湖南省衡阳市衡南县第五中学2022年高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 与圆及圆都外切的动圆的圆心在（   ） A、一个圆上    B、一个椭圆上     C、 双曲线的一支上       D、 一条抛物线上 参考答案： C 2. 下列命题中，真命题是(　　) （A）x0∈R，≤0            （B）x∈R,  2x＞x2 （C）双曲线的离心率为   （D）双曲线的渐近线方程为 参考答案： D 3. 曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（    ） A         B和      C     D  和 参考答案： B 4. 已知命题p：?x∈R，使2x＞3x；命题q：?x（0，），tanx＞sinx下列是真命题的是（　　） A．（﹣p）∧q B．（﹣p）∨（﹣q） C．p∧（﹣q） D．p∨（﹣q） 参考答案： D 【考点】复合命题的真假． 【分析】对于命题p，容易发现x=﹣1时，2x＞3x成立，所以命题p是真命题；对于?x∈，，所以便可得到tanx＞sinx，所以命题q是真命题，然后根据￢p，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项． 【解答】解：x=﹣1时，2x＞3x，∴命题p是真命题； ，x； ∴0＜cosx＜1，sinx＞0； ∴，； 即tanx＞sinx，∴命题q是真命题； ∴￢p是假命题，（￢p）∧q是假命题，￢q是假命题，（￢p）∨（￢q）是假命题，p∧（￢q）是假命题，p∨（￢q）为真命题． 故选D． 5. 已知为第二象限角，，则 A．　B．　C．　D． 参考答案： B 略 6. 设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是， 分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（    ） A．2       B．18      C．2或18       D．16 参考答案： C 略 7. 设有下面四个命题 p1:若，则； p2:若，则； p3:若，则； p4:若，则. 其中真命题的个数为（   ） A．1         B．2       C.3         D．4 参考答案： C 8. 若，则下列不等式中正确的是（   ） A．            B．         C．      D． 参考答案： C 9. 表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（　　） x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5 参考答案： A 【考点】回归分析的初步应用． 【专题】计算题． 【分析】先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果． 【解答】解：∵ 由回归方程知=， 解得t=3， 故选A． 【点评】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错． 10. 已知物体的运动方程为（是时间，是位移），则物体在时刻时的速度为(   ) A．            B．           C．            D． 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，，，且的最小值是___. 参考答案： 9 【分析】 根据基本不等式的性质，结合乘“1”法求出代数式的最小值即可． 【详解】∵，，， ,当且仅当 时“=”成立，故答案为9. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于基础题． 12. 关于二项式，有下列命题： ①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；②该二项展开式中第六项为；③该二项展开式中系数最大的项为第1002项；④当时，除以2006的余数是2005.其中所有正确命题的序号是_______________。 参考答案： ①④ 令x=1求出二项式(x?1)2005所有项的系数和为0，令x=0求出常数项为?l，非常数项的系数和是1，即得①正确； 二项展开式的第六项为 ，即得②错误； 二项展开式中系数绝对值最大的项为第1003项，即③错误； 当x=2006时,(x?1)2005除以2 006的余数是2006?l=2005，即④正确。 故答案为：①④。 13. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为___________. 参考答案： 略 14. 圆C1：在矩阵对应的变换作用下得到了曲线C2，曲线C2的矩阵对应的变换作用下得到了曲线C3，则曲线C3的方程为          ． 参考答案： ， 设为曲线上任意一点，是圆：上与P对应的点，，得，， ∵P0是圆C1上的点， ∴ C3的方程为，即.   15. 正三棱锥A﹣BCD的底面△BCD的边长为是AD的中点，且BM⊥AC，则该棱锥外接球的表面积为　　． 参考答案： 12π 【考点】球的体积和表面积． 【专题】转化思想；空间位置关系与距离；球． 【分析】由正三棱锥的定义，可得AC⊥BD，又AC⊥BM，且BD，BM为相交两直线，运用线面垂直的判定和性质定理，可得AB，AC，AD两两垂直，再由正三棱锥A﹣BCD补成以AB，AC，AD为棱的正方体，则外接球的直径为正方体的对角线，再由表面积公式，计算即可得到所求值． 【解答】解：由正三棱锥A﹣BCD的定义，可得A在底面上的射影为底面的中心， 由线面垂直的性质可得AC⊥BD， 又AC⊥BM，且BD，BM为相交两直线， 可得AC⊥平面ABD，即有AC⊥AB，AC⊥AD， 可得△ABC，△ACD为等腰直角三角形， 故AB=AC=AD=2， 将正三棱锥A﹣BCD补成以AB，AC，AD为棱的正方体， 则外接球的直径为正方体的对角线， 即有2R=2，可得R=， 由球的表面积公式可得S=4πR2=12π． 故答案为：12π． 【点评】本题考查正三棱锥的外接球的表面积的求法，注意运用线面垂直的判定和性质定理的运用，以及球与正三棱锥的关系，考查运算能力，属于中档题． 16. 已知总体的各个个体值由小到大依次是2，3，3，7，a, b, 12, 13.7, 18.3, 20,且总体 中位数为10.5，若要使总体方差最小，则a,b的值分别是_____________ 参考答案： 10.5,  10.5. 17. 已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为             参考答案： 11 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.   已知命题：有两个不等的负根，命题：无实数根，若命题与命题有且只有一个为真，求实数的取值范围。 参考答案： 略 19. 已知函数.若在上的值域为区间D，试问是否存在常数n，使得区间D的长度为？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由（注：区间的长度为）. 参考答案： . 原问题等价于在上的值域的区间长度为. ①当，即时， 由，即， 得. ②当，即时， 由，∴，又，∴不合题意. ③当，即时， 由. 解得或，又，∴. 综上所述：只有符合题意. 20. 设计程序框图求的值． 参考答案： 程序框图如图所示： 无 21. 已知A、B为椭圆+=1上两点，F2为椭圆的右焦点，若|AF2|+|BF2|=a，AB中点到椭圆左准线的距离为，求该椭圆方程． 参考答案： 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由焦半径公式有a－ex1+a－ex2=，∴x1+x2=，即AB中点横坐标为，又左准线方程为，∴，即a=1，∴椭圆方程为x2+y2=1． 略 22. （本小题满分14分）已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2，D是AB的中点． （Ⅰ）求动点D的轨迹C的方程； （Ⅱ）若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，     ① 当|PQ|＝3时，求直线l的方程； ② 试问在x轴上是否存在点E(m,0)，使·恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 参考答案： （Ⅰ）设D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b), ∵ D是AB的中点， ∴x＝，y＝， ∵ |AB|＝2，∴(a－b)2＋(a＋b)2＝12， ∴(2y)2＋(2x)2＝12，∴点D的轨迹C的方程为x2＋y2＝3.      …………………5分 （Ⅱ）①当直线l与x轴垂直时，P(1，)，Q(1，－)，此时|PQ|＝2，不符合题意； 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由于|PQ|＝3，所以圆心C到直线l的距离为，由＝，解得k＝.故直线l的方程为y＝(x－1). ②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)， 由消去y得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－3＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝， 则＝(m－x1，－y1)，＝(m－x2，－y2)， ∴·＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2 ＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1) ＝m2－＋＋k2 (－＋1)＝ 要使上式为定值须＝1，解得m＝1，∴·为定值－2， 当直线l的斜率不存在时P(1，)，Q(1，－)， 由E(1，0)可得＝(0，－)，＝(0，)， ∴·＝－2， 综上所述当E(1，0)时，·为定值－2                   . …………………14分