湖南省娄底市城关镇铁牛中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知是等比数列,,是关于的方程的两根,且,则锐角的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 过点(1,2)且与原点的距离最大的直线方程是( )
A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0
参考答案:
A
略
3. 下列函数中,在区间(0,1)上为增函数的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是,且它的个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( )
A. B. C. D.都不对
参考答案:
B
略
5. 某同学参加期末模拟考试,考后对自己的语文和数学成绩进行了如下估计:语文成绩(x)高于85分,数学成绩(y)不低于80分,用不等式组可以表示为
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 如果函数在区间上是减少的,那么实数的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
略
7. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a=,b=1,则c=( )
A.1 B. 2 C . -1 D.
参考答案:
B
8. 已知直线的倾斜角为,则的值是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
试题分析:,选C.
考点:二倍角公式
9. 已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是( )
参考答案:
D
略
10. 的值是----------------------------------------( )
A.1 B.0 C.-1 D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是偶函数,定义域为,则
参考答案:
12. (5分)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线AB1与BC1所成角为 .
参考答案:
60°
考点: 异面直线及其所成的角.
专题: 计算题.
分析: 求两条异面直线AB1与BC1所成角,只要连结AD1,即可证明AD1∥BC1,可得∠D1AB1 为两异面直线所成的角,在三角形D1AB1 中可求解.
解答: 连结AD1,∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,∴AB∥D1C1 且AB=D1C1,
∴四边形ABC1D1 为平行四边形,∴AD1∥BC1,则∠D1AB1 为两异面直线AB1与BC1所成角.
连结B1D1,∵正方体的所有面对角线相等,∴△D1AB1 为正三角形,所以∠D1AB1=60°.
故答案为60°.
点评: 本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力.在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧,此题是中档题.
13. 设函数,满足=的x的值是 .
参考答案:
14. 如图是 一正方体的表面展开图,B、N、Q都是所在棱的中点,则在原正方体中,
①AB与CD相交;②MN∥PQ;③AB∥PE;
④MN与CD异面;⑤MN∥平面PQC.
所给关系判断正确的是_____.
参考答案:
①②④⑤
15. 现用一半径为10cm,面积为80πcm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计,且无损耗),则该容器的容积为__________cm3.
参考答案:
128π
分析:由圆锥的几何特征,现用一半径为10cm,面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器,则圆锥的底面周长等于扇形的弧长,圆锥的母线长等于扇形的半径,由此计算出圆锥的高,代入圆锥体积公式,即可求出答案.
解析:设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l,圆锥形容器的高和底面半径分别为h、r,
则由题意得R=10,由,得,
由得.
由可得.
该容器的容积为.
故答案为:.
点睛:涉及弧长和扇形面积的计算时,可用的公式有角度表示和弧度表示两种,其中弧度表示的公式结构简单,易记好用,在使用前,应将圆心角用弧度表示.
16. 设奇函数的定义域为R,且对任意实数满足,若当∈[0,1]时,,则____.
参考答案:
【分析】
根据得到周期,再利用周期以及奇函数将自变量转变到给定区间计算函数值.
【详解】因为,所以,所以,又因为,所以,则,
故,又因为是奇函数,
所以,则.
【点睛】(1)形如的函数是周期函数,周期;
(2)若要根据奇偶性求解分段函数的表达式,记住一个原则:“用未知表示已知”,也就是将自变量变形,利用已知范围和解析式求解.
17. 如图给出的是计算的值的一个流程图,其中判断框内应填入的条件是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知定义域为R的函数是奇函数.
(1) 求的值;
(2)若对任意的, 不等式恒成立, 求k的取值范围.
参考答案:
解析:(1)因为是奇函数, 所以=0, 即
又由知
(2) 解法一:由(1)知, 易知在上为减函
数。又因是奇函数,从而不等式:等价于
.因为减函数,由上式推得:.
即对一切有:, 从而判别式
解法二:由(1)知.又由题设条件得:
即:
整理得: .上式对一切均成立, 从而判别式
19. (本小题满分12分)
已知:,设函数,求:
(1)的最小正周期;
(2)的单调递增区间;
(3)若,且,求的值。
参考答案:
解:
…….4分
(1)函数f(x)的最小正周期为T=………5分
(2)由,得,
∴函数f(x)的单调增区间为,………8分
(3),
∴∵,∴,
……….12分
20. (本题满分10分,每小题5分)
(1)-.
(2)已知,化简。
参考答案:
(1)原式=5.
.
略
21. 已知,设.
(1)求的最小正周期;
(2)在△ABC中,已知A为锐角,,BC=4,AB=3,求的值.
参考答案:
(1) (2)
【分析】
(1)先根据向量坐标运算和正弦的二倍角公式求出f(x)的解析式,在由周期公式即可求得函数的周期;
(2)由(1)和可求出sinA和cosA,再根据正弦定理可求得sinC和cosC,然后根据sinB=sin(A+C)即可求得.
【详解】(1)
所以
的最小正周期为
(2)因为
所以
由正弦定理得:
=
【点睛】本题重点考查了三角函数的化简和利用正弦定理求解三角形,属于中档题目,解题中需要熟练掌握三角函数的二倍角公式、和角公式,对字母运算能力要求较高.
22. (1)若是偶函数,求实数的值;
(2)当时,关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解,求的范围。
参考答案:
(1) 若是偶函数,则有恒成立,即:
于是
即是对恒成立,故…………………………………………………5分
(2)当时,,在上单增,在上也单增
所以在上单增,且
则可化为
……………………………………….7分
又单增,得,换底得…………………………………………………9分
即,令,则,问题转换化为
在有两解
令,,,
作出与的简图知,解得
又,故……………………………………………………………12分