河南省信阳市陕县第一高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 将函数的图像先向右平移个单位,再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍,得到的图像,则的可能取值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC,若,则b2+c2的取值范围是( )
A.(5,6] B.(3,5) C.(3,6] D.[5,6]
参考答案:
A
【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.
【分析】由已知利用正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc.再利用余弦定理可得cosA,进而可求A,利用正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简可得b2+c2=4+2sin(2B﹣),利用B的范围,可求2B﹣的范围,利用正弦函数的图象和性质可求其范围.
【解答】解:∵(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC,由正弦定理可得:(a﹣b)(a+b)=(c﹣b)c,化为b2+c2﹣a2=bc.
由余弦定理可得:cosA===,
∴A为锐角,可得A=,
∵,
∴由正弦定理可得:,
∴可得:b2+c2=(2sinB)2+[2sin(﹣B)]2=3+2sin2B+sin2B=4+2sin(2B﹣),
∵B∈(,),可得:2B﹣∈(,),
∴sin(2B﹣)∈(,1],可得:b2+c2=4+2sin(2B﹣)∈(5,6].
故选:A.
3. 用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈__________,第二次应计算__________.以上横线上应填的内容为( )
A.(0,0.5),f(0.25) B.(0,1),f(0.25)
C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.05),f(0.125)
参考答案:
A
4. 设为等比数列的前项和,,则
(A) (B) (C) (D) ks5u
参考答案:
A
略
5. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=
a4
a5
,其中A的各位数中,出现0的概率为,出现1的概率为.记,当程序运行一次时,的数学期望 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 已知集合,,则
A. B. C.或 D.或
参考答案:
C
7. 设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=,
f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=
(A)5 (B) (C)1 (D)0
参考答案:
B
略
8. 已知实数x,y满足不等式组,则z=x+2y的最小值为( )
A.﹣4 B.5 C.4 D.无最小值
参考答案:
C
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,即可求出z的最大值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
设z=x+2y,则y=﹣x+
平移此直线,由图象可知当直线y=﹣x+经过A时,直线在y轴的截距最小,得到z最小,由得到A(2,1),
所以z=x+2y的最小值为2+2×1=4;
故选C.
9. 若集合则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 已知,则下列不等式一定成立的是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对于三次函数(),给出定义:设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心. 给定函数,请你根据上面探究结果,计算+…++= __________ .
参考答案:
2013
12. 已知则________________,_____________.
参考答案:
【分析】
根据已知条件利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式对式子进行化简成形式,即可求出、的值.
【详解】
所以
故答案为: ;
【点睛】本题考查了二倍角余弦公式、两角和正弦公式,属于较易题.
13. 已知函数,则这个函数在点x=1处的切线方程是__________.
参考答案:
14. 函数y=f(x)图象上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)处的切线的斜率分别是kA,kB,规定φ(A,B)=叫做曲线y=f(x)在点A、B之间的“平方弯曲度”.设曲线y=ex+x上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1﹣x2=1,则φ(A,B)的取值范围是 .
参考答案:
(0,]
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出y′=ex,+1,由定义求出两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的“平方弯曲度”,由题意可令t=e﹣e,
可设f(t)=,t>0,求出导数和单调区间、极大值和最大值,即可得到所求范围.
【解答】解:y=ex+x的导数为y′=ex+1,
kA=e+1,kB=e+1,
φ(A,B)==
=,
x1﹣x2=1,可得x1>x2,e>e,
可令t=e﹣e,
可设f(t)=,t>0,
f′(t)==,
当0<t<时,f′(t)>0,f(t)递增;
当t>时,f′(t)<0,f(t)递减.
则当t=处f(t)取得极大值,且为最大值=.
则φ(A,B)∈(0,].
故答案为:(0,].
15. 某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的可能性0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为 .
一年级
二年级
三年级
女生
373
C2
C1
男生
377
370
C2
参考答案:
16
【考点】分层抽样方法.
【分析】由题意,二年级女学生数为2000×0.19=380人,由此可计算三件及学生数和三年级学生所占的比例,按此比例即可求出三年级抽取的学生人数.
【解答】解:由题意,二年级女学生数为2000×0.19=380人,
所以三年级的学生数为;2000﹣373﹣377﹣380﹣370=500人,所占比例为
所以应在三年级抽取的学生人数为 64×=16
故答案为:16
16. 不等式|2x-1|<1的解集是 。
参考答案:
17. 函数的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式;
(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小
参考答案:
略
19. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时,解不等式;
(Ⅱ)若的最小值为1,求a的值.
参考答案:
(1){x|-1<x<1};(2)a=-4或0.
试题解析:(Ⅰ)因为f(x)=|2x-1|+|x+1|=,
考点:不等式的证明、绝对值不等式的解法、不等式的性质.
20. (本小题满分14分)w。w-w*k&s%5¥u
已知过点的直线与抛物线相交于、两点,、
分别是该抛物线在、两点处的切线,、分别是、与直线的交点.
(Ⅰ)求直线的斜率的取值范围;
(Ⅱ)试比较与的大小,并说明理由.
参考答案:
解:(Ⅰ)设直线,则
, ……①
依题意,有或;w。w-w*k&s%5¥u
(Ⅱ)由,所以抛物线在处的切线的方程为
,即.
令,得.
同理,得.w。w-w*k&s%5¥u
注意到、是方程①的两个实根,故,即,从而有
,
因此,.
略
21. 已知椭圆E: =1(a>b>0)的离心率为,以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设A,B分别为椭圆E的左、右顶点,P是直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N,试探究,点B是否在以MN为直径的圆内?证明你的结论.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(Ⅰ)依题意得=, ?2a?2b=4,又a2=b2+c2,由此解得a,b.即可得出.
(Ⅱ)点B在以MN为直径的圆内.分析如下:
方法1:由(Ⅰ)得A(﹣2,0),B(2,0).设M(x0,y0).又点M异于顶点A、B,可得﹣2<x0<2.由P、A、M三点共线可以得P.可得?>0,即可证明.
方法2:由(Ⅰ)得A(﹣2,0),B(2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),依题意,计算点B到圆心Q的距离与半径的差.|BQ|2﹣|MN|2=(x1﹣2)(x2﹣2)+y1y2,两直线AP与BP的交点P在直线x=4上,可得=,化简后可得|BQ|2﹣|MN|2<0,即可证明.
【解答】解:(Ⅰ)依题意得=, ?2a?2b=4,又a2=b2+c2,由此解得a=2,b=.
所以椭圆E的方程为=1.
(Ⅱ)点B在以MN为直径的圆内.证明如下:
方法1:由(Ⅰ)得A(﹣2,0),B(2,0).设M(x0,y0).
∵M点在椭圆上,∴y02=(4﹣x02). ①
又点M异于顶点A、B,∴﹣2<x0<2.
由P、A、M三点共线可以得P.
从而=(x0﹣2,y0),=.
∴?=2x0﹣4+=(x02﹣4+3y02). ②
将①代入②,化简得?=(2﹣x0).
∵2﹣x0>0,∴?>0,于是∠MBP为锐角,从而∠MBN为钝角,
故点B在以MN为直径的圆内.
方法2:由(Ⅰ)得A(﹣2,0),B(2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),
则﹣2<x1<2,﹣2<x2<2,又MN的中点Q的坐标为,
依题意,计算点B到圆心Q的距离与半径的差
|BQ|2﹣|MN|2=+﹣ [(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2]
=(x1﹣2)(x2﹣2)+y1y2 ③
直线AP的方程为y=(x+2),直线BP的方程为y=(x﹣2),
而两直线AP与BP的交点P在直线x=4上,
∴=,即y2= ④
又点M在椭圆上,则=1,即y12=(4﹣x12) ⑤
于是将④、⑤代入③,化简后可得|BQ|2﹣|MN|2=(2﹣x1)(x2﹣2)<0.
22. 已知函数.
(1)求函数y=f(x)的解析式,并用“五点法作图”在给出的直角坐标系中画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象;
(2)设α∈(0,π),f()=,求sinα的值.
参考