湖南省岳阳市大坪中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 复数=( )
A.I B.-i C.1-I D.i-1
参考答案:
A
2. 定义在上的奇函数满足是偶函数,且当时,f(x)=x(3-2x),则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 的零点所在区间为 ( )
A.(0,1) B.(-1,0) C.(1,2) D.(-2,-l)
参考答案:
B
略
4. 已知定义在上的函数满足下列三个条件:①对任意的都有,②对于任意的,都有,
③的图象关于轴对称,则下列结论中,正确的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
5. 为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,可以将函数y=cos2x的图象( )
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
参考答案:
B
考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题:计算题.
分析:先根据诱导公式进行化简,再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin(2x﹣)到y=cos2x的路线,确定选项.
解答: 解:∵y=sin(2x﹣)=cos=cos(﹣2x)=cos(2x﹣)=
cos,
∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度.
故选B.
点评:本题主要考查三角函数的平移.三角函数的平移原则为左加右减上加下减.注意变换顺序.
6. 已知双曲线,则其离心率为
A. B. C. D.
参考答案:
C
双曲线化为标准方程得,所以双曲线C的焦点在y轴上,a=,其离心率.
7. 当a=dx时,二项式(x2﹣)6展开式中的x3项的系数为( )
A.﹣20 B. 20 C. ﹣160 D. 160
参考答案:
C
8. 不等式的解集是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 定义:如果函数在上存在,(),满足,,则称数,为上的“对望数”,函数为上的“对望函数”.已知函数是上的“对望函数”,则实数的取值范围是
. . . .
参考答案:
.
由题意可知,在上存在,(),满足
,因为,所以方程在上有两个不同的根.令(),则,解得,所以实数的取值范围是.故选.
【解题探究】本题是一道新定义函数问题,考查对函数性质的理解和应用.解题时首先求出函数的导函数,再将新定义函数的性质转化为导函数的性质,进而结合函数的零点情况确定参数所满足的条件,解之即得所求.
10. 某篮球运动员6场比赛得分如下表:(注:第n场比赛得分为an)
n
1
2
3
4
5
6
an
10
12
8
9
11
10
在对上面数据分析时,一部分计算如右算法流程图(其中是这6个数据的平均数),则输出的s的值是
A. B.2 C. D.
参考答案:
C
,
由题意,易得:=
故选:C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知为数列的前项和,且满足,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
12. 设变量满足约束条件,则目标函数的最小值___________;
参考答案:
【知识点】简单线性规划.E5
【答案解析】3 解析:设变量x、y满足约束条件,
在坐标系中画出可行域△ABC,A(2,0),B(1,1),C(3,3),
则目标函数z=2x+y的最小值为3.
故答案为:3.
【思路点拨】先根据条件画出可行域,设z=2x+y,再利用几何意义求最值,将最小值转化为y轴上的截距,只需求出直线z=2x+y,过可行域内的点B(1,1)时的最小值,从而得到z最小值即可.
13. 若等差数列{an}的前7项和S7=21,且a2=﹣1,则a6= .
参考答案:
7
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由等差数列{an}的性质可得:a1+a7=a2+a6.再利用求和公式即可得出.
【解答】解:由等差数列{an}的性质可得:a1+a7=a2+a6.
∴S7=21==,且a2=﹣1,
则a6=7.
故答案为:7.
14. 己知为锐角,,平分,在线段上,点为线段的中点,,若点 在内(含边界),则在下列关于的式子
①; ②; ③; ④中,正确的是 (请填写所有正确式子的番号)
参考答案:
②③④
15. 在△中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,则 .
参考答案:
16. 若分别是的所对的三边,且,则圆M: 被直线:所截得的弦长为 .
参考答案:
17. 数列满足,其中为常数.若实数使得数列为等差数列或等比数列,数列的前项和为,则满足 .
参考答案:
10
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列的前项和为,且,.
(Ⅰ)求 及;(Ⅱ)若数列的前项和,试求并证明不等式成立.
参考答案:
略
19. 某校夏令营有3名男同学,A、B、C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如表:
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)
(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果;
(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.
参考答案:
考点:古典概型及其概率计算公式;列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
专题:概率与统计.
分析:(Ⅰ)用表中字母一一列举出所有可能的结果,共15个.
(Ⅱ)用列举法求出事件M包含的结果有6个,而所有的结果共15个,由此求得事件M发生的概率.
解答: 解:(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果有:(A,B)、(A,C)、(A,X)、(A,Y)、(A,Z)、
(B,C)、(B,X)、(B,Y)、(B,Z)、(C,X)、(C,Y)、(C,Z)、(X,Y)、
(X,Z )、(Y,Z),共计15个结果.
(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,
则事件M包含的结果有:(A,Y)、(A,Z)、(B,X)、(B,Z)、(C,X)、(C,Y),共计6个结果,
故事件M发生的概率为 =.
点评:本题考主要查古典概型问题,可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件,列举法,是解决古典概型问题的一种重要的解题方法,属于基础题.
20. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,点O是对角线AC与BD的交点,AB=2,∠BAD=60°,M是PD的中点.
(Ⅰ)求证:OM∥平面PAB;
(Ⅱ)平面PBD⊥平面PAC;
(Ⅲ)当三棱锥C﹣PBD的体积等于 时,求PA的长.
参考答案:
(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)见证明(Ⅲ)
【分析】
(Ⅰ)先证明OM∥PB,再证明OM∥平面PAB; (Ⅱ)先证明BD⊥平面PAC,再证明平面PBD⊥平面PAC;(Ⅲ)根据求出PA的长.
【详解】(Ⅰ)
证明:在△PBD中,因为O,M分别是BD,PD的中点,
所以OM∥PB.又OM? 平面PAB, PB?平面PAB,
所以OM∥平面PAB.
(Ⅱ)因为底面ABCD是菱形,所以BD⊥AC.
因为PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以PA⊥BD.又AC∩PA=A,
所以BD⊥平面PAC.
又BD?平面PBD,
所以平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅲ)因为底面ABCD是菱形,且AB=2,∠BAD=60°,
所以
又 ,三棱锥的高为PA,
所以 ,解得 .
【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明,考查体积的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21. (12分)已知函数,
(1)若函数的图象在点处的切线与直线平行,函数 在处取得极值,求函数的解析式,并确定函数的单调递减区间;
(2)若,且函数在上是减函数,求的取值范围.
参考答案:
(1)已知函数
又函数图象在点处的切线与直线平行,且函数在处取得极值,,且,解得
,且
令,
所以函数的单调递减区间为
(2)当时,,又函数在上是减函数
在上恒成立,
即在上恒成立。
22. (12分)已知O为坐标原点,椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为P,右顶点为Q,以F1、F2为直径的圆O与椭圆C内切,直线PQ与圆O相交得到的弦长为.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l与以F1、F2为直径的圆O相切,并且与椭圆C交于不同的两点A、B,求△AOB的面积的最大值.
参考答案:
【考点】直线与椭圆的位置关系.
【分析】(Ⅰ)由题意可知:P(0,b),Q(a,0),则直线PQ的方程:ay+bx﹣ab=0,则O到直线PQ的距离d==,由以F1、F2为直径的圆O与椭圆C内切,则b=c,由此能求出椭圆的标准方程.
(Ⅱ)讨论直线AB的斜率不存在,求得△ABO的面积,若存在设直线AB:y=kx+m,A(x1,y1)、B(x2,y2),由圆O与直线l相切,得m2=k2+1.由,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式,结合已知条件能求出△AOB的面积的最大值.
【解答】解:(Ⅰ)由题意可知:P(0,b),Q(a,0),
则直线PQ的方程:ay+bx﹣ab=0,
则O到直线PQ的距离d==,
由以F1、F2为直径的圆O与椭圆C内切,则b=c,
在△ODP中,根据勾股定理可知:
()2+()2=b2,①
由a2=b2+c2=2b2,②
由①②解得:b2=1,a2=2,
∴椭圆的标准方程为:.
(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,AB过椭圆的焦点,
令x=1代入椭圆方程可得y=±,
可得|AB|=,S△ABO=;
当直线AB的斜率存在时,设直线AB:y=kx+m,A(x1,y1)、
B(x2,y2),
∵圆O与直线l相切,
∵=1,
∴m2=k2+1.
由,消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
∵直线l与椭圆交于两个不同的点,
∴△=(4km)2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0,即m2﹣2k2<1,
∴k2>0.
由韦达定理可知:x1+x2=﹣,x1x2=,
则丨AB丨=?
=?=?,
△AOB的面积S=?丨AB丨?d=,
令1+2k2=t(t>1),可得k2=,则S=
=?=?<.
综上可得,△AOB的面积的最大值为.
【点评】本题主要考查椭圆的概念和性质,直线和椭圆的位置关系,圆的性质等知识,意在考查转化和化归思想,数形结合思想和学生的运算求解能力,是中档题.