2022年北京北小营中学 高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 21. 已知直三棱柱的六个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为.
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 在△ABC中,,BC边上的高等于,则
A. B. C. D.
参考答案:
D
试题分析:设边上高线为,则,所以.由正弦定理,知,即,解得,故选D.
【考点】正弦定理
【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时,需寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形,然后选用正弦定理与余弦定理求解.
3. 已知,,则与的夹角( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
参考答案:
C
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【专题】常规题型.
【分析】利用向量的多项式乘法展开,利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式,求出向量夹角的余弦,利用向量夹角的范围,求出向量的夹角.
【解答】解:设两个向量的夹角为θ
∵
∴
∴9+16×3+12×4cosθ=33
∴
∵θ∈[0,π]
∴θ=120°
故选C.
【点评】求向量的夹角问题一般应该先求出向量的数量积,再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦,注意夹角的范围,求出夹角.
4. 设,那么
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
5. ,,tan56°的大小关系是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【分析】
先化简,再利用函数的单调性比较和的大小即得解.
【详解】由题得,
因为函数在单调递增,
所以.
故得.
故选:
【点睛】本题主要考查诱导公式和正切函数的单调性,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6. 下列四种说法正确的个数有( )
①若A,B,C为三个集合,满足,则一定有;
②函数的图像与垂直于x轴的直线的交点有且仅有一个;
③若,则;
④若函数f(x)在[a,b]和[b,c]都为增函数,则f(x)在[a,c]为增函数.
A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个
参考答案:
C
7. 已知,则_____________。
参考答案:
8. 已知函数的图象(部分)如图所示,则的解析式是
A.
B.
C.
D.
参考答案:
B
9. 已知,则( )
A. B. C.3 D.-3
参考答案:
D
10. (4分)点P(﹣2,1)到直线4x﹣3y+1=0的距离等于()
A. B. C. 2 D.
参考答案:
C
考点: 点到直线的距离公式.
专题: 计算题.
分析: 把点P(﹣2,1)直接代入点到直线的距离公式进行运算.
解答: 解:由点到直线的距离公式得,点P(﹣2,1)到直线4x﹣3y+1=0的距离等于 =2,
故选 C.
点评: 本题考查点到直线的距离公式的应用,要注意先把直线的方程化为一般式.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知f(x)=ax7﹣bx5+cx3+2,且f(﹣5)=17,则f(5)= .
参考答案:
﹣13
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】计算题.
【分析】根据所给函数的结构,构造新函数g(x)=ax7﹣bx5+cx3,利用其奇偶性求解.
【解答】解:令g(x)=ax7﹣bx5+cx3该函数是奇函数,
所以f(﹣5)=g(﹣5)+2=17,因此g(﹣5)=15,
所以g(5)=﹣15,
所以f(5)=g(5)+2=﹣15+2=﹣13,
故答案为:﹣13.
【点评】本题考察函数奇偶性的应用,题目本身所给函数不具有奇偶性,但将其中含自变量部分拆出后具有奇偶性,利用这一点将该类问题解决.
12. 如图是函数
的图象,则其解析式是 .
参考答案:
13. 已知函数是奇函数,则 .
参考答案:
-1
当时,,
∵函数为奇函数,
∴,
即
,
∴,
∴.
∴.
答案:
14. 若α∈(0,π),且cos2α=sin(+α),则sin2α的值为 .
参考答案:
﹣1
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得,cosα﹣sinα,或 cosα+sinα的值,从而求得sin2α的值.
【解答】解:∵α∈(0,π),且cos2α=sin(+α),∴cos2α=2sin(+α),
∴(cosα+sinα)?(cosα﹣sinα)=(cosα+sinα),
∴cosα+sinα=0,或cosα﹣sinα=(不合题意,舍去),
∴α=,∴2α=,∴sin2α=sin=﹣1,
故答案为:﹣1.
15. (5分)函数f(x)=的定义域是 .
参考答案:
(1,+∞)
考点: 函数的定义域及其求法.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由对数式的真数大于0,根式内部的代数式大于等于0联立不等式组,求解x的取值集合得答案.
解答: 要使原函数有意义,则x﹣1>0,即x>1.
∴函数f(x)=的定义域是(1,+∞).
故答案为:(1,+∞).
点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了不等式组的解法,是基础题.
16. 幂函数的图象过点,那么的值为 .
参考答案:
设幂函数的解析式为,∵幂函数的图象过点,∴,∴,∴,故答案为.
17. 已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x﹣1,那么当x=0时,f(x)= ; 当x<0时,f(x)= .
参考答案:
0;﹣x2+x+1.
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【分析】由奇函数的定义得出f(0)=0;由x>0时,f(x)的解析式,结合函数的奇偶性,求出x<0时的解析式.
【解答】解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(﹣0)=﹣f(0),
即f(0)=0;
当x<0时,﹣x>0,
f(﹣x)=(﹣x)2+(﹣x)﹣1=x2﹣x﹣1;
又∵f(﹣x)=﹣f(x),
∴﹣f(x)=x2﹣x﹣1,
∴f(x)=﹣x2+x+1.
故答案为:0,﹣x2+x+1.
【点评】本题考查了求函数解析式的问题以及函数奇偶性的应用问题,解题时应灵活应用函数的奇偶性进行解答,是基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…[80,90),[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;
(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在[40,50)的概率.
参考答案:
(1)0.006;(2)0.4;(3)
试题分析:(1)在频率分面直方图中,由频率总和即所有矩形面积之和为1,可求a;(2)在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为0.4,由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4;(3)受访职工评分在[50,60)的有3人,记为,受访职工评分在[40,50)的有2 人,记为,列出从这5人中选出两人所有基本事件,即可求相应的概率.
试题解析:(1)因为,所以……4分)
(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为,
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4………8分
(3)受访职工评分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人),即为;
受访职工评分在[40,50)的有: 50×0.004×40=2(人),即为.
从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是
又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即,故所求的概率为
19. 某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是,其中是正的常数,为自然对数的底数.
(1)判断函数是增函数还是减函数;
(2)把表示成原子数的函数.
参考答案:
(Ⅰ)由已知可得
因为是正常数,,所以,即,
又是正常数,所以是关于的减函数
(Ⅱ)因为,所以,所以,即(其中).
20. 如图,在平行四边形中,边所在直线方程为,
(1)求直线的方程;(2)求边上的高所在直线的方程;(3)若,
求平行四边形的面积。
参考答案:
21. (本题10分)已知函数的最大值为,最小值为.
(1)求的值;
(2)已知函数,当时求自变量x的集合.
参考答案:
⑴ ,;
…………4分
⑵由⑴知:ks5u
…………6分
…………8分
对应x的集合为…………10分
22. 已知方程.
(1)若此方程表示圆,求的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线相交于两点,且(为坐标原点)求的值;
(3)在(2)的条件下,求以为直径的圆的方程.
参考答案:
(3)设圆心为则:
半径
圆的方程为.