河南省商丘市德华高级中学高二数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列命题中的假命题是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
2. 定义在R上的函数f(x)满足f(1)=2,且对任意x∈R都有f′(x)>3,则不等式f(x)>3x﹣1的解集为( )
A.(1,2) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(﹣∞,1)
参考答案:
C
【考点】6A:函数的单调性与导数的关系.
【分析】所求解的不等式是抽象不等式,是与函数有关的不等式,函数的单调性和不等关系最密切.由f′(x)>3,构造单调递减函数h(x)=f(x)﹣3x,利用其单减性求解.
【解答】解:∵f′(x)>3,
∴f′(x)﹣3>0,
设h(x)=f(x)﹣3x,
则h′(x)=f′(x)﹣3>0,
∴h(x)是R上的增函数,且h(1)=f(1)﹣3=﹣1,
不等式f(x)>3x﹣1,
即为f(x)﹣3x>﹣1,
即h(x)>h(1),
得x>1,
∴原不等式的解集为(1,+∞),
故选:C.
3. 下列命题中真命题的个数为:( )
①命题“若,则x,y全为0”的逆命题;
②命题“全等三角形是相似三角形”的否命题;
③命题“若m>0,则有实根”的逆否命题;
④命题“在中,、、分别是角A、B、C所对的边长,若,则”的逆否命题。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
C
略
4. 在△ABC中,a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是
A.0 B.1 C.2 D.无数个
参考答案:
A
略
5. 以下式子正确的个数是( )
①()′=②(cosx)′=﹣sinx ③(2x)′=2xln2 ④(lgx)′=.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
B
【考点】63:导数的运算.
【分析】根据题意,依次对四个式子的函数求导,即可得判断其是否正确,即可得答案.
【解答】解:根据题意,依次分析四个式子:
对于①、=x﹣1,则()′=(x﹣1)′=﹣,故①错误;
对于②、(cosx)′=﹣sinx 正确;
对于③、(2x)′=2xln2,正确;
对于④、(lgx)′=,故④错误;
综合可得:②③正确;
故选:B.
6. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的( )
A.若,,,则 B.若,,,则
C.若,,,则 D.若,,,则
参考答案:
D
略
7. 已知命题p:任意x∈R,x2+x-6<0,则 ?p是 ( )
A.任意x∈R,x2+x-6≥0 B.存在x∈R,x2+x-6≥0
C.任意x∈R,x2+x-6>0 D.存在x∈R,x2+x-6<0
参考答案:
B
略
8. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A.650 B.1250 C.1352 D.5000
参考答案:
B
9. ,则( )
A. 0 B.-1
C. 1 D.
参考答案:
C
【分析】
由赋值法令,解得,
令,解得
再由平方差公式计算可得解.
【详解】解:令,解得,
令,解得,
又
=()()
==,
故选C.
【点睛】本题考查了二项式定理及赋值法求展开式系数的和差,属基础题.
10. 在复平面内,复数(i是虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
参考答案:
D
试题分析:由题意得复数,所以共轭复数为,在负平面内对应的点为位于第一象限,故选D.
考点:复数的运算及表示.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知角的终边经过点P(3,4),则cos的值为 .
参考答案:
12. 在平面内,三角形的面积为S,周长为C,则它的内切圆的半径.在空间中,三棱锥的体积为V,表面积为S,利用类比推理的方法,可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R=__________.
参考答案:
试题分析:若三棱锥表面积为S,体积为V,则其内切球半径”证明如下:
设三棱锥的四个面积分别为:,
由于内切球到各面的距离等于内切球的半径
∴
∴内切球半径
考点:类比推理
13. 方程 的实数根的个数为_____________________.
参考答案:
1
略
14. 已知实数满足则的取值范围是________.
参考答案:
[-5,7]
15. 在极坐标系中,点(2,)到直线ρsinθ=2的距离等于 .
参考答案:
1
【考点】Q8:点的极坐标和直角坐标的互化;IT:点到直线的距离公式.
【分析】先将点的极坐标化成直角坐标,极坐标方程化为直角坐标方程,然后用点到直线的距离来解.
【解答】解:在极坐标系中,点化为直角坐标为(,1),直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2,
(,1),到y=2的距离1,即为点到直线ρsinθ=2的距离1,
故答案为:1.
16. 下面关于棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中的四个命题:
①与AD1成600角的面对角线的条数是8条;
② 直线AA1与平面A1BD所成角的余弦值是;
③从8个顶点中取四个点可组成 10 个正三棱锥;
④点到直线的距离是。
其中,真命题的编号是-----------------
参考答案:
①③ .
略
17. 圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的,比如圆可以看成特殊的椭圆,所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆,例如;如图所示,椭圆C: +=1(a>b>0)可以被认为由圆x2+y2=a2作纵向压缩变换或由圆x2+y2=b2作横向拉伸变换得到的.依据上述论述我们可以推出椭圆C的面积公式为 .
参考答案:
πab
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】根据圆的面积公式S=πR2(R是圆的半径),从而得到椭圆的面积公式.
【解答】解:∵圆的面积公式是S=πa2或S=πb2,
∴椭圆的面积公式是S=πab,
故答案为:πab.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数,对任意实数,均有,并且.证明:对任意实数,均有由此证明对任意实数均有.
参考答案:
解析:由已知得,对任意实数x均有,由得
若时,
由函数在上单调递增则
若,则
类似可以得到
综上可知命题成立.
又
运用已证的结论对任意x有
19. 已知函数.
(1)求函数的最小正周期和最值;
(2)求函数的单调递增区间.
参考答案:
.解:(1) …4分
,.………………………………………6分
当即时,函数取得最大值2 …………8分
(2)由不等式 得:
的单调递增区间为: …………12分
略
20. 某厂生产产品x件的总成本(万元),已知产品单价P(万元)与产品件数x满足:,生产100件这样的产品单价为50万元,产量定为多少件时总利润最大?
参考答案:
解(Ⅰ)解:根据求导法则有,
故,……………………….3分
于是,
列表如下:
2
0
极小值
故知在内是减函数,在内是增函数,所以,在处取得极小值.…6
(Ⅱ)证明:由知,的极小值.
于是由上表知,对一切,恒有.
从而当时,恒有,故在内单调增加.
所以当时,,即.
故当时,恒有.………….12
略
21. (本题满分14分)
设数列前n项和,且,令
(1)试求数列的通项公式;
(2)设,求证数列的前n项和.
参考答案:
(1)当时,
所以, 即
当时,
由等比数列的定义知,数列是首项为2,公比为2的等比数列,
所以,数列的通项公式为
(2)由(Ⅰ)知 所以, ①
以上等式两边同乘以得②
①-②,得
22. 在盒子里有大小相同,仅颜色不同的乒乓球共10个,其中红球5个,白球3个,蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里,再取下一个球.重复以上操作,最多取3次,过程中如果取出蓝色球则不再取球.
(1)求最多取两次就结束的概率;
(2)求整个过程中恰好取到2个白球的概率;
(3)求取球次数的分布列和数学期望.
参考答案:
(1);(2);(3).
【分析】
(1)设取球次数为,分别计算和可得最多取两次就结束的概率.
(2) 最多取球三次,恰好取到2个白球的情况共有四种:红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况,分别计算它们的概率可得所求的概率.
(3)设取球次数为,则,分别计算、和,从而可得的分布列,再利用公式计算其数学期望.
【详解】(1)设取球次数为,则
,.
所以最多取两次的概率 .
(2)由题意知可以如下取球:红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况,所以恰有
两次取到白球的概率为.
(3)设取球次数为,则, ,
,
则分布列为
1
2
3
取球次数的数学期望为 .
【点睛】本题考查离散型随机变量的概率及其分布、数学期望的计算等,在概率计算的过程中,要注意对所讨论的对象进行合理的分类讨论,做到不重不漏.