2022-2023学年湖南省永州市大水中学高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设集合A={x|-5≤x<3},B={x|x≤4},则A∪B=( ).
A.{x|-5≤x<3} B.{x|-5≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|x<3}
参考答案:
C
2. 设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,由此定义了正弦()、余弦()、正切(),其实还有另外三个三角函数,分别是:余切()、正割()、余割(). 则下列关系式错误的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
3. (多选题)下列函数既是偶函数,又在(-∞,0)上单调递减的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
AD
【分析】
对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间上的单调性,由此判断正确选项.
【详解】对于A选项,为偶函数,且当时,为减函数,符合题意.
对于B选项,为偶函数,根据幂函数单调性可知在上递增,不符合题意.
对于C选项,为奇函数,不符合题意.
对于D选项,为偶函数,根据复合函数单调性同增异减可知,在区间上单调递减,符合题意.
故选:AD.
4. 若向量a与b的夹角为,,则向量a的模为
A.2 B.4 C.6 D.12
参考答案:
C
略
5. 若向量=(1,1),=(1,﹣1),=(﹣1,2),则c=( )
A. ﹣ B.﹣ + C.﹣ + D. ﹣
参考答案:
D
【考点】9H:平面向量的基本定理及其意义.
【分析】设,列方程组解出λ,μ即可.
【解答】解:设,则,解得,
故选D.
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算,属于基础题.
6. 函数作怎样的变换可得到函数( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
参考答案:
C
7. 将直线,沿轴向左平移个单位,所得直线与圆相切,则实数的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 已知锐角,满足,则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【分析】
观察式子可将,
即 ,
化简易得,即
【详解】
又,是锐角,则,即,
故选:B.
【点睛】此题考查和差公式的配凑问题,一般观察式子进行拆分即可,属于较易题目。
9. 在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,则其面积等于( )
A.12 B. C.28 D.
参考答案:
D
【考点】HX:解三角形;HQ:正弦定理的应用;HR:余弦定理.
【分析】已知三条边长利用余弦定理求得cosC=,再利用同角三角函数的基本关系求得 sinC=,代入△ABC的面积公式进行运算.
【解答】解:在△ABC中,若三边长分别为a=7,b=3,c=8,
由余弦定理可得64=49+9﹣2×7×3 cosC,
∴cosC=,
∴sinC=,
∴S△ABC==,
故选D.
10. 已知是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:
①若;
②若;
③若α//β,mα,nβ,则m//n;
④若若m⊥α,n⊥β,m//n,则α//β
其中正确的命题是
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (4分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AC的三等分点,且EC=2AE,若,,则= (结果用,表示)
参考答案:
﹣
考点: 向量加减混合运算及其几何意义.
专题: 平面向量及应用.
分析: 根据平面向量的加法与减法运算的几何意义,对向量进行线性表示即可.
解答: 根据题意,得;
=+
=﹣+
=﹣+
=﹣.
故答案为:﹣.
点评: 本题考查了平面向量的加法与减法运算的几何意义的应用问题,是基础题目.
12. 函数 (是常数,)的部分图象如图所示,下列结论:
①最小正周期为;
②将的图象向左平移个单位,所得到的函数是偶函数;
③;
④.
其中正确命题的序号是 .
参考答案:
①④
考点:三角函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质,三角函数的图象变换等知识点的综合应用,属于中档试题,本题解答中根据函数图象的周期和特殊点求出函数的解析式,在根据函数单调性,对称性及其三角函数的图象变换进行合理的判断是解答本题的关键,着重考查了学生识图、用图和分析问题和解答问题的能力.
13. 下列四种说法中,其中正确的是 (将你认为正确的序号都填上)
①奇函数的图像必经过原点;
②若幂函数是奇函数,则在定义域内为减函数;
③函数,若,则在区间上是增函数;
④用表示三个实数中的最小值,设,则函数的最大值为6。
参考答案:
③④
14. 设向量,若满足,则 .
参考答案:
略
15. 化为y=为a的形式是____,图像的开口向____,顶点是____,对称轴是____。
参考答案:
y=-1 上 (―2,―1) x=-2
略
16. 已知函数,且,则_________.
参考答案:
10
【分析】
由,代入求得,即得,再代入可求得.
【详解】
,
则,
故填:10.
【点睛】本题主要考查了由函数的解析式求解函数的函数值,解题的关键是利用奇函数的性质及整体代入可求解,属于基础题.
17. 下列说法正确的是 .(只填正确说法的序号)
①若集合,,则;
②函数的单调增区间是;
③若函数在,都是单调增函数,则在上也是增函数;
④函数是偶函数.
参考答案:
③④
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,已知点A(-2,1),直线。
(1)若直线过点A,且与直线垂直,求直线的方程;
(2)若直线与直线平行,且在轴、轴上的截距之和为3,求直线的方程。
参考答案:
解:(1)由题意,直线的斜率为2,所以直线的斜率为,(2分)
所以直线的方程为,即。(4分)
(2)由题意,直线的斜率为2,所以直线的斜率为2,
设直线的方程为。(6分)
令,得;令,得。(8分)
由题知,解得。
所以直线的方程为,即。(10分)
19. 已知数列{an}是公差不为0的等差数列,,且,,成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设,求数列{bn}的前n项和Sn.
参考答案:
(1);(2)
试题分析:(1)利用等差数列与等比数列的性质,易得:;(2)化简,由裂项相消法,得:.
试题解析:
(1)设数列的公差为d,由,且,,成等比数列,得
, 解得d=2,或d=-1(舍去)
∴d=2 ,
即数列的通项公式
(2)=
20. 已知幂函数上是增函数,,
(1)当时,求的值;
(2)求的最值以及取最值时x的取值集合.
参考答案:
21. 某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为每辆1万元,出厂价为每辆1.2万元,年销售量为1000辆,本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.
已知年利润 = (出厂价 – 投入成本)×年销售量
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?
参考答案:
解析:(1)依题意,得y = [1.2×(1 + 0.75x) – 1×(1 + x)] ×1000 (1 + 0.6x)
整理得y = –60x2 + 20x + 200 (0<x<1)
(2)依题意,得
22. (本小题满分12分)
某房地产开发商投资81万元建一座写字楼,第一年装修费为1万元,以后每年增加2万元,把写字楼出租,每年收入租金30万元.
(Ⅰ)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润?
(Ⅱ)若干年后开发商为了投资其他项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时,以10万元出售该楼,问哪种方案盈利更多?
参考答案:
解:(Ⅰ)设第n年获取利润为y万元
n年共收入租金30n万元,付出装修费构成一个以1为首项,2为公差的等差数列,
共
因此利润,令
解得:
所以从第4年开始获取纯利润.
(Ⅱ)年平均利润
(当且仅当,即n=9时取等号)
所以9年后共获利润:12=154(万元)
利润
所以15年后共获利润:144+ 10=154 (万元)
两种方案获利一样多,而方案①时间比较短,所以选择方案①.
略