湖北省荆州市周沟中学2022-2023学年高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
9. 若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线和轴都相切,则该圆的标准方程是
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
2. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为
A.588 B.480 C.450 D.120
参考答案:
B
3. 用“辗转相除法”求得和的最大公约数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 以表示等差数列的前项和,若,则( )
A、42 B、28 C、21 D、14
参考答案:
A
5. 若,则 的最小值为( )
A 2 B 4 C 8 D 16
参考答案:
B
6. 有20位同学,编号从1至20,现在从中抽取4人作调查,用系统抽样方法确定所抽的编号可以为( )
A.5,10,15,20 B.2,6,10,14 C.2,4,6,8 D.5,8,11,14
参考答案:
A
略
7. 圆M与圆内切,且经过点A(3,2),则圆心M在( )
A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条抛物上 D.一个圆上
参考答案:
A
略
8. 已知f(n)=1+++…+(n∈N*),计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,由此推算:当n≥2时,有( )
A.f(2n)>(n∈N*) B.f(2n)>(n∈N*)
C.f(2n)>(n∈N*) D.f(2n)>(n∈N*)
参考答案:
D
考点:归纳推理.
专题:推理和证明.
分析:根据已知中的等式f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,…,我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系,归纳推断后,即可得到答案.
解答:解:观察已知的等式:f(2)=,
f(4)>2,即f(22)>
f(8)>,即f(23)>,
f(16)>3,即f(24)>,
…,
归纳可得:
f(2n)>,n∈N*)
故选:D.
点评:本题主要考查了归纳推理的问题,其一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
9. 函数在处取到极值,则的值为( )
A. B. C.0 D.
参考答案:
A
10. 在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,已知bcosC+ccosB=2b,则=( )
A.2 B. C. D.1
参考答案:
A
【考点】正弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦,进而利用两角和公式对等号左边进行化简求得sinA和sinB的关系,进而利用正弦定理求得a和b的关系.
【解答】解:∵bcosC+ccosB=2b,
∴sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA=2sinB,
∴=2,
由正弦定理知=,
∴==2,
故选:A.
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用,三角函数恒等变换的应用.考查了学生分析和运算能力.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在空间四边形ABCD中,BC = AD,E、F、M、N分别是AB、CD、BD、AC的中点,则EF与MN的夹角等于______________。
参考答案:
90°
12. 设,若不等式对任意实数恒成立,则x取值集合是_______.
参考答案:
【分析】
将不等式转化为,分别在、、、的情况下讨论得到的最大值,从而可得;分别在、、的情况去绝对值得到不等式,解不等式求得结果.
【详解】对任意实数恒成立等价于:
①当时,
②当时,
③当时,
④当时,
综上可知:
,即
当时,,解得:
当时,,无解
当时,,解得:
的取值集合为:
本题正确结果;
【点睛】本题考查绝对值不等式中的恒成立问题,关键是能够通过分类讨论的思想求得最值,从而将问题转化为绝对值不等式的求解,再利用分类讨论的思想解绝对值不等式即可得到结果.
13.
参考答案:
略
14. 已知某圆的极坐标方程为,若点在该圆上,则的最大值是_______
参考答案:
15. 在正三棱柱中,若AB ,则_________;
参考答案:
90
16. 假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋
牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将800袋牛奶按
000,001,…,799进行编号,如果从随机数表第8行第18列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号 ▲ .
(下面摘取了一随机数表的第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 62 58 79
73 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
参考答案:
719,050,717
17. 若直线被圆所截得的弦长为,则实数a的值为 .
参考答案:
0或4
圆心到直线的距离为:,
结合弦长公式有:,
求解关于实数的方程可得:或.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 现有一批产品共有件,其中件为正品,件为次品:
(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续次取出的都是正品的概率;
(2)如果从中一次取件,求3件都是正品的概率.
参考答案:
解:(1)有放回地抽取次,按抽取顺序记录结果,则都有种可能,所以试验结果有种;设事件为“连续次都取正品”,则包含的基本事件共有种,因此,……………………6分
(2)可以看作不放回抽样次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录,则有种可能,有种可能,有种可能,所以试验的所有结果为种.设事件为“件都是正品”,则事件包含的基本事件总数为, 所以 ……………………………12分
略
19. 已知函数y=xlnx
(1)求这个函数的导数;
(2)求这个函数的图象在点x=1处的切线方程.
参考答案:
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的运算.
【专题】计算题.
【分析】(1)运用积函数的求导公式计算这个函数的导数即可.
(2)欲求在点x=1处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
【解答】解:(1)y=xlnx,
∴y'=1×lnx+x?=1+lnx
∴y'=lnx+1…(4分)
(2)k=y'|x=1=ln1+1=1…(6分)
又当x=1时,y=0,所以切点为(1,0)…(8分)
∴切线方程为y﹣0=1×(x﹣1),
即y=x﹣1…(12分).
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.
20. 某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本为20元,每公斤蘑菇的加工费用为t元(t为常数,2≤t≤5),该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查销售量q与ex成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100公斤。
(1)求该厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式;
(2)若t=5,求每公斤蘑菇的出厂价x为多少时,该厂的利润y最大?最大值为多少?
参考答案:
(1) y= (25≤x≤40) ;
(2)当x=26时,y最大=100e4,
当每公斤蘑菇的出厂价为26元时,该食品厂的利润最大,最大值为100e4元。
21. (本小题满分16分)
已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,一条渐近线方程为,且过点.
(1)求双曲线方程;
(2)设点坐标为,求双曲线上距点最近的点的坐标及相应的距离.
参考答案:
解:(1)由题意,设双曲线方程为 ------------------ 2分
将点代入双曲线方程,得,
即 ----------------------5分
所以,所求的双曲线方程为 ----------------------7分
(2)设双曲线上任意一点,则
从而
= ----------------------12分
当时有最小值
所以当的坐标为时有最小值. ----------------------16分
22. 给定两个命题,命题p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立,命题q:关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】命题的真假判断与应用;复合命题的真假;函数恒成立问题.
【分析】根据二次函数恒成立的充要条件,我们可以求出命题p为真时,实数a的取值范围,根据二次函数有实根的充要条件,我们可以求出命题q为真时,实数a的取值范围,然后根据p∨q为真命题,p∧q为假命题,则命题p,q中一个为真一个为假,分类讨论后,即可得到实数a的取值范围.
【解答】解:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立?a=0或?0≤a<4;(2分)
关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根?△=1﹣4a≥0?a≤;…(4分)
p∨q为真命题,p∧q为假命题,即p真q假,或p假q真,…
如果p真q假,则有0≤a<4,且a>
∴<a<4;…(6分)
如果p假q真,则有a<0,或a≥4,且a≤
∴a<0…(7分)
所以实数a的取值范围为(﹣∞,0)∪(,4). …(8分)
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,复合命题的真假,函数恒成立问题,其中判断出命题p与命题q为真时,实数a的取值范围,是解答本题的关键.