2022-2023学年陕西省西安市东新中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设角的终边经过点P(-3,4),那么sin+2cos=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 下列函数为偶函数且在[0,+∞)上为增函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
因为是偶函数,则A、C错误,
又在[0,+∞)为增函数,则选B。
故选B。
3. 教师拿了一把直尺走进教室,则下列判断正确的个数是( )
①教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线平行;
②教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线垂直;
③教室地面上有无数条直线与直尺所在直线平行;
④教室地面上有无数条直线与直尺所在直线垂直.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
A
【分析】
每个选项逐一进行判断得到答案.
【详解】①当直尺与地面平行时,有无数条直线与直尺平行,错误
②当直线与地面垂直时,有无数条直线与直尺垂直,错误
③当直线与地面相交时,没有直线与直尺平行,错误
④不管直尺与地面是什么关系,有无数条直线与直尺所在直线垂直,正确
答案选A
【点睛】本题考查了直线与平面的关系,属于简单题目.
4. 三个数a=0.32,b=log20.3,c=20.3之间的大小关系是( )
A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a
参考答案:
C
【考点】指数函数单调性的应用.
【分析】将a=0.32,c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x,y=2x之间所对应的函数值,利用它们的图象和性质比较,将b=log20.3,抽象为对数函数y=log2x,利用其图象可知小于零.最后三者得到结论.
【解答】解:由对数函数的性质可知:b=log20.3<0,
由指数函数的性质可知:0<a<1,c>1
∴b<a<c
故选C
5. 设偶函数在上是增函数,则与的大小关系是( )
A. B.
C. D. 不能确定
参考答案:
A
6. 已知点为所在平面上的一点,且,其中为实数,若点落在的内部(不含边界),则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 在等差数列{an}中,若a4+a6=12, Sn是数列{an}的前n项和,则S9的值为
A.48 B.54 C.60 D.66
参考答案:
B
8. 等比数列中,,公比,用表示它前n项的积:,则中最大的是( )
A B C D
参考答案:
C
9. 已知、为非零实数,且,则下列命题成立的是
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
10. (本小题满分12分)如图所示,中,
,,,
(1)试用向量,来表示.
(2)AM交DN于O点,求AO:OM的值.
参考答案:
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数
参考答案:
.
解析:
∴由
①
注意到 由①得: ②
再注意到当且仅当
于是由②及 得
12. 已知函数是以2为周期的偶函数, 且当时, 则的值为 .
参考答案:
略
13. 已知3x=2y=12,则+= .
参考答案:
1
【考点】对数的运算性质.
【分析】把指数式化为对数式,再利用对数的运算性质即可得出.
【解答】解:∵3x=2y=12,
∴x=,y=,
则+=+==1.
故答案为:1.
【点评】本题考查了指数与对数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
14. 已知集合用列举法表示为_________.
参考答案:
略
15. 若a、b是函数的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于________.
参考答案:
9
试题分析:由可知同号,且有,假设,因为排序后可组成等差数列,可知其排序必为,可列等式,又排序后可组成等比数列,可知其排序必为,可列等式,联解上述两个等式,可得
,则.
考点:等差数列中项以及等比数列中项公式的运用.
【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a,b均为正值,当他们与-2成等差数列时,共有6种可能,当-2为等差中项时,因为,所以不可取,则-2只能作为首项或者末项,这两种数列的公差互为相反数;又a,b与-2可排序成等比数列,由等比中项公式可知-2必为等比中项,两数列搞清楚以后,便可列方程组求解p,q.
16. 已知函数,,,总,使得成立,则实数a的取值范围是____________.
参考答案:
【分析】
先求出函数与的值域,然后再由,,使得成立,可知函数的值域是的值域的子集,即,进而建立不等关系求的取值范围即可.
【详解】∵,∴
∵,∴,∴
∴
要使,总,使得成立,
则需满足:
∴ ,解得或
∴的取值范围是.
【点睛】本题是一道综合性较强的题目,主要考察二次函数、三角函数在给定区间内的值域与建立不等关系求未知数的范围。在求函数的值域时注意利用数形结合方法进行分析。
17. 数列中,,且(,),则这个数列的______________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)已知函数f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f()的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
参考答案:
【考点】正弦函数的图象;三角函数中的恒等变换应用.
【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性求得ω的值,可得函数的解析式.
(2)利用正弦函数的单调性求得函数f(x)的单调递增区间.
【解答】解:(1)函数f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx=cos2ωx+sin2ωx+1=sin(2ωx+)+1,
因为f(x)最小正周期为π,所以=π,解得ω=1,
所以f(x)=sin(2x+)+1,
f()=sin(+)+1=(sincos+cossin)+1=.
(2)由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,可得 kπ﹣≤x≤kπ+,
所以,函数f(x)的单调递增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z.
【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性、单调性,属于基础题.
19. (本题16分)设函数(>0且,),f(x)是定义域为R的奇函数.
(1)求k的值,判断并证明当a>1时,函数f(x)在R上的单调性;
(2)已知f(1)=,函数g(x)=a2x+a﹣2x﹣2f(x),,求g(x)的值域;
(3)已知a=3,若f(3x)≥λ?f(x)对于时恒成立.请求出最大的整数λ.
参考答案:
(Ⅰ)∵f(x)=kax﹣a﹣x是定义域为R上的奇函数,
∴f(0)=0,得k=1,∴f(x)=ax﹣a﹣x,
∵f(﹣x)=a﹣x﹣ax=﹣f(x),∴f(x)是R上的奇函数,
设x2>x1,则f(x2)﹣f(x1)=ax2﹣a﹣x2)﹣(ax1﹣a﹣x1)=(ax2﹣ax1)(1+),
∵a>1,∴ax2>ax1,∴f(x2)﹣f(x1)>0,∴f(x)在R上为增函数;
(Ⅱ)∵f(1)=,∴a﹣=,即2a2﹣3a﹣2=0,∴a=2或a=﹣(舍去),
则y=g(x)=22x+2﹣2x﹣2(2x﹣2﹣x),,令t=2x﹣2﹣x,,
由(1)可知该函数在区间上为增函数,则﹣,,
则y=h(t)=t2﹣2t+2,﹣,,
当t=﹣时,ymax=;当t=1时,ymin=1,∴g(x)的值域为[1,,
(Ⅲ)由题意,即33x+3﹣3x≥λ(3x﹣3﹣x),在时恒成立
令t=3x﹣3﹣x,x∈[1,2],则,
则(3x﹣3﹣x)(32x+3﹣2x+1)≥λ(3x﹣3﹣x),恒成立,即为t(t2+3)≥λ?t,t恒成立,
λ≤t2+3,t恒成立,当t=时,(t2+3)min=,∴λ≤,则λ的最大整数为10.
20. (本小题满分8分)已知数列的前项和为,且,
(1)证明:是等比数列;
(2)求数列的通项公式,并求出n为何值时,取得最小值,并说明理由。
参考答案:
21. 已知是关于x的方程x2﹣kx+k2﹣3=0的两个实根,且,求cosα+sinα的值.
参考答案:
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系;同角三角函数间的基本关系.
【分析】由根与系数关系得到=k, =1=k2﹣3,由后者解出k值,代入前等式,求出tanα的值.再由同角三角函数的基本关系求出角α的正弦与余弦值,代入求值.
【解答】解:∵,∴k=±2,
而,∴tanα>0,
得,
∴,有tan2α﹣2tanα+1=0,解得tanα=1,
∴,有,
∴.
22. 如图,已知△ABC是正三角形,EA,CD都垂直于平面ABC,且,,F是BE的中点,
求证:(1)FD∥平面ABC;
(2)AF⊥平面EDB.
(3)求几何体的体积.
参考答案:
(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】
(1)如图:证明得到答案.
(2)证明得到答案.
(3)几何体转化为,利用体积公式得到答案.
【详解】
(1)∵F分别是BE的中点,取BA的中点M,
∴FM∥EA,FMEA=1
∵EA、CD都垂直于平面ABC,∴CD∥EA,
∴CD∥FM,又CD=FM
∴四边形FMCD是平行四边形,∴FD∥MC,
FD?平面ABC,MC?平面ABC
∴FD∥平面ABC.
(2)因M是AB的中点,△ABC是正三角形,所以CM⊥AB
又 EA垂直于平面ABC∴CM⊥AE,
又 AE∩AB=A,所以CM⊥面EAB,∵AF?面EAB
∴CM⊥AF,又CM∥FD,从而FD⊥AF,
因F是BE的中点,EA=AB所以AF⊥EB.
EB,FD是平面EDB内两条相交直线,所以AF⊥平面EDB.
(3)几何体的体积等于
为中点,连接
平面
【点睛】本题考查了线面平行,线面垂直,等体积法,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.