辽宁省朝阳市北票第七高级中学2022-2023学年高二数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是偶函数的是( )
A. ; B. ; C. ; D.
参考答案:
C
略
2. 曲线在点处的切线平行于直线,则点的坐标为( )
A. B.和 C. D.和
参考答案:
B
略
3. 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数,则实数t的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 在平面几何里有射影定理:设三角形的两边,是点在边上的射影,则.拓展到空间,在四面体中,平面,点是点在平面内的射影,且在内,类比平面三角形射影定理,得出正确的结论是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
由已知在平面几何中,
若△ABC中,AB⊥AC,AE⊥BC,E是垂足,
则AB2=BD?BC,
我们可以类比这一性质,推理出:
若三棱锥A﹣BCD中,AD⊥面ABC,AO⊥面BCD,O为垂足,
则(S△ABC)2=S△BOC.S△BDC.
故选A.
5. 设正实数x,y,z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0.则当取得最大值时,的最大值为( )
A.0 B.1 C. D.3
参考答案:
B
【考点】7F:基本不等式.
【分析】依题意,当取得最大值时x=2y,代入所求关系式f(y)=+﹣,利用配方法即可求得其最大值.
【解答】解:∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0,
∴z=x2﹣3xy+4y2,又x,y,z均为正实数,
∴==≤=1(当且仅当x=2y时取“=”),
∴=1,此时,x=2y.
∴z=x2﹣3xy+4y2=(2y)2﹣3×2y×y+4y2=2y2,
∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1,当且仅当y=1时取得“=”,满足题意.
∴的最大值为1.
故选B.
6. 已知等比数列{an}中,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=( )
A.(1﹣) B.(1﹣) C.16(1﹣) D.16(1﹣)
参考答案:
A
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】推导出{anan+1}是以8为首项,为公比的等比数列,由此能出a1a2+a2a3+…+anan+1.
【解答】解:∵等比数列{an}中,a2=2,a5=,
∴,解得,
∴=8×,
∴{anan+1}是以8为首项,为公比的等比数列,
∴a1a2+a2a3+…+anan+1==(1﹣).
故选:A.
7. 如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为:
A. B.
C. D.
参考答案:
B
8. “若x≠a且x≠b,则-(a+b)x+ab≠0”的否命题是
A.若x=a且x=b,则-(a+b)x+ab=0
B.若x=a或x=b,则-(a+b)x+ab≠0
C.若x=a且x=b,则-(a+b)x+ab≠0
D.若x=a或x=b,则-(a+b)x+ab=0
参考答案:
D
9. 已知函数的图象与直线交于点P,若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为,则的值为( )
A.-1 B. C. D.1
参考答案:
A
10. 如图,边长为1正方形ABCD中,分别在边BC、AD上各取一点M与N,下面用随机模拟的方法计算|MN|>1.1的概率.利用计算机中的随机函数产生两个0~1之间的随机实数x,y,设BM=x,AN=y,则可确定M、N点的位置,进而计算线段MN的长度.设x,y组成数对(x,y),经随机模拟产生了20组随机数:
(0.82,0.28)(0.47,0.38)(0.71,0.62)(0.68,0.83)(0.66,0.63)
(0.66,0.18)(0.01,0.35)(0.59,0.06)(0.28,0.22)(0.27,0.05)
(0.98,0.32)(0.92,0.99)(0.70,0.49)(0.38,0.60)(0.06,0.78)
(0.24,0.46)(0.17,0.75)(0.77,0.59)(0.15,0.98)(0.63,0.78)
通过以上模拟数据,可得到“|MN|>1.1”的概率是( )
A.0.3 B.0.35 C.0.65 D.0.7
参考答案:
B
考点:模拟方法估计概率.
专题:应用题;概率与统计.
分析:由题意,经随机模拟产生了如下20组随机数,满足题意,可以通过列举得到共7组随机数,根据概率公式,得到结果.
解答:解:由题意,|MN|=>1.1,∴(y﹣x)2>0.21,
20组随机数,满足题意的有(0.82,0.28),(0.66,0.18),(0.59,0.06),(0.98,0.32),(0.06,0.78),(0.17,0.75),(0.15,0.98),共7个,
∴“|MN|>1.1”的概率是=0.35,
故选:B.
点评:本题考查模拟方法估计概率,是一个基础题,解这种题目的主要依据是等可能事件的概率,注意列举法在本题的应用.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设(其中为自然对数的底数),则= .
参考答案:
略
12. 已知不等式组所表示的平面区域为,若直线与平面区域有公共点,则的取值范围为 .
参考答案:
13. 函数在上的最大值是____________.
参考答案:
略
14. 某旅游公司年初以98万元购进一辆豪华旅游车,第一年各种费用为12万元,以后每年都增加4万元,该车每年的旅游效益为50万元,设第n年开始获利,列出关于n的不等关系.
参考答案:
98+12+(12+4)+(12+4×2)+…+[12+(n-1)×4]<50n
15. 若直线l与直线2x-y-1=0垂直,且不过第一象限,试写出一个直线l的方程:________.
参考答案:
(答案不唯一)
16. 已知f(x)=,则f(﹣1)+f(4)的值为 .
参考答案:
3
【考点】分段函数的应用.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】利用分段函数,代入计算,即可得出结论.
【解答】解:x=﹣1时,f(﹣1)=﹣(﹣1)2﹣3=﹣4;x=4时,f(4)=7,
∴f(﹣1)+f(4)=﹣4+7=3.
故答案为:3.
【点评】本题考查分段函数,考查学生的计算能力,比较基础.
17. 一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是一个等腰梯形,其下底在轴上,在轴上,底角为,腰和上底均为1,则此平面图形的实际面积是_____.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题5分)已知关于的不等式<0的解集为,函数的定义域为。
(Ⅰ)若,求集合;
(Ⅱ)若,求正数的取值范围。
参考答案:
解:(Ⅰ)由,得。 1分
(Ⅱ)的定义域是:
。 2分
由,得, 3分
又∵,∴, 4分
所以,
即的取值范围是。 5分
19. 已知中心在坐标原点的椭圆C,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,长轴长为6,离心率为
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)已知点P在椭圆C 上,且PF1=4,求点P到右准线的距离.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)由已知可得a,再由离心率求得c,结合隐含条件求得b,则椭圆方程可求;
(2)由题意定义结合已知求得PF2,再由椭圆的第二定义可得点P到右准线的距离.
【解答】解:(1)根据题意:,解得,
∴b2=a2﹣c2=4,
∴椭圆C的标准方程为;
(2)由椭圆的定义得:PF1+PF2=6,可得PF2=2,
设点P到右准线的距离为d,根据第二定义,得,
解得:.
20. 甲、乙、丙三人轮流投掷一枚质地均匀的正方体骰子,规则如下:如果某人某一次掷出1点,则下一次继续由此人掷,如果掷出其他点数,则另外两个人抓阄决定由谁来投掷,且第一次由甲投掷.设第n次由甲投掷的概率是,由乙或丙投掷的概率均为.
(1)计算的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)如果一次投掷中,由任何两个人投掷的概率之差的绝对值小于0.001,则称此次投掷是“机会接近均等”,那么从第几次投掷开始,机会接近均等?
参考答案:
解:⑴易知 ………………………5分
⑵设第n-1次由甲投掷的概率是,则
第n-1次由甲投掷而第n次仍由甲投掷的概率是,
第n-1次由另两人投掷而第n次由甲投掷的概率是, ……………9分
于是,
递推得。 ……………………12分
(3)由,得
故从第6次开始,机会接近均等。 …………………15分
21. (本小题满分12分)如图,一矩形铁皮的长为8cm,宽为5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?
参考答案:
设小正方形的边长为厘米,则盒子底面长为,宽为( )----------3分
--------------6分
,(舍去) ---------------9分
,在定义域内仅有一个极大值,
--------------12分
22. 如图,在三棱锥中,,,为的中点.
(1)求证:;
(2)设平面平面,,,求二面角的平面角的正弦值.
参考答案:
(1)设中点为,连接,,
因为,所以,
又为的中点,
所以.
因为,所以,
因为,所以平面,又平面,
所以
(2)由(1)知,
因为平面平面,平面平面,平面,
所以平面,又.
以为坐标原点,分别以,,为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,
因为,,,所以,
由为中点,,,得,,
则,,,,,,
设平面的一个法向量为,
由,即取,可得,
因为平面平面,平面平面,平面,
所以平面,所以平面的一个法向量为,
∴,
设二面角的大小为,则
所以,
∴二面角的平面角的正弦值为.