湖南省岳阳市沙田中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设变量x,y满足约束条件,则s=的取值范围是( )
A.[0,] B.[﹣,0] C.[﹣,1] D.[0,1]
参考答案:
C
【考点】简单线性规划.
【分析】令y﹣x=n,x+1=m,把已知的不等式转化为关于m,n的不等式组,把s=转化为,作出关于m,n的约束条件的可行域后由斜率公式得答案.
【解答】解:令y﹣x=n,x+1=m,
则x=m﹣1,y=m+n﹣1,
代入,得.
作出可行域如图,
s=化为.
分别联立方程组,
解得:A(2,﹣1),C(1,1).
∴的范围为.
故选:C.
2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知(a2012﹣1)3+2014a2012=0,(a3﹣1)3+2014a3=4028,则下列结论正确的是( )
A.S2014=2014,a2012<a3 B.S2014=2014,a2012>a3
C.S2014=2013,a2012<a3 D.S2014=2013,a2012>a3
参考答案:
A
考点: 等差数列的前n项和.
专题: 等差数列与等比数列.
分析: 构造函数f(x)=(x﹣1)3+2014x,由函数的单调性可判a2012<a3,已知两式相加分解因式,由g(t)为增函数,且g(2)=4028,可得t=2,进而由等差数列的性质和求和公式可得.
解答: 解:构造函数f(x)=(x﹣1)3+2014x,
则f′(x)=3(x﹣1)2+2014>0,
∴函数f(x)=(x﹣1)3+2014x单调递增,
∵f(a3)=4028>f(a2012)=0,
∴a2012<a3,排除B和D,
已知两式相加可得(a2012﹣1)3+2014a2012+(a3﹣1)3+2014a3=4028
分解因式可得(a3+a2012﹣2)[(a2012﹣1)2﹣(a2012﹣1)(a3﹣1)+(a3﹣1)2]+2014(a3+a2012)=4028,
令a3+a2012=t,则有g(t)=[(a2012﹣1)2﹣(a2012﹣1)(a3﹣1)+(a3﹣1)2](t﹣2)+2014t,
∵[(a2012﹣1)2﹣(a2012﹣1)(a3﹣1)+(a3﹣1)2]>0,∴g(t)为增函数,
又∵g(2)=4028,∴必有t=2,即a3+a2012=2,
∴S2014===2014
故选:A
点评: 本题考查等差数列的求和公式,涉及函数的单调性的应用和构造函数的技巧,属中档题.
3. 在△ABC中,,,点P是△ABC所在平面内一点,则当取得最小值时,( )
A.-24 B. C. D.24
参考答案:
D
以C为坐标原点,直线CB,CA分别为x,y轴建立直角坐标系,则,设
当时取得最小值, ,选D.
4. 过双曲线的右焦点F和虚轴的一端点B作一条直线,若右顶点A到直线FB的距离等于,则该双曲线的离心率e为( )
A. B. C.或 D.2
参考答案:
D
由题意得,
∴,
两边平方整理得,
∴,
解得或(舍去).
∴该双曲线的离心率为.选D.
5. 已知集合则有 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别为AA1、BC、C1D1的中点,现有下面三个结论:①△EFG为正三角形;②异面直线A1G与C1F所成角为60°;③AC∥平面EFG。其中所有正确结论的编号是
A.① B.②③ C.①② D.①③
参考答案:
D
7. 如下图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )
A.4 B.4
C.2 D.2
参考答案:
C
8. 有四个关于三角函数的命题:
:xR, += : x、yR, sin(x-y)=sinx-siny
: x,=sinx : sinx=cosyx+y=
其中假命题的是( )
(A), (B), (3), (4),
参考答案:
A
9. 已知函数,
,若函数有唯一零点,函数有唯一零点,则有( )
A. B。
C. D。
参考答案:
B
略
10. 若变量满足约束条件,则的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
【知识点】简单的线性规划.E5
【答案解析】C 解析:由约束条件画出可行域如图所示,
则根据目标函数画出直线,由图形可知将直线平移至点取得的最小值,解方程组,得,即代入可得.故选C
【思路点拨】先由线性约束条件画出可行域,再由线性目标函数求得最值。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,,向量与垂直,则实数_______.
参考答案:
12
12. (几何证明选做题)如图△ABC中BC=6,以BC为直径的半圆
分别交AB、AC于E、F,若AC=2AE,则EF=
参考答案:
3
13. 如果等差数列中,,那么的值为
参考答案:
36
14. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选取7名同学参加数学竞赛,他们取得的成绩的茎叶图如图所示,其中甲班同学的平均分是85分,乙班同学成绩的中位数是83,则的值为
参考答案:
15. 若关于x的不等式的解集是,则实数m=______.
参考答案:
3
略
16. 命题“,”的否定是 .
参考答案:
17. 平面向量的夹角为,,,则 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面BCD,DC⊥BC,AB=,BC=2,AC=1.
(1)求证:AB⊥AD;
(2)设E是BD的中点,若直线CE与平面ACD的夹角为30°,求四面体ABCD外接球的表面积.
参考答案:
【分析】(1)证明DC⊥BC,AB⊥CD,推出AB⊥AC,然后证明AB⊥平面ADC,得到AB⊥AD.
(2)取AD的中点F,连接EF,则EF∥BA,证明EF⊥平面ADC,连接FC,说明∠ECF=30°,求出以四面体ABCD的外接球的半径然后求解即可.
【解答】解:(1)证明:由平面ABC⊥平面BCD,DC⊥BC,得DC⊥平面ABC,∴AB⊥CD…(2分)
又由,BC=2,AC=1,得BC2=AB2+AC2,所以AB⊥AC…(4分)
故AB⊥平面ADC,所以AB⊥AD…(6分)
(2)取AD的中点F,连接EF,则EF∥BA,
因为AB⊥平面ADC∴EF⊥平面ADC…(8分)
连接FC,则∠ECF=30°,∴…(9分)
又∠BAD=∠BCD=90°,
所以四面体ABCD的外接球的半径…(11分)
故四面体ABCD的外接球的表面积=…(12分)
(向量解法酌情给分)
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用,几何体的外接球的表面积的求法,直线与平面所成角的应用,考查空间想象能力以及计算能力.
19. 如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下:
所用时间(分钟)
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(Ⅰ)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(Ⅱ)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(Ⅲ)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的 路径。
参考答案:
解(Ⅰ)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人,
用频率估计相应的概率为0.44.
(Ⅱ )选择L1的有60人,选择L2的有40人,
故由调查结果得频率为:
所用时间(分钟)
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(Ⅲ)A1,A2,分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;
B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站。
由(Ⅱ)知P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6
P(A2)=0.1+0.4=0.5, P(A1)>P(A2)
甲应选择L1
P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),
∴ 乙应选择L2.
20. 已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2﹣x,a∈R.
(Ⅰ)当a=时,求函数y=f(x)的极值;
(Ⅱ)若对任意实数b∈(1,2),当x∈(﹣1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b),求a的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.
【专题】导数的综合应用.
【分析】(Ⅰ)将a=时代入函数f(x)解析式,求出函数f(x)的导函数,令导函数等于零,求出其根;然后列出x的取值范围与f′(x)的符号及f(x)的单调性情况表,从表就可得到函数f(x)的极值;
(Ⅱ)由题意首先求得:,故应按a<0,a=0,a>0分类讨论:当a≤0时,易知函数f(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,从而当b∈(0,1)时f(b)<f(0),则不存在实数b∈(1,2),符合题意;当a>0时,令f′(x)=0有x=0或,又要按根大于零,小于零和等于零分类讨论;对各种情况求函数f(x)x∈(﹣1,b]的最大值,使其最大值恰为f(b),分别求得a的取值范围,然而将所得范围求并即得所求的范围;若求得的a的取值范围为空则不存在,否则存在.
【解答】解:(Ⅰ)当a=时,,
则,化简得(x>﹣1),
列表如下:
x
(﹣1,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
﹣
0
+
f(x)
增
极大值
减
极小值
增
∴函数f(x)在(﹣1,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,且f(0)=0,
f(1)=ln2﹣,
∴函数y=f(x)在x=1处取到极小值为,在x=0处取到极大值为0;
(Ⅱ)由题意,
(1)当a≤0时,函数f(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,
此时,不存在实数b∈(1,2),使得当x∈(﹣1,b)时,函数f(x)的最大值为f(b);
(2)当a>0时,令f′(x)=0有x=0或,
①当,即a>时,函数f(x)在()和(0,+∞)上单调递增,
在()上单调递减,要存在实数b∈(1,2),使得当x∈(﹣1,b]时,
函数f(x)的最大值为f(b),则f()<f(1),代入化简得,
令(a>),
∵恒成立,故恒有,
∴a时,恒成立;
②当,即0<a