2022年四川省乐山市夹江县夹江中学分校高一数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合M={x∣},则M中元素个数是 ( )
A . 10 B . 7 C . 6 D . 5
参考答案:
B
2. 定义运算则函数f(x)=1⊕2x的图象是( ).
参考答案:
A
略
3. 已知函数在R上是增函数,且则的取值范围是( )
A.(-
参考答案:
A
4. 已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x﹣1,则x<0时f(x)=( )
A.﹣x﹣1 B.x+1 C.﹣x+1 D.x﹣1
参考答案:
B
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】根据x>0时函数的表达式,可得x<0时f(﹣x)=﹣x﹣1,再利用奇函数的定义,即可算出当x<0时函数f(x)的表达式.
【解答】解:设x<0,则﹣x>0,
∵当x>0时,f(x)=x﹣1,
∴当x<0时,f(﹣x)=﹣x﹣1,
又∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(x)=﹣f(﹣x),
∴当x<0时,f(x)=﹣f(﹣x)=x+1,
故选B.
5. 已知三棱锥D-ABC中,,,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. 6π B. 4π C. D.
参考答案:
B
【分析】
依据题中数据,利用勾股定理可判断出从而可得三棱锥各面都为直角三角形,进而可知外接圆的直径,即可求出三棱锥的外接球的表面积
【详解】
如图,因为 ,
又,,
从而可得三棱锥各面都为直角三角形,CD是三棱锥的外接球的直径,
在中,,,
即 ,,故选B。
【点睛】本题主要考查学生空间想象以及数学建模能力,能够依据条件建立合适模型是解题的关键。
6. 已知P是所在平面内的一点,若,其中,则点一定在( )
A.的内部 B.边所在直线上
C.边所在直线上 D.边所在直线上
参考答案:
B
7. 某学校有教职员工150人,其中高级职称15人,中级职称45人,一般职员90人,现在用分层抽样抽取30人,则样本中各职称人数分别为( )
A.5,10,15 B.3,9,18 C.3,10,17 D.5,9,16
参考答案:
B
8. 下列每组函数是同一函数的是 ( )
A.
B.
C .
D .
参考答案:
B
9. 已知圆,圆,则两圆公切线的条数有( )
A.条 B.条 C.条 D.条
参考答案:
D
略
10. 观察如图所示几何体,其中判断正确的是( )
A.①是棱台 B.②是圆台 C.③是棱锥 D.④不是棱柱
参考答案:
C
【考点】L3:棱锥的结构特征.
【分析】直接利用柱、锥、台的定义判断即可.
【解答】解:图形①,不满足棱台的定义,所以①不正确;
图形②,不满足圆台的定义,所以②不正确;
图形③满足棱锥的定义,所以③正确;
图形④是棱柱,所以④的判断不正确.
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量与的夹角是钝角,则k的取值范围是 .
参考答案:
略
12. 在△ABC中,角的对边分别为,若,且,则 的值是 .
参考答案:
13. 数列满足则 .
参考答案:
14. 过点(1,1),且横、纵截距相等的直线方程为__________________
参考答案:
15. 如果 ,那么的值为 .
参考答案:
3
16. 已知向量的夹角为,,则___________.
参考答案:
试题分析: ,,所以,提醒:.
考点:平面向量数量积的应用之一:求模.
17. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且,则b = .
参考答案:
由题得,
∴.
故填.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题15分)已知二次函数,且,
(1)求
(2)利用单调性的定义证明在为单调递增函数。
(3)求在区间上的最值。
参考答案:
解:(1)设函数解析式
èè
略
19. 如图所示,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点D在边BC上,AD⊥C1D.
(1)求证:平面ADC1⊥平面BCC1B1;
(2)如果点E是B1C1的中点,求证:AE∥平面ADC1.
参考答案:
【考点】LY:平面与平面垂直的判定;LS:直线与平面平行的判定.
【分析】(1)推导出AD⊥C1D,从而CC1⊥平面ABC,进而AD⊥CC1,由此能证明AD⊥平面BCC1B1.即平面ADC1⊥平面BCC1B1
(2)由AD⊥BC,得D是BC中点,连结ED,得四边形AA1DE是平行四边形,由此能证明A1E∥平面ADC1.
【解答】证明:(1)∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点D在边BC上,AD⊥C1D,
∴CC1⊥平面ABC,又AD?平面ABC,∴AD⊥CC1,
又C1D∩CC1=C1,∴AD⊥平面BCC1B1.
AD?面ADC1,∴平面ADC1⊥平面BCC1B1
(2)∵AD⊥平面BCC1B1,∴AD⊥BC,
∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BC=AC,∴D是BC中点,
连结ED,∵点E是C1B1的中点,
∴AA1∥DE且AA1=DE,∴四边形AA1DE是平行四边形,
∴A1E∥AD,
又A1E?面ADC1,AD?平面ADC1.
∴A1E∥平面ADC1.
20. 某房地产开发公司用2.56×107元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房,经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平米的平均建筑费用为1000+50x(单位:元)
(Ⅰ)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;
(Ⅱ)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平米的平均综合费用最少?最少费用是多少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)
参考答案:
解:(Ⅰ)设楼房每平方米的平均综合费为y元,依题意得
y=(1000+50x)+=1000+50x+(x≥10,x∈N*);
(Ⅱ)∵x>0,∴50x+≥2=1600,
当且仅当50x=,即x=256时取到“=”,
此时,平均综合费用的最小值为1000+1600=2600元.
答:当该楼房建造256层,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2600元.
略
21. 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在40分钟的一节课中,注意力指数与听课时间(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的图像,当时,图像是二次函数图像的一部分,其中顶点,过点;当时,图像是线段,其中,根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.
(1)试求的函数关系式;
(2)教师在什么时段内安排内核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由.
参考答案:
试题解析:(1)当时,设 …………1分
因为这时图像过点,代入得
所以…………3分
当时,设,过点
得,即…………6分
故所求函数的关系式为…………7分
略
22. 等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若a3,a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项,求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
参考答案:
【考点】88:等比数列的通项公式;89:等比数列的前n项和.
【分析】(1)利用等比数列通项公式能求出首项和公差,由此能求出数列{an}的通项公式an.
(2)由等比数列通项公式求出等差数列{bn}的第4项和第16项,再由等差数列通项公式求出首项与公差,由此能求出数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
【解答】解:(1)∵等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16,
∴2q3=16,解得q=2,
∴.
(2)∵a3,a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项,
∴,,
∴,
解得b1=2,d=2,
∴bn=2+(n﹣1)×2=2n.
Sn==n2+n.