4,
所以,事件A组成平面区域的面积为4,所以P(A)==.
所以,方程x2+2ax+b2=0有实根的概率为 .
故答案为:.
点评:
古典概型和几何概型是我们学习的两大概型,古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,而不能列举的就是几何概型,概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到.
13. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为______.
参考答案:
【分析】
由三视图可知,该几何体由上部四棱柱、下部圆柱组成的组合体,由柱体体积公式计算可得答案.
【详解】由三视图可知,该几何体由上部四棱柱、下部圆柱组成的组合体,
四棱柱的底面为边长为3的正方形,高为1,故体积为:,
圆柱的底面圆直径为1,高为2,故体积为:,
所求体积为,
故答案为:
【点睛】本题以三视图为载体考查几何体的体积,解题的关键是对给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,然后结合相应的公式求解.
14. 已知锐角三角形的边长分别为2,4,x,则x的取值范围为 .
参考答案:
15. 定义在正整数集上的函数满足(1);(2),则有
参考答案:
【知识点】抽象函数及其应用.B10
【答案解析】 ; 解析:注意到和,
易求得;
因为,所以
故有
【思路点拨】由于f(f(n))=4n+3,f(125)=m,则f(m)=f(f(125)),令n=125,即可得到f(m);由于f(f(n))=4n+3,将n换成f(n),得到f(f(f(n)))=f(4n+3)=4f(n)+3,由于2015=4×503+3,503=4×125+3,代入上式,即可得到f(2015).
16. 数列{an}满足a1+a2+a3+…an=2n﹣an(n∈N+).数列{bn}满足bn=,则{bn}中的最大项的值是 .
参考答案:
【考点】数列递推式.
【分析】由已知数列递推式可得,数列{an﹣2}构成以为公比的等比数列,求出其通项公式后代入bn=,再由数列的函数特性求得{bn}中的最大项的值.
【解答】解:由a1+a2+a3+…an=2n﹣an,得Sn=2n﹣an,
取n=1,求得a1=1;
由Sn=2n﹣an,得Sn﹣1=2(n﹣1)﹣an﹣1(n≥2),
两式作差得an=2﹣an+an﹣1,即(n≥2),
又a1﹣2=﹣1≠0,
∴数列{an﹣2}构成以为公比的等比数列,
则,
则bn==,
当n=1时,,当n=2时,b2=0,当n=3时,,
而当n≥3时,,
∴{bn}中的最大项的值是.
故答案为:.
17. 若曲线f(x)=在点(a,f(a))处的切线与两坐标轴围成的图形的面积为,则a的值为 .
参考答案:
1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求导数可得切线的斜率,由点斜式方程进而可得切线的方程,可得其截距,运用三角形的面积公式可得a的方程,解方程可得.
【解答】解:对y=求导数可得y′=,
∴曲线在P(a,)处的切线斜率为k=,
∴切线方程为:y﹣=(x﹣a),
令x=0,可得y=,即直线的纵截距为,
令y=0,可得x=﹣a,即直线的横截距为﹣a,
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为:
S=||?|﹣a|=,解得a=1.
故答案为:1.
【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,考查三角形的面积公式,考查运算能力,属基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 选修4-1:几何证明选讲
如图,四点在同一圆上,与的延长线交于点,点在的延长线上.
(1)若,,求的值;
(2)若,证明:.
参考答案:
.…………………………………………………… 10分
考点:1.四点共圆的性质;2.相似三角形的证明.
略
19. 已知函数和点,过点作曲线的两条切线、,切点分别为、.
(Ⅰ)求证:|MN|=
(Ⅱ)是否存在,使得、与三点共线.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的正整数,在区间内总存在个实数,,使得不等式成立,求的最大值.
参考答案:
解:(Ⅰ)设、两点的横坐标分别为、, ,
∴切线的方程为:,
又切线过点, 有,即, (1)
同理,由切线也过点,得.(2)
由(1)、(2),可得是方程的两根, ( * )
,
把( * )式代入,得,
因此,函数的表达式为.
(Ⅱ)当点、与共线时,,
=,即=,
化简,得,
,. (3)
把(*)式代入(3),解得. 存在,使得点、与三点共线,且 .
(Ⅲ)解法:易知在区间上为增函数,,
则.
依题意,不等式对一切的正整数恒成立,
,
即对一切的正整数恒成立.
, ,
. 由于为正整数,.
又当时,存在,,对所有的满足条件.
因此,的最大值为.
解法:依题意,当区间的长度最小时,得到的最大值,即是所求值.
,长度最小的区间为,
当时,与解法相同分析,得,解得.
略
20. 定义函数.
(1)令函数的图象为曲线求与直线垂直的曲线的切线方程;
(2)令函数的图象为曲线,若存在实数b使得曲线
在处有斜率为的切线,求实数a的取值范围;
(3)当,且时,证明.
参考答案:
解:(1)