山西省晋中市太谷县水秀乡第一中学2022-2023学年高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知f(3x+2)=9x2+3x﹣1,求f(x)( )
A.f(x)=3x2﹣x﹣1 B.f(x)=81x2+127x+53
C.f(x)=x2﹣3x+1 D.f(x)=6x2+2x+1
参考答案:
C
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【专题】综合题;整体思想;换元法;函数的性质及应用.
【分析】设t=3x+2求出x=,代入解析式化简后即可求出f(x)的解析式.
【解答】解:设t=3x+2,则x=,代入解析式得,
∴f(t)=9+3?﹣1=t2﹣3t+1,
∴f(x)=x2﹣3x+1,
故选:C.
【点评】本题考查了函数解析式的求法:换元法,注意函数解析式与自变量的符号无关,属于基础题.
2. 如图,一个质点从原点出发,在与x轴、y轴平行的方向按(0,0)→(0,1)→(1,1)
→(1,0)→(2,0)→(2,1)→(2,2)→(1,2)…的规律向前移动,且每秒钟移动一个单位长度,那么到第2014秒时,这个质点所处位置的坐标是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
3. 已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则?U(A∪B)=( )
A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4}
参考答案:
D
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】根据A与B求出两集合的并集,由全集U,找出不属于并集的元素,即可求出所求的集合.
【解答】解:∵A={1,2},B={2,3},
∴A∪B={1,2,3},
∵全集U={1,2,3,4},
∴?U(A∪B)={4}.
故选D
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
4. 已知等比数列的公比,则等于( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
5. 已知则线段的垂直平分线的方程是
参考答案:
B
6. 设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0, f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间 ( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定
参考答案:
B
7.
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 函数f(x)=( )
A.(-2,-1) B.(-1,0) C. (0,1) D. (1,2)
参考答案:
C
9. 函数的部分图像如图所示,则的解析式为 ( )
A.
B.
C.
D.
o
x
y
2
1
参考答案:
D
略
10. 下列四个图像中,是函数图像的是( )
A.(1) B.(1)、(3)、(4) C.(1)、(2)、(3) D.(3)、(4)
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 当时,函数的图像在x轴下方,那么实数a的取值范围是___ ▲ ___.
参考答案:
由题意得,当时,函数的图象在轴下方,
当,时,且,所以,不满足题意;
当,时,函数为单调递增函数,
所以,
要使得函数的图象在轴下方,则,即,
即,解得,所以实数的取值范围是.
12. 计算 .
参考答案:
11
略
13. 若向量 =(2,m),=(1,﹣3)满足⊥,则实数m的值为 .
参考答案:
考点: 数量积的坐标表达式.
专题: 平面向量及应用.
分析: 根据向量垂直的等价条件进行求解即可.
解答: 解:∵向量 =(2,m),=(1,﹣3)满足⊥,
∴?=2﹣3m=0,
解得m=,
故答案为:
点评: 本题主要考查向量数量积的应用,根据向量垂直的坐标公式进行求解是解决本题的关键.
14. 当0g(x)>f(x)
略
15. △中,三内角、、所对边的长分别为、、,已知,
不等式的解集为,则_____.
参考答案:
不等式的解集为,可以看作是一元二次方程的两实根,或(与矛盾,舍去!),由余弦定理,, .
16. ________
参考答案:
17. 在中,角所对的边分别为,若成等差数列,则角的取值范围是__________(角用弧度表示).
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 计算:
(1)2log32﹣log3;
(2).
参考答案:
【考点】对数的运算性质;根式与分数指数幂的互化及其化简运算.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)利用对数的运算法则、对数恒等式即可得出;
(2)利用指数幂的运算法则即可得出.
【解答】解:(1)原式=﹣3=2﹣3=﹣1.
(2)原式=﹣1+2﹣4++0.1
=﹣1+++
=.
【点评】本题考查了对数的运算法则、对数恒等式、指数幂的运算法则,属于基础题.
19. 函数的定义域为,集合,集合。
(1)求 (2)若,求的值。
参考答案:
20. (本小题满分12分)如图,四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上。
(1)求证:面AEC⊥面PDB;
(2)当PD=AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成角的正切值。
参考答案:
(1)证明:∵底面ABCD是正方形∴AC⊥BD ∵PD⊥底面ABCD∴PD⊥AC
…………………6分
(2)设AC与BD交于O点,连接EO
则易得∠AEO为AE与面PDB所成的角 …………………………9分
在Rt△AEO中 ,OE=PD=AB,
AO= AB
故AE与面PDB所成角的正切值为2
…………………………12分
略
21. (13分)已知cos(75°+α)=,其中α是第三象限角,求cos(105°-α)+sin(α-105°)的值.
参考答案:
∵cos(105°-α)=cos[180°-(75°+α)]
=-cos(75°+α)=-,
sin(α-105°)=-sin(105°-α)
=-sin[180°-(105°-α)]=-sin(75°+α).
又∵cos(75°+α)=,α是第三象限角,
∴75°+α为第四象限角.
22. 若非零函数对任意实数均有|(a+b)=|(a)·|(b),且当时,.
(1)求证:;
(2)求证:为减函数;
(3)当时,解不等式
参考答案:
解:(1) (2)设则,为减函数
(3)由原不等式转化为,结合(2)得:
故不等式的解集为.