江西省九江市私立豫宁中学2022年高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 执行如图所示的程序框图,输出S的值等于( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
由题可知
即得S=
2. 若点P分有向线段所成的比为,则点B分有向线段所成的比是( )
A. B. C. D.3
参考答案:
A
3. 已知均为正实数,定义,若,则的值为( )
A、 B、 C、 D、或
参考答案:
C
略
4. 若复数z满足,则( )
A.-3+i B.3-2i C.3+i D.1+i
参考答案:
C
5. 在中,,从顶点出发,在内等可能地引射线交线段于点,则的概率是( )
参考答案:
C
6. 执行如图所示的程序框图,输出的值为
(A)(B)(C)(D)
参考答案:
B
由程序框图可知,当时,满足条件,即,所以该程序是求的程序,所以,选B.
7. 定义在R上的函数满足,且为偶函数,当时,有
A. B.
C. D.
【解析】①若,则,此时和为偶函数都成立,此时当时,恒有。
②若不是常数,因为函数为偶函数,所以,即函数关于对称,所以。当时,,此时函数单调递减,当时,,此时函数单调递增。若,则由,得,即,所以同理若,由,得,即,所以,若中一个大于1,一个小于1,不妨设,则,得,所以,即,综上有,即,选A.
参考答案:
①若,则,此时和为偶函数都成立,此时当时,恒有。
②若不是常数,因为函数为偶函数,所以,即函数关于对称,所以。当时,,此时函数单调递减,当时,,此时函数单调递增。若,则由,得,即,所以同理若,由,得,即,所以,若中一个大于1,一个小于1,不妨设,则,得,所以,即,综上有,即,选A.
【答案】A
8. 若为虚数单位,则等于
A. B. C.1 D.-1
参考答案:
A
略
9. 执行如图所示的程序框图,输出的结果为
A. 3,5 B. 8,13
C. 12,17 D. 21,34
参考答案:
B
【分析】
结合框图的循环条件,逐步运算可得结果.
【详解】第一次运算:;第二次运算:;第三次运算:;此时结束循环,输出结果,故选B.
【点睛】本题主要考查程序框图的识别,侧重考查数学运算的核心素养.
10. 已知直线⊥平面,直线m平面,有下面四个命题:①∥⊥m;②⊥∥m;③∥m⊥; ④⊥m∥.
其中正确命题的个数是
A.4 B.3 C. 2 D. 1
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在上任取一个数,代入三个函数,,的计算程序,得到三个值,接着自动将它们输入下一个程序(对应程序框图如上右图),则输出的结果为的概率是_________
参考答案:
略
12. 一个空间几何体的三视图(单位:)如图所示,则该几何体的体积
为 .
参考答案:
13. 已知,且为第二象限角,则的值为_____________.
参考答案:
略
14. 圆与双曲线的渐近线相切,则的值是 _______.
参考答案:
双曲线的渐近线为,不妨取,若直线与圆相切,则有圆心到直线的距离,即,所以。
15. 过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被圆截得的弦长是__________
参考答案:
略
16. 已知等差数列的前项和为,且,则
参考答案:
17. 等差数列中,,则
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题共14分)设是一个自然数,是的各位数字的平方和,定义数列:是自然数,(,).
(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)若,求证:;
(Ⅲ)求证:存在,使得.
参考答案:
(Ⅰ);
. ……………5分
(Ⅱ)假设是一个位数(),
那么可以设,
其中且(),且.
由可得,.
所以.
因为,所以.
而,
所以,即. ……………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知当时, .
同理当时, .
若不存在,使得.
则对任意的,有,总有.
则,
可得.
取,则,与矛盾.
存在,使得. ……………14分
19. (14分)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,短轴上端点为B,连接BF并延长交椭圆于点A,连接AO并延长交椭圆于点D,过B、F、O三点的圆的圆心为C.
(1)若C的坐标为(﹣1,1),求椭圆方程和圆C的方程;
(2)若AD为圆C的切线,求椭圆的离心率.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)由题意可得三角形BFO外接圆圆心为斜边BF中点C,由此求得b,c的值,结合隐含条件求出a,则椭圆方程和圆C的方程可求;
(2)由AD为圆C的切线,得到AD⊥CO,联立直线和椭圆方程求得A的坐标,由得到a,b,c的关系式,结合隐含条件可求椭圆的离心率.
【解答】解:(1)∵三角形BFO为直角三角形,
∴其外接圆圆心为斜边BF中点C,
由C点坐标为(﹣1,1)得,b=2,c=2,
∴a2=b2+c2=8,
则圆半径,
∴椭圆方程为,
圆方程为(x+1)2+(y﹣1)2=2;
(2)由AD与圆C相切,得 AD⊥CO,
BF方程为,
由,
得,
由,得b4=2a2c2,
(a2﹣c2)2=2a2c2a4﹣4a2c2+c4=0,
解得:=.
【点评】本题考查了椭圆与圆的方程的求法,考查了直线与圆锥曲线的关系,解答此题的关键是由平面几何知识得到对应的关系,考查了学生的计算能力,是中档题.
20. (本小题满分12分)
已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为,设点。
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若是椭圆上的动点,求线段中点的轨迹方程;
(Ⅲ)过原点的直线交椭圆于点,求面积的最大值
参考答案:
【知识点】椭圆及其几何性质H5
【答案解析】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)
(Ⅰ)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(Ⅱ)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),由得x0=2x-1,
y0=2y-由,点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是.
(Ⅲ)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,
解得B(,),C(-,-),
则,又点A到直线BC的距离d=,
∴△ABC的面积S△ABC=于是S△ABC=
由≥-1,得S△ABC≤,其中,当k=-时,等号成立.∴S△ABC的最大值是.
【思路点拨】根据椭圆中的a,b,c,关系求出方程,利用直线和椭圆的关系求出最值。
21. 在等腰梯形ABCD中,,,,N是BC的中点.将梯形ABCD绕AB旋转,得到梯形(如图).
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
A
C
D
B
N
参考答案:
(Ⅰ)证明:因为,N是BC的中点
所以,又
所以四边形是平行四边形,所以
又因为等腰梯形,,
x
z
y
A
C
D
B
N
所以 ,所以四边形是菱形,所以
所以,即
由已知可知 平面平面,
因为 平面平面
所以平面 ……………………………4分
(Ⅱ)证明:因为,,
所以平面平面
又因为平面,
所以 平面 …………………………8分
(Ⅲ)因为平面
同理平面,建立如图如示坐标系
设,
则,, ,, ………………………9分
则,
设平面的法向量为,有 ,,
得 …………………………11分
因为平面,所以平面平面
又,平面平面
所以平面
与交于点O,O则为AN的中点,O
所以平面的法向量 ……………………12分
所以 ……………………………13分
由图形可知二面角为钝角
所以二面角的余弦值为. ……………………………14分
略
22. 设函数,函数(其中,e是自然对数的底数).
(Ⅰ)当时,求函数的极值;
(Ⅱ)若在上恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设,求证:(其中e是自然对数的底数).
参考答案:
略