2022年安徽省淮南市矿业集团第二十三中学高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设, ,则等于（    ） A．          B．        C．        D． 参考答案： A 2. 半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为（　　）m． 　 A． B． C． 60 D． 1 参考答案： A 3. c已知，则=（   ）    A.                            B.                        C.                          D. 参考答案： B 略 4. 函数的图像为C，则以下判断中，正确的是（    ）    A．过点的C唯一                             B．过点的C唯一  C．在长度为的闭区间上恰有一个最高点和一个最低点 D．图像C关于原点对称 参考答案： A 5. （5分）已知函数f（x）是偶函数，而且在上是减函数，且有最小值为2，那么在上说法正确的是（） A． 增函数且有最小值为2 B． 增函数且有最大值为2 C． 减函数且有最小值为2 D． 减函数且有最大值为2 参考答案： A 考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反及偶函数定义可选出正确答案． 解答： ∵偶函数f（x）在区间上是减函数， ∴根据偶函数的性质知f（x）在区间上是增函数， 又偶函数f（x）在区间上有最小值，即f（x）min=f（6）=2， 则f（x）在区间上的最小值f（x）min=f（﹣6）=﹣f（6）=﹣2， 故选：A． 点评： 本题考查函数的奇偶性与单调性间的关系，注意偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反，奇函数在关于y轴对称的区间上单调性一致． 6. 若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则    A.   B.     C. D. 参考答案： C 略 7. 已知函数图象的一条对称轴是，则函数的最大值为（    ） A．5          B．         C．3         D． 参考答案： C 8. 如果两直线a∥b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是（　　） A．相交 B．b∥α或b?α C．b?α D．b∥α 参考答案： B 【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】若两直线a∥b，且a∥平面α，根据线面平行的性质定理及线面平行的判定定理，分b?α和b?α两种情况讨论，可得b与α的位置关系 【解答】解：若a∥平面α，a?β，α∩β=b 则直线a∥b，故两直线a∥b，且a∥平面α，则可能b?α 若b?α，则由a∥平面α， 令a?β，α∩β=c 则直线a∥c， 结合a∥b，可得b∥c，由线面平行的判定定理可得b∥α 故两直线a∥b，且a∥平面α，则可能b∥α 故选：B 【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行的判定定理和性质定理是解答的关键． 9. 化简的结果为（   ） A、             B、            C、           D、5 参考答案： B 10. 在等差数列｛an｝中，, 则此数列前30项和等于（　　） A．810 B．840 C．870 D．900 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的值域为______________． 参考答案： 略 12. 在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，且=a，a=2，若b∈[1，3]，则c的最小值为　   　． 参考答案： 3 【考点】HR：余弦定理． 【分析】由已知及正弦定理可得： =sinC，结合余弦定理，可得3cosC=sinC，从而可求tanC，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，从而可求c2=b2﹣2b﹣12=（b﹣）2+9，结合范围b∈[1，3]，利用二次函数的图象和性质即可解得c的最小值． 【解答】解：∵ =a， ∴由正弦定理可得： =sinC，整理可得：a2+b2﹣c2=， 又∵由余弦定理可得：a2+b2﹣c2=2abcosC， ∴2abcosC=，整理可得：3cosC=sinC， ∴解得：tanC=，cosC==， ∴c2=b2﹣2b﹣12=（b﹣）2+9， ∵b∈[1，3]， ∴当b=时，c取最小值为3． 故答案为：3． 13. 已知直线l过点P（﹣2，﹣2），且与以A（﹣1，1），B（3，0）为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是　　． 参考答案： [，3] 【考点】直线的斜率． 【专题】计算题；方程思想；数形结合法；直线与圆． 【分析】先根据A，B，P的坐标分别求得直线AP和BP的斜率，结合图象，最后综合可得答案． 【解答】解：直线AP的斜率K==3， 直线BP的斜率K′== 由图象可知，则直线l的斜率的取值范围是[，3]， 故答案为：[，3]， 【点评】本题给出经过定点P的直线l与线段AB有公共点，求l的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题． 14. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于　　． 参考答案： ﹣ 【考点】三角函数的化简求值． 【专题】计算题． 【分析】根据题意可知每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ﹣sinθ，先利用小正方形的面积求得∴（cosθ﹣sinθ）2的值，根据θ为直角三角形中较小的锐角，判断出cosθ＞sinθ  求得cosθ﹣sinθ的值，进而求得2cosθsinθ利用配方法求得（cosθ+sinθ）2的进而求得cosθ+sinθ，利用平方差公式把sin2θ﹣cos2θ展开后，把cosθ+sinθ和cosθ﹣sinθ的值代入即可求得答案． 【解答】解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ﹣sinθ， ∵小正方形的面积是 ∴（cosθ﹣sinθ）2= 又θ为直角三角形中较小的锐角， ∴cosθ＞sinθ        ∴cosθ﹣sinθ= 又∵（cosθ﹣sinθ）2=1﹣2sinθcosθ= ∴2cosθsinθ= ∴1+2sinθcosθ= 即（cosθ+sinθ）2= ∴cosθ+sinθ= ∴sin2θ﹣cos2θ=（cosθ+sinθ）（sinθ﹣cosθ）=﹣ 故答案为﹣． 【点评】本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系．考查了学生综合分析推理和基本的运算能力． 15. 如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中正确的是　   　． ①EF∥平面ABCD； ②平面ACF⊥平面BEF； ③三棱锥E﹣ABF的体积为定值； ④存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°． 参考答案： ①②③④   【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①，由EF∥平面ABCD判定； ②，动点E、F运动过程中，AC始终垂直面BEF； ③，三棱锥E﹣ABF的底△BEF的面积为定值，A到面BEF的距离为定值，故其体积为定值，； ④，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1=300． 【解答】解：如图： 对于①，∵面ABCD∥面A1B1C1D1，EF?面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故正确； 对于②，动点E、F运动过程中，AC始终垂直面BEF，∴平面ACF⊥平面BEF，故正确； 对于③，三棱锥E﹣ABF的底△BEF的面积为定值，A到面BEF的距离为定值，故其体积为定值，故正确； 对于④，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1=30°，故正确． 故答案为：①②③④ 16. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则_______. 参考答案： 63 【分析】 由等差数列的前项和公式可得，即可求出结果. 【详解】因为，所以. 故答案为63 【点睛】本题主要考查等差数列的前项和，以及等差数列的性质，熟记公式即可，属于基础题型. 17. 数列的前项和为，则该数列的通项公式为             。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数， （1）写出函数的解析式； （2）若直线与曲线有三个不同的交点，求a的取值范围； （3）若直线 与曲线在内有交点，求的取值范围. 参考答案： (1) (2) (3) 【分析】 （1）先分类讨论求出|f(x)|的解析式，即得函数的解析式；（2）当时，直线与曲线只有2个交点，不符题意．当时，由题意得，直线与曲线在或内必有一个交点，且在的范围内有两个交点．由消去得．令，写出应满足条件解得；（3）由方程组消去得．由题意知方程在，内至少有一个实根，设两根为，，不妨设，，．由根与系数关系得，．代入求解即可． 【详解】（1）当，得或，此时； 当，得，此时 ∴ （2）当时，直线与曲线只有2个交点，不符题意. 当时，由题意得，直线与曲线在或内必有一个交点，且在的范围内有两个交点. 由，消去得. 令，则应同时满足以下条件： ， 解得或，所以的取值范围为 （3）由方程组，消去得. 由题意知方程在内至少有一个实根，设两根为， 不妨设，，由根与系数关系得， ∴ 当且仅当时取等. 所以的取值范围为. 【点睛】本题考查了函数与方程，涉及了分段函数、零点、韦达定理等内容，综合性较强，属于难题． 19. 计算： （1）log232﹣log2+log26 （2）8×（﹣）0+（×）6． 参考答案： 【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 【分析】（1）利用对数的运算性质即可得出． （2）利用指数幂的运算性质即可得出． 【解答】解：（1）原式===8． （2）原式=×1+22×33=4+4×27=112． 20. 已知函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）． （1）求函数f（x）的定义域，并证明f（x）是定义域上的奇函数； （2）用定义证明f（x）在定义域上是单调增函数； （3）求不等式f（x2﹣x）+f（1﹣x）＞0的解集． 参考答案： 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】（1）根据函数成立的条件结合函数奇偶性的定义进行证明即可， （2）根据函数单调性的定义进行证明即可， （3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化进行求解即可． 【解答】解：（1）由对数函数的定义得，得，即﹣1＜x＜1， ∴函数f（x）的定义域为（﹣1，1）． ∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）， ∴f（x）是定义域上的奇函数． （2）设﹣1＜x1＜x2＜1， 则f（x1）﹣f（x2）=lg（1+x1）﹣lg（1﹣x1）﹣lg（1+x1）+lg（1+x1）=lg， ∵0＜x1＜x2＜1， ∴0＜1+x1＜1+x2， 0＜1﹣x2＜1﹣x1， 于是0＜＜1，0＜＜1，