2022年安徽省淮南市矿业集团第二十三中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设, ,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 半径为1m的圆中,60°的圆心角所对的弧的长度为( )m.
A. B. C. 60 D. 1
参考答案:
A
3. c已知,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 函数的图像为C,则以下判断中,正确的是( )
A.过点的C唯一 B.过点的C唯一
C.在长度为的闭区间上恰有一个最高点和一个最低点 D.图像C关于原点对称
参考答案:
A
5. (5分)已知函数f(x)是偶函数,而且在上是减函数,且有最小值为2,那么在上说法正确的是()
A. 增函数且有最小值为2 B. 增函数且有最大值为2
C. 减函数且有最小值为2 D. 减函数且有最大值为2
参考答案:
A
考点: 奇偶性与单调性的综合.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反及偶函数定义可选出正确答案.
解答: ∵偶函数f(x)在区间上是减函数,
∴根据偶函数的性质知f(x)在区间上是增函数,
又偶函数f(x)在区间上有最小值,即f(x)min=f(6)=2,
则f(x)在区间上的最小值f(x)min=f(﹣6)=﹣f(6)=﹣2,
故选:A.
点评: 本题考查函数的奇偶性与单调性间的关系,注意偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反,奇函数在关于y轴对称的区间上单调性一致.
6. 若函数,(其中,)的最小正周期是,且,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 已知函数图象的一条对称轴是,则函数的最大值为( )
A.5 B. C.3 D.
参考答案:
C
8. 如果两直线a∥b,且a∥平面α,则b与α的位置关系是( )
A.相交 B.b∥α或b?α C.b?α D.b∥α
参考答案:
B
【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】若两直线a∥b,且a∥平面α,根据线面平行的性质定理及线面平行的判定定理,分b?α和b?α两种情况讨论,可得b与α的位置关系
【解答】解:若a∥平面α,a?β,α∩β=b
则直线a∥b,故两直线a∥b,且a∥平面α,则可能b?α
若b?α,则由a∥平面α,
令a?β,α∩β=c
则直线a∥c,
结合a∥b,可得b∥c,由线面平行的判定定理可得b∥α
故两直线a∥b,且a∥平面α,则可能b∥α
故选:B
【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系,熟练掌握空间直线与平面平行的判定定理和性质定理是解答的关键.
9. 化简的结果为( )
A、 B、 C、 D、5
参考答案:
B
10. 在等差数列{an}中,,
则此数列前30项和等于( )
A.810 B.840 C.870 D.900
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的值域为______________.
参考答案:
略
12. 在△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,且=a,a=2,若b∈[1,3],则c的最小值为 .
参考答案:
3
【考点】HR:余弦定理.
【分析】由已知及正弦定理可得: =sinC,结合余弦定理,可得3cosC=sinC,从而可求tanC,利用同角三角函数基本关系式可求cosC,从而可求c2=b2﹣2b﹣12=(b﹣)2+9,结合范围b∈[1,3],利用二次函数的图象和性质即可解得c的最小值.
【解答】解:∵ =a,
∴由正弦定理可得: =sinC,整理可得:a2+b2﹣c2=,
又∵由余弦定理可得:a2+b2﹣c2=2abcosC,
∴2abcosC=,整理可得:3cosC=sinC,
∴解得:tanC=,cosC==,
∴c2=b2﹣2b﹣12=(b﹣)2+9,
∵b∈[1,3],
∴当b=时,c取最小值为3.
故答案为:3.
13. 已知直线l过点P(﹣2,﹣2),且与以A(﹣1,1),B(3,0)为端点的线段AB相交,则直线l的斜率的取值范围是 .
参考答案:
[,3]
【考点】直线的斜率.
【专题】计算题;方程思想;数形结合法;直线与圆.
【分析】先根据A,B,P的坐标分别求得直线AP和BP的斜率,结合图象,最后综合可得答案.
【解答】解:直线AP的斜率K==3,
直线BP的斜率K′==
由图象可知,则直线l的斜率的取值范围是[,3],
故答案为:[,3],
【点评】本题给出经过定点P的直线l与线段AB有公共点,求l的斜率取值范围.着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识,属于中档题.
14. 2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是,则sin2θ﹣cos2θ的值等于 .
参考答案:
﹣
【考点】三角函数的化简求值.
【专题】计算题.
【分析】根据题意可知每个直角三角形的长直角边为cosθ,短直角边为sinθ,小正方形的边长为cosθ﹣sinθ,先利用小正方形的面积求得∴(cosθ﹣sinθ)2的值,根据θ为直角三角形中较小的锐角,判断出cosθ>sinθ 求得cosθ﹣sinθ的值,进而求得2cosθsinθ利用配方法求得(cosθ+sinθ)2的进而求得cosθ+sinθ,利用平方差公式把sin2θ﹣cos2θ展开后,把cosθ+sinθ和cosθ﹣sinθ的值代入即可求得答案.
【解答】解:依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ,短直角边为sinθ,小正方形的边长为cosθ﹣sinθ,
∵小正方形的面积是
∴(cosθ﹣sinθ)2=
又θ为直角三角形中较小的锐角,
∴cosθ>sinθ
∴cosθ﹣sinθ=
又∵(cosθ﹣sinθ)2=1﹣2sinθcosθ=
∴2cosθsinθ=
∴1+2sinθcosθ=
即(cosθ+sinθ)2=
∴cosθ+sinθ=
∴sin2θ﹣cos2θ=(cosθ+sinθ)(sinθ﹣cosθ)=﹣
故答案为﹣.
【点评】本题主要考查了三角函数的化简求值,同角三角函数的基本关系.考查了学生综合分析推理和基本的运算能力.
15. 如图所示,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=,则下列结论中正确的是 .
①EF∥平面ABCD;
②平面ACF⊥平面BEF;
③三棱锥E﹣ABF的体积为定值;
④存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°.
参考答案:
①②③④
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①,由EF∥平面ABCD判定;
②,动点E、F运动过程中,AC始终垂直面BEF;
③,三棱锥E﹣ABF的底△BEF的面积为定值,A到面BEF的距离为定值,故其体积为定值,;
④,令上底面中心为O,当E与D1重合时,此时点F与O重合,则两异面直线所成的角是∠OBC1,可求解∠OBC1=300.
【解答】解:如图:
对于①,∵面ABCD∥面A1B1C1D1,EF?面A1B1C1D1,∴EF∥平面ABCD,故正确;
对于②,动点E、F运动过程中,AC始终垂直面BEF,∴平面ACF⊥平面BEF,故正确;
对于③,三棱锥E﹣ABF的底△BEF的面积为定值,A到面BEF的距离为定值,故其体积为定值,故正确;
对于④,令上底面中心为O,当E与D1重合时,此时点F与O重合,则两异面直线所成的角是∠OBC1,可求解∠OBC1=30°,故正确.
故答案为:①②③④
16. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,则_______.
参考答案:
63
【分析】
由等差数列的前项和公式可得,即可求出结果.
【详解】因为,所以.
故答案为63
【点睛】本题主要考查等差数列的前项和,以及等差数列的性质,熟记公式即可,属于基础题型.
17. 数列的前项和为,则该数列的通项公式为 。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数,
(1)写出函数的解析式;
(2)若直线与曲线有三个不同的交点,求a的取值范围;
(3)若直线 与曲线在内有交点,求的取值范围.
参考答案:
(1) (2) (3)
【分析】
(1)先分类讨论求出|f(x)|的解析式,即得函数的解析式;(2)当时,直线与曲线只有2个交点,不符题意.当时,由题意得,直线与曲线在或内必有一个交点,且在的范围内有两个交点.由消去得.令,写出应满足条件解得;(3)由方程组消去得.由题意知方程在,内至少有一个实根,设两根为,,不妨设,,.由根与系数关系得,.代入求解即可.
【详解】(1)当,得或,此时;
当,得,此时
∴
(2)当时,直线与曲线只有2个交点,不符题意.
当时,由题意得,直线与曲线在或内必有一个交点,且在的范围内有两个交点.
由,消去得.
令,则应同时满足以下条件:
,
解得或,所以的取值范围为
(3)由方程组,消去得.
由题意知方程在内至少有一个实根,设两根为,
不妨设,,由根与系数关系得,
∴
当且仅当时取等.
所以的取值范围为.
【点睛】本题考查了函数与方程,涉及了分段函数、零点、韦达定理等内容,综合性较强,属于难题.
19. 计算:
(1)log232﹣log2+log26
(2)8×(﹣)0+(×)6.
参考答案:
【考点】对数的运算性质;根式与分数指数幂的互化及其化简运算.
【分析】(1)利用对数的运算性质即可得出.
(2)利用指数幂的运算性质即可得出.
【解答】解:(1)原式===8.
(2)原式=×1+22×33=4+4×27=112.
20. 已知函数f(x)=lg(1+x)﹣lg(1﹣x).
(1)求函数f(x)的定义域,并证明f(x)是定义域上的奇函数;
(2)用定义证明f(x)在定义域上是单调增函数;
(3)求不等式f(x2﹣x)+f(1﹣x)>0的解集.
参考答案:
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】(1)根据函数成立的条件结合函数奇偶性的定义进行证明即可,
(2)根据函数单调性的定义进行证明即可,
(3)根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化进行求解即可.
【解答】解:(1)由对数函数的定义得,得,即﹣1<x<1,
∴函数f(x)的定义域为(﹣1,1).
∵f(﹣x)=lg(1﹣x)﹣lg(1+x)=﹣f(x),
∴f(x)是定义域上的奇函数.
(2)设﹣1<x1<x2<1,
则f(x1)﹣f(x2)=lg(1+x1)﹣lg(1﹣x1)﹣lg(1+x1)+lg(1+x1)=lg,
∵0<x1<x2<1,
∴0<1+x1<1+x2,
0<1﹣x2<1﹣x1,
于是0<<1,0<<1,