河南省三门峡市菜园中学高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )
A.2 B.3 C.6 D.9
参考答案:
D
2. 已知△ABC的周长为20,且顶点B (0,﹣4),C (0,4),则顶点A的轨迹方程是( )
A.(x≠0) B.(x≠0)
C.(x≠0) D.(x≠0)
参考答案:
B
【考点】椭圆的定义.
【专题】计算题.
【分析】根据三角形的周长和定点,得到点A到两个定点的距离之和等于定值,得到点A的轨迹是椭圆,椭圆的焦点在y轴上,写出椭圆的方程,去掉不合题意的点.
【解答】解:∵△ABC的周长为20,顶点B (0,﹣4),C (0,4),
∴BC=8,AB+AC=20﹣8=12,
∵12>8
∴点A到两个定点的距离之和等于定值,
∴点A的轨迹是椭圆,
∵a=6,c=4
∴b2=20,
∴椭圆的方程是
故选B.
【点评】本题考查椭圆的定义,注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小,看能不能构成椭圆,本题是一个易错题,容易忽略掉不合题意的点.
3. 如图,已知函数的图象关于坐标原点对称,则函数的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
根据函数图像的对称性,单调性,利用排除法求解.
【详解】由图象知,函数是奇函数,排除,;当时,显然大于0,与图象不符,排除D,故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的图象及函数的奇偶性,属于中档题.
4. 倾斜角是45°且过(﹣2,0)的直线的方程是( )
A.x﹣y+2=0 B.x+y﹣2=0 C. x﹣y+2=0 D. x﹣y﹣2=0
参考答案:
A
【考点】直线的点斜式方程.
【专题】计算题;规律型;直线与圆.
【分析】求出直线的斜率,然后求解直线方程即可.
【解答】解:倾斜角是45°则直线的斜率为:1,过(﹣2,0)的直线的方程是y=x+2,
即x﹣y+2=0.
故选:A.
【点评】本题考查直线方程的求法,基本知识的考查.
5. 已知定义域为正整数集的函数f(x)满足,则数列的前99项和为( )
A.-19799 B.-19797 C. -19795 D.-19793
参考答案:
A
6. 的( )
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也必要条件
参考答案:
B
7. 已知等比数列的各项均为正数,公比,设,,则与的大小关系是 ( )
(A) (B) (C) (D)无法确定
参考答案:
A
略
8. 用反证法证明命题“已知,,,则a,b中至多有一个不小于0”时,假设正确的是( )
A. 假设a,b都不大于0 B. 假设a,b至多有一个大于0
C. 假设a,b都小于0 D. 假设a,b都不小于0
参考答案:
D
【分析】
利用反证法的定义写出命题结论的否定即可.
【详解】根据反证法的概念,假设应是所证命题结论的否定,
所以假设应为:“假设,都不小于0”,
故选:D
【点睛】反证法的适用范围是:(1)否定性命题;(2)结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题;(3)命题成立非常明显,直接证明所用的理论较少,且不容易证明,而其逆否命题非常容易证明;(4)要讨论的情况很复杂,而反面情况较少.
9. 的展开式中的第6项是
A. B.
C. D.
参考答案:
C
10. 下列说法正确的是( )
A.“x<1”是“log2(x+1)<1”的充分不必要条件
B.命题“?x>0,2x>1”的否定是,“?x0≤0,≤1”
C.命题“若a≤b,则ac2≤bc2”的逆命题是真命题
D.命题“若a+b≠5,则a≠2或b≠3”的逆否命题为真命题
参考答案:
D
【考点】2K:命题的真假判断与应用.
【分析】x<1时,不能得出log2(x+1)<1,判断充分性不成立,A错误;
写出命题“?x>0,2x>1”的否定即可判断B错误;
写出命题“若a≤b,则ac2≤bc2”的逆命题并判断C命题错误;
写出命题的逆否命题并判断它的真假性,得D正确.
【解答】解:对于A,x<1时,x+1<2,不能得出x+1>0,
∴不能得出log2(x+1)<1,充分性不成立,A错误;
对于B,命题“?x>0,2x>1”的否定是:
“”,B错误;
对于C,命题“若a≤b,则ac2≤bc2”的逆命题是:
“若ac2≤bc2,则a≤b”是假命题,如c=0时,命题不成立;
对于D,命题“若a+b≠5,则a≠2或b≠3”的逆否命题是:
“若a=2且b=3,则a+b=5”是真命题,D正确.
故选:D为真命题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设,若,则下列不等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
利用赋值法:令排除A,B,C,选D.
12. 已知a,b∈R,且a≠﹣1,则|a+b|+|﹣b|的最小值是 .
参考答案:
1
【考点】基本不等式.
【分析】利用绝对值不等式的性质、基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:a,b∈R,且a≠﹣1,
则|a+b|+|﹣b|≥=|a+1+﹣1|≥|2﹣1|=1,当且仅当a=0时取等号.
故答案为:1.
【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
13. 如图,它满足①第n行首尾两数均为n,②表中的递推关系类似杨辉三角,则第n行(n≥2)第2个数是 .
参考答案:
【考点】归纳推理.
【分析】依据“中间的数从第三行起,每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和,即有an+1=an+n(n≥2),再由累加法求解即可.
【解答】解:依题意an+1=an+n(n≥2),a2=2
所以a3﹣a2=2,a4﹣a3=3,…,an﹣an﹣1=n
累加得 an﹣a2=2+3+…+(n﹣1)=
∴
故答案为:
【点评】本题考查学生的读图能力,通过三角数表构造了一系列数列,考查了数列的通项及求和的方法,属于中档题.
14. 用反证法证明命题“如果,那么”时,应假设__________.
参考答案:
【分析】
由反证法的定义得应假设:
【详解】由反证法的定义得应假设:
故答案为:
【点睛】本题主要考查反证法的证明过程,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
15. 如下图,在三角形中,,分别为,的中 点,为上的点,且. 若 ,则实数 ,实数 .
参考答案:
2, 1
16. 命题P:对?x≥0,都有x3﹣1≥0,则¬p是 .
参考答案:
?x≥0,使得x3﹣1<0
【考点】2J:命题的否定.
【分析】根据全称命题的否定是特称命题,即可得到结论.
【解答】解:根据全称命题的否定是特称命题即可得到:
¬p:?x<0,使得x3﹣1<0,
故答案为:?x≥0,使得x3﹣1<0
17. 已知函数f(x)=+2ax﹣lnx,若f(x)在区间上是增函数,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
a≥
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】由题意,f(x)在区间上是增函数可化为在恒成立,从而再化为最值问题.
【解答】解:∵f(x)在区间上是增函数,
∴在恒成立,
即在恒成立,
∵﹣x+在上是减函数,
∴,
∴即.
故答案为:a≥.
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理与应用,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 为预防某种流感病毒爆发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%,则认为测试没有通过),公司选定2000个流感样本分成三组,测试结果如表:
A组
B组
C组
疫苗有效
673
x
y
疫苗无效
77
90
Z
已知在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率是0.33.
(1)求x的值;
(2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,问应在C组抽取多少个?
参考答案:
【考点】分层抽样方法;概率的意义.
【分析】(1)根据抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,列出方程即可求出x的值;
(II)求出每个个体被抽到的概率,利用这一组的总体个数乘以每个个体被抽到的概率,即得要求的结果数.
【解答】解:(1)∵在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率是0.33,
∴=0.33,
解得x=660;
(2)C组样本个数是
y+z=2000﹣=500,
用分层抽样方法在全体中抽取360个测试结果,应在C组抽取的个数为
360×=90.
19. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=4和直线l:x=4,M为l上一动点,A1,A2为圆C与x轴的两个交点,直线MA1,MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q.
(1)若M点的坐标为(4,2),求直线PQ方程;
(2)求证直线PQ过定点,并求出此定点的坐标.
参考答案:
【考点】直线和圆的方程的应用.
【分析】(1)求出A1,A2的坐标,可求直线MA1的方程、直线MA2的方程,与圆的方程联立,求出P,Q的坐标,由两点式求直线PQ方程;
(2)设M(4,t),则直线MA1的方程:,直线MA2的方程:,分别代入圆的方程,求出P,Q的坐标,分类讨论,确定直线PQ的方程,即可得出结论.
【解答】(1)解:当M(4,2),
则A1(﹣2,0),A2(2,0).
直线MA1的方程:x﹣3y+2=0,
解得.
直线MA2的方程:x﹣y﹣2=0,
解得Q(0,﹣2),
由两点式可得直线PQ的方程为2x﹣y﹣2=0;
(2)证明:设M(4,t),则直线MA1的方程:,直线MA2的方程:
由得
由得
当时,,
则直线PQ:
化简得,恒过定点(1,0)
当时,,直线PQ:x=1,恒过定点(1,0)
故直线PQ过定点(1,0).…
20. 已知两直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0.求分别满足下列条件的a,b的值.
(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与l2垂直;
(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.
参考答案:
(1)∵l1⊥l2,
∴a(a-1)+(-b)·1=0,即a2-a-b=0,①
又点(-3,-1)在l1上,
∴-3a+b+4=0.②
由①②得a=2,b=2.
(2)∵l1∥l2,∴a+b(a-1)=0,∴b=,
故l1和l2的方程可分别表示为:
(a-1)x+y+=0,(a-1)x+y+=0,
又原点到l1与l2的距离相等.
∴4=,∴a=2或a=,
∴a=2,b=-2或a=,b=2
21. 用循环语句描述1++++…+.
参考答案:
算法分析:
第一步:是选择一个变量S表示和,并赋给初值0,再选取一个循环