2022-2023学年湖南省永州市荒塘乡民族中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△ABC中，则最短边的边长为        （    ） A．           B．            C．           D． 参考答案： B 略 2. 已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为    ( 　　)． A．x＋y＝0  B．x－y＝0 C．x－y＋1＝0      D．x＋y－6＝0 参考答案： C 3. 若Sn＝sin ＋sin ＋…＋sin (n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（ ） A．16  B．72 C．86  D．100 参考答案： C 4. 已知，，，则实数的大小关系是(　　) A.      B.       C.     D. 参考答案： C 5. 若直线3x﹣4y+12=0与两坐标轴交点为A、B，则以AB为直径的圆的方程是（　　） A．x2+y2+4x﹣3y=0 B．x2+y2﹣4x﹣3y=0 C．x2+y2+4x﹣3y﹣4=0 D．x2+y2﹣4x﹣3y+8=0 参考答案： A 【考点】圆的标准方程． 【分析】先求出A、B两点坐标，AB为直径的圆的圆心是AB的中点，半径是AB的一半，由此可得到圆的方程． 【解答】解：由x=0得y=3，由y=0得x=﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0，3）， ∴以AB为直径的圆的圆心是（﹣2，），半径r=， 以AB为直径的圆的方程是， 即x2+y2+4x﹣3y=0． 故选A． 6. 已知函数，若，则取值范围是（）． A．(－∞,0] B．(－∞,1] C．[－3,0] D．[－3,1] 参考答案： C 当时，根据恒成立，则此时， 当时，根据的取值为，， 当时，不等式恒成立， 当时，有，即． 综上可得，的取值范围是． 故选． 7. 一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为（  ） A. km B. km C. km D. km 参考答案： B 【分析】 作出示意图，在△ABC中，可由正弦定理求的长. 【详解】作出示意图如图所示，， ，，则. 由正弦定理，可得，则. 所以这时船与灯塔的距离为. 【点睛】本题考查解三角形在实际问题中的应用，考查正弦定理.解题的关键是根据题意得出相应三角形的边与角. 8. 已知函数，则                 （　　） A．                 B． C．                 D．符号不确定 参考答案： C 略 9. 函数的零点是和，则（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 先由韦达定理得到，再由两角和的正切公式得到结果. 【详解】因为的零点是和，所以，是方程的两个根，根据韦达定理得到,再由两角和的正切公式得到:. 故选B. 【点睛】本题考查了二次方程的根，以及韦达定理的应用，涉及正切函数的两角和的公式的应用，属于基础题. 10. △ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，则角C=（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 参考答案： A 【考点】HR：余弦定理． 【分析】先根据正弦定理把2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB中的角转换成边可得a，b和c的关系式，再代入余弦定理求得cosC的值，进而可得C的值． 【解答】解：△ABC中，由2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB， 根据正弦定理得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2， ∴cosC==， ∴角C的大小为30°， 故选A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数在R上的最大值为　  　． 参考答案： 1 【考点】函数的最值及其几何意义． 【分析】当x≠0时，═令，t∈R，原函数化为g（t）=，可得原函数的最大值．． 【解答】解：1）当x=0时，f（x）=0； 2）当x≠0时，═， 令，t∈R，原函数化为g（t）=，又因为t+或为t+，原函数的最大值为1． 故答案：1． 12. 函数的定义域为       **   ； 参考答案： 13. 奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是___________. 参考答案： 14. 若方程有两解，则的取值范围是         。 参考答案： （0,1） 15. 给出下列六个命题： ①函数f（x）＝lnx－2＋x在区间（1 , e）上存在零点； ②若，则函数y＝f（x）在x＝x0处取得极值； ③若m≥－1，则函数的值域为R； ④“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件。 ⑤函数y=（1+x）的图像与函数y=f（l-x）的图像关于y轴对称；⑥满足条件AC=，AB =1的三角形△ABC有两个． 其中正确命题的个数是      　   。 参考答案： ①③④⑤ 16. （3分）命题“若x≠3且x≠4，则x2﹣7x+12≠0”的逆否命题是若          ． 参考答案： x2﹣7x+12=0，则x=3或x=4 考点： 四种命题． 专题： 简易逻辑． 分析： 根据四种命题之间的关系写出命题的逆否命题即可． 解答： 逆否命题是：若x2﹣7x+12=0，则 x=3或x=4； 故答案为：若x2﹣7x+12=0，则 x=3或x=4． 点评： 本题考查了四种命题之间的关系，是一道基础题． 17. 如图，边长为l的菱形ABCD中，∠DAB=60°，，则=　　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系，可得A、B、C、D各点的坐标，结合题中数据和等式，可得向量、的坐标，最后用向量数量积的坐标公式，可算出的值． 【解答】解：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系 ∵菱形ABCD边长为1，∠DAB=60°， ∴D（cos60°，sin60°），即D（，），C（，） ∵，∴M为CD的中点，得=（+）=（2+）=（1，） 又∵，∴=+=（，） ∴=1×+×= 故答案为： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在中，内角的对边分别为.已知. 求的值；若，的周长为5，求的长. 参考答案： 解（1)由正弦定理得所以=, 即,即有,即,所以=2.                        (2)由(1)知=2,所以有,即,又因为的周长为5,所以=5-3, 由余弦定理得：，即， 解得=1，所以=2. 略 19. （12分）函数f（x）=2sinxcosx+m（sinx+cosx）﹣2， （1）当m=1时，求f（x）的值域； （2）若对于任意的x∈R，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围． 参考答案： 考点： 三角函数的最值；函数的值域． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （1）首先，设sinx+cosx=t，得到t=sin（x+），从而有t∈．然后，结合二次函数的图象求解； （2）首先，根据（1）的得到y=t2﹣1+mt﹣2，从而转化成t2+mt﹣3＜0，t∈．从而有，即可求解其范围． 解答： （1）∵m=1， ∴f（x）=2sinxcosx+sinx+cosx﹣2， 设sinx+cosx=t， ∴t=sin（x+）， ∴t∈． 2sinxcosx=t2﹣1， ∴y=t2﹣1+t﹣2 =（t+）2﹣， ∵t∈． ∴y∈． ∴f（x）的值域； （2）根据（1），得 设sinx+cosx=t， ∴t=sin（x+）， ∴t∈． 2sinxcosx=t2﹣1， ∴y=t2﹣1+mt﹣2 ∴t2+mt﹣3＜0，t∈． ∴， 解得m∈（﹣，）． 点评： 本题重点考查了三角恒等变换公式、辅助角公式等知识，属于中档题． 20. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点． （1）求证：EF⊥B1C； （2）求三棱锥E﹣FCB1的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（1）由已知在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点，可得B1C⊥AB，B1C⊥BC1，进一步得到B1C⊥平面ABC1D1，进而B1C⊥BD1，再由中位线定理即可得到EF⊥B1C； （2）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD1B1，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B1EF的面积，然后由等积法把三棱锥E﹣FCB1的体积转化为C﹣B1EF的体积求解． 【解答】（1）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体， ∴B1C⊥AB，B1C⊥BC1，又AB∩BC1=B ∴B1C⊥平面ABC1D1， ∴B1C⊥BD1， 又∵E、F分别为DD1、DB的中点，∴EF∥BD1， ∴EF⊥B1C； （2）∵CF⊥平面BDD1B1， ∴CF⊥平面EFB1， 由已知得CF=BF=， ∵EF=BD1，， =， ∴，即∠EFB1=90°， ∴=?=． 21.   已知数列{an}的前n项和Sn=2－an，数列{bn}满足b1=1，b3+b7=18，且bn－1+bn+1=2bn（n≥2）   （1）求数列{an}和{bn}的通项公式；   （2）若cn=，求数列{cn}的前n项和Tn. 参考答案：   （1）由题意知Sn=2－an，①当n≥2时，Sn－1=2－an－1② ①－②得an=Sn－Sn－1=an－1－an，即an=an－1 又a1=s1=2－a1，∴a1=1 故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以an=               3分 由bn－1+bn+1=2bn(n≥2)知，数列{bn}是等差数列，设其公差为d，则b5=（b3+b7）=9， 故d==2，bn=b1+(n－1)d=2n－1                         6分 综上，数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=,bn=2n－1               7分 （2）∵cn==（2n－1）·2n－1 ∴Tn=c1+c2+c3+…+cn =1×20+3×21+5×22+…+（2n－1）×2n－1③ 2Tn=1×21+3×22+…+(2n－3)×2n－1+(2n－1) ×2n④ ③－④得－Tn=1+2（21+22+…+2n－1）－（2n－1）·2n                         11分 即－Tn=1+2（2n－2）－(2n－1)2n=－(2n－3)2n－3 ∴Tn=(2n－3)·2n+3                                                  14分 22. 某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项测试．这25位学生的考分编成的茎叶图如图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（用x来表示），但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同． 甲班 茎 乙班 　 12 3  6  8 　 13 0  3 7  4  3 14 1 4  4  2 15 X  8 9  8 7  0  16 1  3       8 17 5  6      6 18 3   (1)求这两个班学生成绩的中位数及x的值；