湖南省张家界市怀铁总公司中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
2. 设a,b∈R,则“a>0,b>0,,是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
D
3. 已知全集为实数R,集合A=,B=,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 已知全集,集合,,则为
A.{ 1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}
参考答案:
C
5. 某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示:
收入x(亿元)
2.2
2.6
4.0
5.3
5.9
支出y(亿元)
0.2
1.5
2.0
2.5
3.8
根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+,依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为( )
A.4.5亿元 B.4.4亿元 C.4.3亿元 D.4.2亿元
参考答案:
B
【考点】线性回归方程.
【分析】根据表中数据,计算、以及回归系数,写出回归方程,
利用回归方程计算x=7时的值即可.
【解答】解:根据表中数据,计算=×(2.2+2.6+4.0+5.3+5.9)=4,
=×(0.2+1.5+2.0+2.5+3.8)=2,
∴=2﹣0.8×4=﹣1.2,
∴回归直线方程为=0.8x﹣1.2,
计算x=7时=0.8×7﹣1.2=4.4(亿元),
即2017年该公司收入为7亿元时的支出为4.4亿元.
故选:B.
【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题,是基础题.
6. 某校为了鼓励学生热心公益,服务社会,成立了“慈善义工社”.2017年12月,该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会,学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况,该校随机抽取100名学生进行调查,数据统计如下表,其中“√”表示参加,“×”表示未参加.
根据表中数据估计,该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)从该校4000名学生中任取一人,试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率;
(Ⅲ)已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分,任取该校一名学生,记该生2017年12月获得的公益积分为X,求随机变量X的分布列和数学期望E(X).
参考答案:
解:(Ⅰ)依题意,所以.
因为,
所以,.
(Ⅱ)设“从该校所有学生中任取一人,其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”为事件,
则.
所以从该校所有学生中任取一人,其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为.
(Ⅲ)可取0,10,20,30,40.
;;
;;
.
所以随机变量的分布列为:
所以.
7. 如图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象,那么f(x)可 以写成( )
A.f(x)=sin(1+x) B.f(x)=sin(-1-x)
C. f(x)=sin(x-1) D. f(x)=sin(1-x)
参考答案:
D
略
8. 直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
9. 若x∈R,则“-1≤x≤2”是“|x|<1”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
参考答案:
B
略
10. 函数f(x)=|x|+(其中a∈R)的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【考点】函数的图象.
【分析】通过a的取值,判断对应的函数的图象,即可推出结果.
【解答】解:当a=0时,函数f(x)=|x|+=|x|,函数的图象可以是B.
当a=1时,函数f(x)=|x|+=|x|+,函数的图象可以类似A;
当a=﹣1时,函数f(x)=|x|+=|x|﹣,x>0时,|x|﹣=0只有一个实数根x=1,函数的图象可以是D;
所以函数的图象不可能是C.
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数与满足,,且在区间上为减函数,令,则下列不等式正确的有 .
① ② ③> ④
参考答案:
②④
12. 设函数的定义域为D,若函数满足下列两个条件,则称在定义域D上是闭函数.①在D上是单调函数;②存在区间,使在上值域为.如果函数为闭函数,则的取值范围是_______
参考答案:
13. 若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为__________.
参考答案:
9
14. 在二项式的展开式中,各项的系数和比各项的二项式系数和大992,则n的值为 5 .
参考答案:
考点:
二项式系数的性质.
专题:
计算题.
分析:
利用赋值法求出展开式的各项系数和,据展开式的二项式系数和为2n,列出方程求出n;
解答:
解:令x=1得M=4n,又N=2n,
∵M﹣N=992,∴4n﹣2n=992,
令2n=k,则k2﹣k﹣992=0,
∴k=32,∴n=5,
则n的值为5
故答案为5.
点评:
本题考查赋值法是求二项展开式系数和的方法;二项式系数和公式为2n;利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.
15. 已知为等差数列,若,则的值为______.
参考答案:
答案:40
16. 如图,是半径为1的圆的直径,△ABC是边长为1的正三角形,则的最大值为 .
参考答案:
由图可知,,
从而,记,
则
故当时,的最大值为。
17. 设圆的半径为,圆心在()上,若圆与圆相交,则圆心的横坐标的取值范围为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
参考答案:
(Ⅰ)因为
又是平面PAC内的两条相较直线,所以BD平面PAC,
而平面PAC,所以.
(Ⅱ)设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,
所以是直线PD和平面PAC所成的角,从而.
由BD平面PAC,平面PAC,知.
在中,由,得PD=2OD.
因为四边形ABCD为等腰梯形,,所以均为等腰直角三角形,
从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积
在等腰三角形AOD中,
所以
故四棱锥的体积为.
19. (本小题满分13分)已知函数 y = f (x) 的定义域为 R,其导数 f '(x) 满足 0 < f '(x) < 1,常数 a 为方程 f (x) = x的实数根。
(1) 求证:当 x > a 时,总有 x > f (x) 成立;
(2) 对任意 x1、x2若满足| x1-a | < 1,| x2-a | < 1,求证:| f (x1)-f (x2)| < 2.
参考答案:
(1)证明:令 g(x) = x-f (x)则 g '(x) = 1-f '(x)
∵ 0 < f '(x) < 1 ∴ g '(x) = 1-f '(x) > 0
∴ 函数 g(x) = x-f (x)为R增函数
∴ 当 x > a时 g(x) = x-f (x) > a-f (a) = 0
∴ 当 x > a时,总有 x > f (x) 成立 ---------6分
(2)证明: ∵ | x1-a | < 1,| x2-a | < 1
∴ a-1 < x1 < a + 1;a-1 < x2 < a + 1 又 0 < f '(x) < 1
∴ f (x) 在 R 是增函数
∴ f (a-1) < f (x1) < f (a + 1); f (a-1) < f (x2) < f (a + 1)
∴ f (a-1)-f (a + 1) < f (x1)-f (x2) < f (a + 1)-f (a-1)
∴ | f (x1)-f (x2) | < f (a + 1)-f (a-1)
由 (1) 知: f (a + 1) < a + 1 ; -f (a-1) < -(a-1)
∴ | f (x1)-f (x2) | < f (a + 1)-f (a-1) < 2
∴ | f (x1)-f (x2) | < 2. -----------13分
20. (本小题满分12分)
某加油站20名员工日销售量的频率分布直方图,如下图所示:
(I)补全该频率分布直方图在[20,30)的部分,并分别计算日销售量在[10,20),[20,30)的员工数;
( II)在日销量为[10,30)的员工中随机抽取2人,求这两名员工日销量在[20,30)的概率。
参考答案:
(Ⅰ)2,4;(Ⅱ).
试题分析:(Ⅰ)根据频率分布直方图中每个小矩形的面积表示该组的频率,又频率和为1可得日销售量在的频率.从而可得日销售量在的小矩形高度,即可将图像补全.根据可求得各组的人数. (Ⅱ)将在日销售量为的6人中随机抽取2人的所有基本事件一一例举,再将这两名员工售量在的事件一一例举,根据古典概型概率公式可求得所求概率.
试题解析:(Ⅰ)日销售量在的频率为,
故日销售量在的小矩形高度为,频率分布直方图如下:
日销售量在的员工数为: ,
日销售量在 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知日销售量在的员工共6人,其中日销售量在的员工2人分别记为,日销售量在的员工4人,分别记为.
从此6人中随机抽取2人所包含的基本事件有:
, ,共15个等可能的结果,
其中这两名员工日销量均在的事件有: ,共6个等可能的结果.
所以所求概率.
考点:1频率分布直方图;2古典概型概率.
21. 已知直线l:x+y=1在矩阵A=对应的变换作用下变为直线l':x﹣y=1,求矩阵A.
参考答案:
【分析】
设直线l:x+y=1上任意一点M(x,y)在矩阵A的变换作用下,变换为点,根据矩阵A列出x与,y与的关系式,再由在直线上,求出m与n的值,即可确定出矩阵A.
【详解】设直线l:x+y=1上任意一点M(x,y)在矩阵A的变换作用下,变换为点,
由= =,得,
又点在:x﹣y=1上,∴,即(mx+ny)﹣y=1,
依题意,解得: ,则矩阵A=.
【点睛】本题考查了特殊的矩形变换,找出M在矩阵A的变换作用下点两点的坐标关系是解本题的关键,属于基础题.
22. 设函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性.
(Ⅱ)若有两个极值点,记过点的直线斜率为.问:是否存在,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
解析:(I)的定义域为
令
(1) 当故上单调递增.
(2) 当的两根都小于0