湖南省常德市临第三中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图是某市举办青少年运动会上,7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图,左边数字表示十位数字,右边数字表示个位数字,这些数据的中位数是( ),去掉一个最低分和最高分所剩数据的平均数是( )
A.86.5,86.7 B.88,86.7 C.88,86.8 D.86,5,86.8
参考答案:
C
【考点】频率分布直方图.
【分析】根据茎叶图中的数据,利用中位数和平均数的定义求出结果即可.
【解答】解:由茎叶图知,这组数据共有7个,按从小到大的顺序排在中间的是88,所以中位数是88;
去掉一个最高分94和一个最低分79后,
所剩数据为84,85,88,88,89,
它们的平均数为(84+85+88+89)=86.8.
故选:C.
【点评】本题考查了根据茎叶图中的数据,求中位数和平均数的应用问题,是基础题.
2. 下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
3. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若成等差数列,且,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
由成等差数列可把公比算出,再把换成和的关系即可。
【详解】是等差数列,显然公比不为1,
【点睛】本题主要考查了等差中项,等比数列前项和,等比数列中和之间的关系,整体代换的思想,属于基础题。
4. 已知角的终边经过点,且,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. 如图,在正三棱柱中已知,在棱上,且,若与平面所成的角为,则的余弦值为
A. B.
C. D.
参考答案:
D
6. 已知集合A={x|-1<x<2},B={x| 0<x<4},则集合=( )
(A){x| 0<x<2} (B){x|-1<x ≤ 0}
(C){x| 2<x<4} (D){x|-1<x<0}
参考答案:
B
7. 设a、b是不同的直线,α、β是不同的平面,则下列四个命题中正确的是( )
A.
若a⊥b,a⊥α,则b∥α
B.
若a∥α,α⊥β,则a⊥β
C.
若a⊥β,α⊥β,则a∥α
D.
若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β
参考答案:
D
8. 已知函数为奇函数,且当时, 则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2+bc,则角A等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 已知复数满足,则的虚部为
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 两条直线l1:3x﹣4y+9=0和l2:5x+12y﹣3=0的夹角大小为 .
参考答案:
考点:
两直线的夹角与到角问题.
专题:
直线与圆.
分析:
先求出两条直线的斜率,再利用两条直线的夹角公式求出两条直线的夹角的正切值,即可求得两条直线的夹角.
解答:
解:设两条直线l1:3x﹣4y+9=0的斜率为k,l2:5x+12y﹣3=0的斜率为k′,
这两条直线的夹角为θ,0≤θ≤,则 k=,k′=﹣.
由两条直线的夹角公式可得 tanθ=||=,∴θ=arctan,
故答案为 arctan.
点评:
本题主要考查两条直线的夹角公式的应用,反正切函数的应用,属于中档题.
12. 在(1+x)(2+x)5的展开式中,x3的系数为 (用数字作答).
参考答案:
120
【考点】二项式系数的性质.
【分析】根据(2+x)5的展开式的通项公式,计算在(1+x)(2+x)5的展开式中含x3的项是什么,从而求出x3的系数.
【解答】解:(2+x)5的展开式的通项是
,
所以在(1+x)(2+x)5=(2+x)5+x(2+x)5的展开式中,
含x3的项为,
所以x3的系数为120.
故答案为:120.
13. 甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计 如右图,则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.
参考答案:
乙
14. 定义在上的偶函数满足,且在上是增函数,下面是关于f(x)的判断:
①关于点P()对称 ②的图像关于直线对称;
③在[0,1]上是增函数; ④.
其中正确的判断是_____________________(把你认为正确的判断都填上)
参考答案:
(1)(2)(4)
略
15. 若,则的大小关系是______.
参考答案:
试题分析:又
考点:指数函数、对数函数的性质
16. 若x, y满足约束条件则点P(x, y)构成的区域的面积为 ;的最大值为 .
参考答案:
1;
试题分析:
画出可行域如图所示, .
可得可行域的面积为;
表示可行域内的点与点连线的斜率,由图观察可知当点与点重合时此时直线的斜率最大,即.
考点:线性规划.
17. 在平面直角坐标系下,曲线(t为参数),,曲线(为参数),若曲线C1、C2有公共点,则实数的取值范围为 .
参考答案:
曲线的方程为,曲线方程为,圆心为,半径为2,若曲线C1、C2有公共点,则有圆心到直线的距离,即,所以,即实数的取值范围是。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知抛物线的焦点F到准线距离为2.
(1)若点,且点P在抛物线C上,求的最小值;
(2)若过点的直线l与圆相切,且与抛物线C有两个不同交点A,B,求的面积.
参考答案:
(1)2(2)
【分析】
(1)由抛物线图像的几何特征可知,设点到抛物线准线的距离分别为,因为点在抛物线上,所以到准线距离与到焦点距离相等,故仅当垂直于准线时有最小值.
(2)应用设而不求法,设直线的方程为:,将与联立,结合韦达定理与弦长公式以及点到直线的距离公式求出三角形面积.
【详解】解:(1)根据题意可知
所以抛物线方程为
则抛物线焦点为,准线为;
记点到抛物线准线的距离分别为,
故,等号成立当且仅当PE垂直于准线,
故的最小值为
(2)设 ,
由题意知,直线斜率存在,设直线的方程为:
将与联立得,
由韦达定理得,
由到直线的距离为得:,
又
点到直线的距离为
所以
【点睛】圆锥曲线是高考的重要考点,求圆锥曲线的标准方程时要注意焦点位置.
设而不求法的一般过程(1)设出直线方程(注意斜率是否存在)和交点坐标,
(2)将直线方程和圆锥曲线方程联立(3)应用韦达定理(4)结合题目计算整理
19. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,E是AB上一点.已知,CD=4,。
(Ⅰ)若,求证:CE⊥平面PDE;
(Ⅱ)当点A到平面PDE的距离为时,求三棱锥A-PDE的侧面积.
参考答案:
考点:立体几何综合
试题解析:(Ⅰ)在Rt△DAE中,,,
∴
又AB=CD=4,∴BE=3.
在Rt△EBC中,,∴,∴.
又,∴,即CE⊥DE.
∵PD⊥底面ABCD,CE底面ABCD,
∴PD⊥CE.
∴CE⊥平面PDE.
(Ⅱ)∵PD⊥底面ABCD,PD平面PDE,
∴平面PDE⊥平面ABCD.
如图,过A作AF⊥DE于F,∴AF⊥平面PDE,
∴AF就是点A到平面PDE的距离,即.
在Rt△DAE中,由AD·AE=AF·DE,得
,解得AE=2.
∴,
,
∵BA⊥AD,BA⊥PD,∴BA⊥平面PAD,
∵PA平面PAD,∴BA⊥PA.
在Rt△PAE中,AE=2,,
∴.
∴三棱锥A-PDE的侧面积.
20. 已知椭圆过点,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点且斜率为()的直线与椭圆相交于两点,直线,分别交直线 于,两点,线段的中点为.记直线的斜率为,求证: 为定值.
参考答案:
解:(Ⅰ)依题得解得,.
所以椭圆的方程为. …………………………………………………4分
(Ⅱ)根据已知可设直线的方程为.
由得.
设,则.
直线,的方程分别为:,
令,
则,所以.
所以
. ……………………………………………………14分
略
21. 设函数f(x)=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m.
(Ⅰ)作出函数f(x)的图象;
(Ⅱ)若a2+2c2+3b2=m,求ab+2bc的最大值.
参考答案:
【考点】R5:绝对值不等式的解法;R4:绝对值三角不等式.
【分析】(Ⅰ)利用分段函数,化简函数的解析式,从而作函数的图象,结合图象,求得函数的最大值m.
(Ⅱ)由题意可得a2+2c2+3b2=m==(a2+b2)+2(c2+b2),利用基本不等式求它的最值.
【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=|x﹣1|﹣|2x+1|=,
画出图象如图,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x=﹣时,函数f(x)取得最大值为m=.
∵a2+2c2+3b2=m==(a2+b2)+2(c2+b2)≥2ab+4bc,
∴ab+2bc≤,当且仅当a=b=c=1时,取等号,
故ab+2bc的最大值为.
【点评】本题主要考查分段函数的应用,作函数的图象,利用基本不等式求函数的最值,属于中档题.
22. 已知正项数列,
⑴求证:是等差数列;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
⑵若,求数列的前项和。
参考答案:
解析:⑴
∴
∴
∴
∴
∴ 所以是等差数列
⑵由⑴知:解得
∴,则
∴是以为首项,为公差的等差数列
∴数列的前项和为