山东省威海市大水泊中学2022年高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 要使成立,则应满足的条件是( )
A.且 B.且
C.且 D.且或且
参考答案:
A
2. 在R上定义运算,若成立,则x的取值范围是 ( )
A.(-4,1) B.(-1,4)
C.(-∞,-4)∪(1,+∞) D. (-∞,-1)∪(4,+∞)
参考答案:
A
3. 以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆标准方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 圆与圆的位置关系是 ( )
A.相离 B.相外切 C.相交 D.相内切
参考答案:
C
5. 命题“对任意的”的否定是( )
A.不存在 B.存在
C.存在 D.对任意的
参考答案:
C
6. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且其渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 若,且,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 已知命题,,则 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
9. 如图,在平行六面体中,为与的交点。若,
,则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
10. 函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是( )
A. f(1)<f()<f() B. f()<f(1)<f()
C. f()<f()<f(1) D. f()<f(1)<f()
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.
参考答案:
略
12. 若函数在区间上是单调递增函数,则实数的取值范围是 .
参考答案:
13. 如右图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则 .
参考答案:
1:24
14. 函数f(x)=x3﹣3x﹣1,若对于区间[﹣3,4]上的任意x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤t,则实数t的最小值是 .
参考答案:
70
【考点】绝对值不等式的解法.
【专题】函数思想;转化法;函数的性质及应用;导数的综合应用.
【分析】对于区间[﹣3,4]上的任意x1,x2都有|f(x1)﹣f(x2)|≤t,等价于对于区间[﹣3,4]上的任意x,都有f(x)max﹣f(x)min≤t,利用导数确定函数的单调性,求最值,即可得出结论.
【解答】解:对于区间[﹣3,4]上的任意x1,x2都有|f(x1)﹣f(x2)|≤t,等价于对于区间[﹣3,4]上的任意x,都有f(x)max﹣f(x)min≤t,
∵f(x)=x3﹣3x﹣1,∴f′(x)=3x2﹣3=3(x﹣1)(x+1),
∵x∈[﹣3,4],
∴函数在[﹣3,﹣1]、[1,4]上单调递增,在[﹣1,1]上单调递减;
∴f(x)max=f(4)=51,f(x)min=f(﹣3)=﹣19;
∴f(x)max﹣f(x)min=70,
∴t≥70;
∴实数t的最小值是70.
故答案为:70.
【点评】本题考查导数知识的运用,考查恒成立问题,正确求导,确定函数的最值是关键.
15. 过点作斜率为1的直线l,交抛物线于A、B两点,则|AB|=__________.
参考答案:
略
16.
参考答案:
略
17. 给出下列命题:
①直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量为b=(2,1,-),则l与m垂直.
②直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥α.
③平面α、β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β.
④平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1.
其中真命题的序号是________.
参考答案:
①④
[解析] ①∵a·b=(1,-1,2)·(2,1,-)=0,
∴a⊥b,∴l⊥m,故①真;
②∵a·n=(0,1,-1)·(1,-1,-1)=0,
∴a⊥n,∴l∥α或l?α,故②假;
③∵n1与n2不平行,∴α与β不平行,∴③假;
④=(-1,1,1),=(-2,2,1),
由条件n⊥,n⊥,
∴,即,∴,∴u+t=1.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,AD=2AB=2PA,E为PD的上一点,且PE=2ED,F为PC的中点.
(Ⅰ)求证:BF∥平面AEC;
(Ⅱ)求二面角E﹣AC﹣D的余弦值.
参考答案:
【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定.
【专题】综合题.
【分析】(Ⅰ)建立空间直角坐标系A﹣xyz,设B(1,0,0),则D(0,2,0),P(0,0,1),C(1,2,0),,.设平面AEC的一个法向量为,由,知,由,得,由此能够证明BF∥平面AEC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面AEC的一个法向量为,由为平面ACD的法向量,能求出二面角E﹣AC﹣D的余弦值.
【解答】解:建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz,
设B(1,0,0),则D(0,2,0),P(0,0,1),C(1,2,0),(2分)
(Ⅰ)设平面AEC的一个法向量为,
∵,,
∴由,
得,
令y=﹣1,得(4分)
又,
∴,(5分)
,BF?平面AEC,
∴BF∥平面AEC.(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面AEC的一个法向量为,
又为平面ACD的法向量,(8分)
而,(11分)
故二面角E﹣AC﹣D的余弦值为(12分)
【点评】本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
19. 已知直线l经过点P(1,1),倾斜角.
(1)写出直线l的参数方程;
(2)设l与圆(θ是参数)相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.
参考答案:
【考点】QG:参数的意义;QJ:直线的参数方程;QK:圆的参数方程.
【分析】(1)利用公式和已知条件直线l经过点P(1,1),倾斜角,写出其极坐标再化为一般参数方程;
(2)先将曲线的参数方程化成普通方程,再将直线的参数方程代入其中,得到一个关于t的二次方程,最后结合参数t的几何意义利用根与系数之间的关系即可求得距离之积.
【解答】解:(1)直线的参数方程为,即.
(2)由(1)得直线l的参数方程为(t为参数).
曲线的普通方程为x2+y2=4.
把直线的参数方程代入曲线的普通方程,得
t2+(+1)t﹣2=0,
∴t1t2=﹣2,
∴点P到A,B两点的距离之积为2.
20. 在三角形ABC中,,求三角形ABC的面积S.
参考答案:
【考点】正弦定理的应用.
【专题】计算题.
【分析】先根据cosB求出sinB的值,再由两角和与差的正弦公式求出sinA的值,由余弦定理求出c的值,最后根据三角形的面积公式求得最后答案.
【解答】解:由题意,得为锐角,,
,
由正弦定理得,
∴.
【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和三角形面积公式的应用,属基础题.
22.对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:
寿命/小时
100~200
200~300
300~400
400~500
500~600
个数
20
30
80
40
30
(1)完成频率分布表;
分组
频数
频率
100~200
200~300
300~400
400~500
500~600
合计
(2)完成频率分布直方图;
(3)估计电子元件寿命在100~400小时以内的概率;
(4)估计电子元件寿命在400小时以上的概率.
【答案】
【解析】
【考点】互斥事件的概率加法公式;频率分布直方图.
【专题】计算题;作图题.
【分析】(1)由题意知,本题已经对所给的数据进行分组,并且给出了每段的频数,根据频数和样本容量做出频率,填出频率分布表
(2)结合前面所给的频率分布表,画出坐标系,选出合适的单位,画出频率分步直方图.
(3)由累积频率分布图可以看出,寿命在100~400h内的电子元件出现的频率为0.65,我们估计电子元件寿命在100~400h内的概率为0.65.
(4)由频率分布表可知,寿命在400h以上的电子元件出现的频率,我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35.
【解答】解:(1)完成频率分布表如下:
分组
频数
频率
100~200
20
0.10
200~300
30
0.15
300~400
80
0.40
400~500
40
0.20
500~600
30
0.15
合计
200
1
(2)完成频率分布直方图如下:
(3)由频率分布表可知,寿命在100~400小时的电子元件出现的频率为0.10+0.15+0.40=0.65,所以估计电子元件寿命在100~400小时的概率为0.65
(4)由频率分布表可知,寿命在400小时以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35,所以估计电子元件寿命在400小时以上的概率为0.35
【点评】本题在有些省份会作为高考答题出现,画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义.通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤.
21. (12分)已知函数(a为常数)与函数在处的切线互相平行.
(1)求函数在[1,2]上的最大值和最小值;
(2)求证:函数的图象总在函数图象的上方.
参考答案:
(1),,由已知有,解得.
当时,.
令,解得.
∴当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
又,, .
∴ 最小值为.
最大值为. (………6分)
(2)令,则只须证恒成立即可.
∵.
显然,单调递增(也可再次求导证明之),且.
∴ 时,,单调递减;
时,,单调递增;
∴恒成立,所以得证. (………12分)
22. 己知( + )n的展开式中,第五项与第七项的二项式系数相等.
(I )求该展开式中所有有理项的项数;
(II)求该展开式中系数最大的项.
参考答案:
解:(Ⅰ)∵( + )n的展开式中,第五项与第七项的二项式系数相等∴Cn4=Cn6 , ∴n=10,
∴( + )10的通项为Tr+1=2rC10