四川省南充市碾盘乡中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知平面向量,,且,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 直线l:y=kx﹣1与圆x2+y2=1相交于A、B两点,则△OAB的面积最大值为( )
A. B. C.1 D.
参考答案:
B
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】直线与圆.
【分析】由题意可得,△OAB的面积为sin∠AOB,再根据正弦函数的值域,求得它的最大值.
【解答】解:由题意可得OA=OB=1,△OAB的面积为OA?OB?sin∠AOB=sin∠AOB≤,
故△OAB的面积最大值为,
故选:B.
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,正弦函数的值域,属于基础题.
3. 已知直线与x轴,y轴分别交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为
A. B. 2 C. 3 D.
参考答案:
A
4. 下表为某班5位同学身高(单位:cm)与体重(单位kg)的数据,
身高
170
171
166
178
160
体重
75
80
70
85
65
若两个变量间的回归直线方程为,则的值为
A.121.04 B.123.2 C.21 D.45.12
参考答案:
A
略
5. 不在 3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是
A(0,0) B(1,1) C(0,2) D (2,0)
参考答案:
D
6. 如图,在平行六面体中,底面是边长为2的正
方形,若,且,则的长为
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
7. 一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直,其长分别为1、、3,且四面体的四个顶点在同一个球面上,则这个球的表面积为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
略
8. 函数的图象是下列图中的( )
参考答案:
A
9. 一个水平放置的图形的斜二测直观图是底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,则原图形的面积为( )
A. B. +1 C. D.+2
参考答案:
D
考点:平面图形的直观图.
专题:计算题;空间位置关系与距离.
分析:根据平面图形的直观图得,原图形为直角梯形,求出上底,高,下底,利用梯形的面积公式求出即可.
解答:解:根据题意,得:
原图形为一直角梯形,且上底为1,高为2,下底为1+,
所以,它的面积为S=×(1++1)×2=2+.
故选:D.
点评:本题考查了水平放置的平面图形的直观图的应用问题,是基础题目.
10. 若为有理数),则( )
A.45 B.55 C.80 D.70
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知某地连续5天的最低气温(单位:摄氏度)依次是18,21,22,24,25,那么这组数据的方差为_________.
参考答案:
6.
【分析】
先求均值,再根据方差公式求结果.
【详解】
12. 已知圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y+m=0相离,则m的取值范围______.
参考答案:
【分析】
根据题意,由圆与圆的位置关系可得不等式,解得m的取值范围.
【详解】解:根据题意,圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径r=1,
圆x2+y2-6x-8y+m=0,即(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心为(3,4),半径为,
若圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y+m=0相离,
则两圆内含或外离,即或
解得:9<m<25或m<-11
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,注意分析圆的圆心与半径,属于基础题.
13. 用秦九韶算法计算多项式 当时的值为 _________。
参考答案:
0
14. 已知点O为直线外任一点,点A、B、C都在直线上,且,则实数
参考答案:
略
15. 空间三点,,,若A、B、C三点
共线,则= .
参考答案:
9
略
16. 曲线在点处的切线方程为 .
参考答案:
17. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与A1C1的位置关系是 .
参考答案:
l∥A1C1
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】由A1C1∥AC,得A1C1∥平面AB1C,平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l,由线面平行的性质定理,得l∥A1C1.
【解答】解:因为A1C1∥AC,
A1C1不包含于平面AB1C,AC?平面AB1C,
所以A1C1∥平面AB1C,
又因为A1C1在底面A1B1C1D1内,
平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l,
根据线面平行的性质定理,
得l∥A1C1.
故答案为:l∥A1C1.
【点评】本题考查两直线的位置关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数是函数的导函数,(其中e为自然对数的底数),对任意实数x,都有,则不等式的解集为( )
A.(-∞,e) B.(1,+∞) C.(1, e) D.(e,+∞)
参考答案:
B
分析:由题意构造函数,则可得单调递减.又由可得,即,于是可得不等式的解集.
详解:由题意构造函数,则,
∴函数在R上单调递减.
又,
∴,
而,
∴,
∴,
故不等式的解集为.
故选B.
19. 已知函数;
(1)求函数在区间上的值域;
(2)若对于任意的实数,不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)
若,,
若,,
若,,ks5u
(2),
(i)若,即恒成立,
即,
即,,ks5u
(ii)若,,,
,,,,
综上 ,得
略
20. 已知函数.
(1)若函数在上是增函数,求实数的取值范围;
(2)若函数在上的最小值为3,求实数的值
参考答案:
(1)∵,∴.
∵在上是增函数,
∴≥0在上恒成立,即≤在上恒成立.
令,则≤.
∵在上是增函数,∴.
∴≤1.所以实数的取值范围为.
(2)由(1)得,.
①若,则,即在上恒成立,此时在上是增函数
所以,解得(舍去).
②若,令,得.当时,,所以在上是减函数,当时,,所以在上是增函数.
所以,解得(舍去).
③若,则,即在上恒成立,此时在上是减函数.
所以,所以.
21. 已知函数f(x)=.
(1)若函数f(x)的曲线上一条切线经过点M(0,0),求该切线方程;
(2)求函数f(x)在区间[﹣3,+∞)上的最大值与最小值.
参考答案:
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)求出函数的导数,设切点是(a,),求出a的值,从而求出切线方程即可;
(2)求出函数f(x)的单调区间,从而求出f(x)的最值即可.
【解答】解:(1)f′(x)=,
设切点是(a,),则k=f′(a)=,
故切线方程是:y﹣=(x﹣a)(*),
将(0,0)带入(*)得:a=1,
故切点是(1,),k=,
故切线方程是:y﹣=(x﹣1),
整理得:y=x;
(2)f′(x)=,
令f′(x)>0,解得:0<x<2,
令f′(x)<0,解得:x>2或x<0,
故f(x)在[﹣3,0)递减,在(0,2)递增,在(2,+∞)递减,
而f(﹣3)=9e3,f(0)=0,f(2)=,x→+∞时,f(x)→0,
故f(x)的最小值是0,最大值是f(﹣3)=9e3.
22. 已知函数,且的解集为(-1,1).
(1)求m的值;
(2)若正实数a、b,满足.求的最小值.
参考答案:
(1)1;(2)4.
【分析】
(1)由f(x+2)>0得|x|<m.由|x|<m有解,得m>0,且其解集为(﹣m,m),根据解集为(﹣1,1)可得m;(2)由(1)知a+2b=1,则然后利用基本不等式求解即可.
【详解】(1)∵
∴由得.
由有解,得,且其解集为
又不等式解集为,
故;
(2)由(1)知,又是正实数,
由基本不等式得
当且仅当,时取等号,
故的最小值为4.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式,注意求的最值,巧用“1”的代换,是基础题.