江苏省泰州市民兴实验中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知A,B,C,D四点在同一个球的球面上,,,若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为( )
A. 4π B. 8π C. 16π D. 32π
参考答案:
C
【分析】
由底面积不变,可得高最大时体积最大, 即与面垂直时体积最大, 设球心为,半径为,在直角中,利用勾股定理列方程求出半径,即可求出球的表面积.
【详解】
根据,可得直角三角形的面积为3,
其所在球的小圆的圆心在斜边的中点上,
设小圆的圆心为,
由于底面积不变,高最大时体积最大,
所以与面垂直时体积最大,
最大值为为,
即,如图,
设球心为,半径为,
则在直角中,即,
则这个球的表面积为,故选C.
【点睛】本题主要考球的性质、棱锥的体积公式及球的表面积公式,属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型,既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系,做题过程中主要注意以下两点:①多面体每个面都分别在一个圆面上,圆心是多边形外接圆圆心;②注意运用性质.
2. 数列{an}的首项为1,{bn}是以2为首项,以2为公比的等比数列,且bn=an+1-an(n∈N*)则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 下列说法错误的是( )
A.“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是真命题
B.“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题
C.如果命题“?p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题
D.“”是“θ=30°”的充分不必要条件
参考答案:
D
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;四种命题的真假关系.
【分析】x,y互为相反数?x+y=0;“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”是真命题,故它的逆否命题一定是真命题;命题“?p”与命题“p或q”都是真命题,则p是假命题,q是真命题;“”不能推出“θ=30°”.
【解答】解:x,y互为相反数?x+y=0,故A成立;
∵“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”是真命题,故它的逆否命题一定是真命题,故B成立;
命题“?p”与命题“p或q”都是真命题,则p是假命题,q是真命题,故C成立;
“”不能推出“θ=30°”,故D不成立.
故选D.
【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件,解题时要认真审题,仔细解答,注意四种命题的真假关系的应用.
4. 已知动点P在曲线上移动,则点与点P连线中点的轨迹方程是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
略
5. 若平面α,β的法向量分别为u=(-2, 3,-5),v=(3,-1, 4),则( ).
A.α∥β B.α⊥β
C.α、β相交但不垂直 D.以上均不正确
参考答案:
C
6. 下列四个命题:
①对立事件一定是互斥事件;
②若A、B为两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B);
③若事件A、B、C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;
④若事件A、B满足P(A)+P(B)=1,则A、B是对立事件.其中错误命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
D
略
7. 在△ABC中,,,,则角B的大小为( )
A. B. C. D. 或
参考答案:
A
【分析】
首先根据三角形内角和为,即可算出角的正弦、余弦值,再根据正弦定理即可算出角B
【详解】在△ABC中有,所以,所以,又因为,所以,所以,因为,,所以由正弦定理得,因为,所以。所以选择A
【点睛】本题主要考查了解三角形的问题,在解决此类问题时常用到:1、三角形的内角和为。2、正弦定理。3、余弦定理等。属于中等题。
8. 用反证法证明命题: “a, b∈N, 若ab不能被5整除, 则 a与b都不能被5整除”时, 假设的内容应为 ( )
A. a, b都能被5整除 B. a, b不都能被5整除
C. a, b至少有一个能被5整除 D. a, b至多有一个能被5整除
参考答案:
C
9. 在中,已知,则( )
参考答案:
B
10. 在△ABC中,点O是BC边的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若,则的最大值为 ( )
A. 1 B. C. D. 2
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若其中为虚数单位,则____________.
参考答案:
3
略
12. 圆心是,且经过原点的圆的标准方程为_______________________;
参考答案:
略
13. 化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为 .
参考答案:
x2+y2=0或x﹣1=0
【考点】Q8:点的极坐标和直角坐标的互化.
【分析】由极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0可得ρ=0或ρcosθ﹣1=0,再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出.
【解答】解:由极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0可得ρ=0或ρcosθ﹣1=0,
ρ=0表示原点O(0,0).
由ρcosθ﹣1=0,化为x﹣1=0.
综上可知:所求直角坐标方程为x2+y2=0或x﹣1=0.
14. 观察按下列顺序排列的等式:,……,猜想第()个等式应为_ _.
参考答案:
9(n-1)+n=10n-9
15. 已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3,则弦AB的中点到准线的距离为 .
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质;点到直线的距离公式;抛物线的定义.
【分析】设BF=m,由抛物线的定义知AA1和BB1,进而可推断出AC和AB,及直线AB的斜率,则直线AB的方程可得,与抛物线方程联立消去y,进而跟韦达定理求得x1+x2的值,则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离.
【解答】解:设BF=m,由抛物线的定义知
AA1=3m,BB1=m
∴△ABC中,AC=2m,AB=4m,
直线AB方程为
与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0
所以AB中点到准线距离为
故答案为
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题.常需要利用抛物线的定义来解决.
16. 圆关于原点对称的圆的方程为 _
参考答案:
略
17. 在数列中,,则的值为__________.
参考答案:
4021
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 己知等比数列所有项均为正数,首,且成等差数列.
(I)求数列的通项公式;
(II)数列的前n项和为,若,求实数的值.
参考答案:
(Ⅰ)设数列的公比为,由条件得成等差数列,所以
解得
由数列的所有项均为正数,则=2
数列的通项公式为=
(Ⅱ)记,则
若不符合条件;
若, 则,数列为等比数列,首项为,公比为2,
此时
又=,所以
19. (2016秋?厦门期末)设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an﹣2.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)数列{bn﹣an}是首项为1,公差为3的等差数列,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(I)当n=1时,a1=S1=2a1﹣2,解得a1.当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1.利用等比数列的通项公式即可得出an.
(Ⅱ)由数列{bn﹣an}是首项为1,公差为3的等差数列,可得bn﹣an=3n﹣2,bn=2n+3n﹣2.再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=2a1﹣2,解得a1=2.
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣(2an﹣1﹣2),化为an=2an﹣1.
∴数列{an}是等比数列,首项与公比都为2.
则.
(Ⅱ)∵数列{bn﹣an}是首项为1,公差为3的等差数列,
∴bn﹣an=1+3(n﹣1)=3n﹣2.
∴bn=2n+3n﹣2.
则Tn=+=2n+1﹣2+﹣n.
【点评】本小题主要考查通过递推关系求数列通项以及数列求和等基础知识;考查运算求解能力;考查化归与转化思想,属于中档题.
20. 在△ABC中,sin2B=sinAsinC.
(1)若,,成等差数列,求cosB的值;
(2)若=4,求△ABC面积的最大值.
参考答案:
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】(1)根据等差数列的定义以及三角恒等变换求出sinB,从而求出cosB的值即可;
(2)求出三角形的面积的解析式,令f(x)=8sin3x,(0<x<π),根据函数的单调性求出三角形面积的最大值即可.
【解答】解:(1))若,,成等差数列,
则=+===,
故sinB=,cosB=±;
(2)若=4,即=4,b2=16sin2B,
∵sin2B=sinAsinC,
∴ac=b2,
∴S△ABC=b2sinB=8sin3B,(0<B<π),
令f(x)=8sin3x,(0<x<π),
则f′(x)=24sin2xcosx,
令f′(x)>0,解得:x<,
令f′(x)<0,解得:x>,
故f(x)在(0,π)递增,
故f(x)在(0,)递增,在(,π)递减,
f(x)max=f()=8,
故三角形面积的最大值是8.
【点评】本题考查了正弦定理的应用,考查等差数列以及导数的应用,是一道中档题.
21. (本小题满分12分):已知圆的方程为,定直线的方程为.动圆与圆外切,且与直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)斜率为的直线与轨迹相切于第一象限的点,过点作直线的垂线恰好经过点,并交轨迹于异于点P的点,记为轨迹与直线围成的封闭图形的面积,求的值。
参考答案:
解:(1)设动圆圆心C的坐标为,动圆半径为,则
,且 ———2分
可得 .
由于圆C1在直线的上方,所以动圆C的圆心C应该在直线的上方,所以有,从而得,整理得,即为动圆圆心C的轨迹的方程.5分
(2)如图示,设点P的坐标为,则切线的斜率为,可得直线PQ的斜率为,所以直线PQ的方程为.由于该直线经过点A(0,6),所以有,得.因为点P在第一象限,所以,点P坐标为(4,2),直线PQ的方程为. ———9分
把直线PQ的方程与轨迹的方程联立得,解得或4,可得点Q的坐标为.所以
. ———12分
22. 已知a为实数,。
(1)求导数;(2)若,求在区间[-2,2]上的最大值和最小值。
参考答案:
(1)
(2)最大值为,最小值为