湖南省衡阳市衡南县第五中学2022年高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 与圆及圆都外切的动圆的圆心在( )
A、一个圆上 B、一个椭圆上 C、 双曲线的一支上 D、 一条抛物线上
参考答案:
C
2. 下列命题中,真命题是( )
(A)x0∈R,≤0 (B)x∈R, 2x>x2
(C)双曲线的离心率为
(D)双曲线的渐近线方程为
参考答案:
D
3. 曲线在处的切线平行于直线,则点的坐标为( )
A B和 C D 和
参考答案:
B
4. 已知命题p:?x∈R,使2x>3x;命题q:?x(0,),tanx>sinx下列是真命题的是( )
A.(﹣p)∧q B.(﹣p)∨(﹣q) C.p∧(﹣q) D.p∨(﹣q)
参考答案:
D
【考点】复合命题的真假.
【分析】对于命题p,容易发现x=﹣1时,2x>3x成立,所以命题p是真命题;对于?x∈,,所以便可得到tanx>sinx,所以命题q是真命题,然后根据¬p,p∧q,p∨q的真假和p,q真假的关系即可找出正确选项.
【解答】解:x=﹣1时,2x>3x,∴命题p是真命题;
,x;
∴0<cosx<1,sinx>0;
∴,;
即tanx>sinx,∴命题q是真命题;
∴¬p是假命题,(¬p)∧q是假命题,¬q是假命题,(¬p)∨(¬q)是假命题,p∧(¬q)是假命题,p∨(¬q)为真命题.
故选D.
5. 已知为第二象限角,,则
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 设P是双曲线上一点,该双曲线的一条渐近线方程是, 分别是双曲线的左、右焦点,若,则等于( )
A.2 B.18 C.2或18 D.16
参考答案:
C
略
7. 设有下面四个命题
p1:若,则;
p2:若,则;
p3:若,则;
p4:若,则.
其中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
8. 若,则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.根据下表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35,那么表中t的值为( )
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
A.3 B.3.15 C.3.5 D.4.5
参考答案:
A
【考点】回归分析的初步应用.
【专题】计算题.
【分析】先求出这组数据的样本中心点,样本中心点是用含有t的代数式表示的,把样本中心点代入变形的线性回归方程,得到关于t的一次方程,解方程,得到结果.
【解答】解:∵
由回归方程知=,
解得t=3,
故选A.
【点评】本题考查回归分析的初步应用,考查样本中心点的性质,考查方程思想的应用,是一个基础题,解题时注意数字计算不要出错.
10. 已知物体的运动方程为(是时间,是位移),则物体在时刻时的速度为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若,,,且的最小值是___.
参考答案:
9
【分析】
根据基本不等式的性质,结合乘“1”法求出代数式的最小值即可.
【详解】∵,,,
,当且仅当 时“=”成立,故答案为9.
【点睛】本题考查了基本不等式的性质,考查转化思想,属于基础题.
12. 关于二项式,有下列命题:
①该二项展开式中非常数项的系数之和是1;②该二项展开式中第六项为;③该二项展开式中系数最大的项为第1002项;④当时,除以2006的余数是2005.其中所有正确命题的序号是_______________。
参考答案:
①④
令x=1求出二项式(x?1)2005所有项的系数和为0,令x=0求出常数项为?l,非常数项的系数和是1,即得①正确;
二项展开式的第六项为 ,即得②错误;
二项展开式中系数绝对值最大的项为第1003项,即③错误;
当x=2006时,(x?1)2005除以2 006的余数是2006?l=2005,即④正确。
故答案为:①④。
13. 已知方程表示椭圆,则的取值范围为___________.
参考答案:
略
14. 圆C1:在矩阵对应的变换作用下得到了曲线C2,曲线C2的矩阵对应的变换作用下得到了曲线C3,则曲线C3的方程为 .
参考答案:
,
设为曲线上任意一点,是圆:上与P对应的点,,得,,
∵P0是圆C1上的点,
∴ C3的方程为,即.
15. 正三棱锥A﹣BCD的底面△BCD的边长为是AD的中点,且BM⊥AC,则该棱锥外接球的表面积为 .
参考答案:
12π
【考点】球的体积和表面积.
【专题】转化思想;空间位置关系与距离;球.
【分析】由正三棱锥的定义,可得AC⊥BD,又AC⊥BM,且BD,BM为相交两直线,运用线面垂直的判定和性质定理,可得AB,AC,AD两两垂直,再由正三棱锥A﹣BCD补成以AB,AC,AD为棱的正方体,则外接球的直径为正方体的对角线,再由表面积公式,计算即可得到所求值.
【解答】解:由正三棱锥A﹣BCD的定义,可得A在底面上的射影为底面的中心,
由线面垂直的性质可得AC⊥BD,
又AC⊥BM,且BD,BM为相交两直线,
可得AC⊥平面ABD,即有AC⊥AB,AC⊥AD,
可得△ABC,△ACD为等腰直角三角形,
故AB=AC=AD=2,
将正三棱锥A﹣BCD补成以AB,AC,AD为棱的正方体,
则外接球的直径为正方体的对角线,
即有2R=2,可得R=,
由球的表面积公式可得S=4πR2=12π.
故答案为:12π.
【点评】本题考查正三棱锥的外接球的表面积的求法,注意运用线面垂直的判定和性质定理的运用,以及球与正三棱锥的关系,考查运算能力,属于中档题.
16. 已知总体的各个个体值由小到大依次是2,3,3,7,a, b, 12, 13.7, 18.3, 20,且总体
中位数为10.5,若要使总体方差最小,则a,b的值分别是_____________
参考答案:
10.5, 10.5.
17. 已知变量x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为
参考答案:
11
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知命题:有两个不等的负根,命题:无实数根,若命题与命题有且只有一个为真,求实数的取值范围。
参考答案:
略
19. 已知函数.若在上的值域为区间D,试问是否存在常数n,使得区间D的长度为?若存在,求出所有n的值;若不存在,请说明理由(注:区间的长度为).
参考答案:
.
原问题等价于在上的值域的区间长度为.
①当,即时,
由,即,
得.
②当,即时,
由,∴,又,∴不合题意.
③当,即时,
由.
解得或,又,∴.
综上所述:只有符合题意.
20. 设计程序框图求的值.
参考答案:
程序框图如图所示:
无
21. 已知A、B为椭圆+=1上两点,F2为椭圆的右焦点,若|AF2|+|BF2|=a,AB中点到椭圆左准线的距离为,求该椭圆方程.
参考答案:
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由焦半径公式有a-ex1+a-ex2=,∴x1+x2=,即AB中点横坐标为,又左准线方程为,∴,即a=1,∴椭圆方程为x2+y2=1.
略
22. (本小题满分14分)已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,D是AB的中点.
(Ⅰ)求动点D的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q,
① 当|PQ|=3时,求直线l的方程;
② 试问在x轴上是否存在点E(m,0),使·恒为定值?若存在,求出E点的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(Ⅰ)设D(x,y),A(a,a),B(b,-b),
∵ D是AB的中点, ∴x=,y=,
∵ |AB|=2,∴(a-b)2+(a+b)2=12,
∴(2y)2+(2x)2=12,∴点D的轨迹C的方程为x2+y2=3. …………………5分
(Ⅱ)①当直线l与x轴垂直时,P(1,),Q(1,-),此时|PQ|=2,不符合题意;
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x-1),由于|PQ|=3,所以圆心C到直线l的距离为,由=,解得k=.故直线l的方程为y=(x-1).
②当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y=k(x-1),
由消去y得(k2+1)x2-2k2x+k2-3=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2)则由韦达定理得x1+x2=,x1x2=,
则=(m-x1,-y1),=(m-x2,-y2),
∴·=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2
=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)
=m2-++k2 (-+1)=
要使上式为定值须=1,解得m=1,∴·为定值-2,
当直线l的斜率不存在时P(1,),Q(1,-),
由E(1,0)可得=(0,-),=(0,),
∴·=-2,
综上所述当E(1,0)时,·为定值-2 . …………………14分