河南省郑州市第十一中北校高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 从5位男教师和4位女教师中选出3位教师,派到3个班担任班主任(每班1位班主任),要求这3位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有( )
A.210种 B.420种 C.630种 D.840种
参考答案:
B
略
2. 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且c=2a,则cosB= ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界),若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值为( )
A. B. C.4 D.
参考答案:
B
【考点】简单线性规划.
【分析】化目标函数为直线方程的斜截式,结合使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,可知直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合,由斜率相等求得a值.
【解答】解:如图,
化目标函数z=ax+y(a>0)为y=﹣ax+z,
要使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,
则直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合,
即﹣a=,∴a=.
故选:B.
4. 经过点M(2,2)且在两轴上截距相等的直线是( )
A.x+y=4 B.x+y=2 C.x=2或y=2 D.x+y=4或x=y
参考答案:
D
【考点】直线的截距式方程.
【分析】直线在坐标轴上的截距为零时,直线过原点,用两点式求得直线方程;,当直线在坐标轴上的截距不为零时,设方程为 x+y=k,把点M(2,2)代入,求得 k=4,可得直线方程,综合可得结论.
【解答】解:当直线在坐标轴上的截距为零时,直线过原点,方程为=,即x=y.
当直线在坐标轴上的截距不为零时,设方程为 x+y=k,
把点M(2,2)代入可得2+2=k,求得 k=4,可得直线方程为x+y=4.
故选:D.
5. 函数的零点所在的大致区间是
A.(1,2) B.(2,3) C.(e,3) D.(e,+∞)
参考答案:
B
6. 一个三棱锥的三视图如图所示,则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】如图所示,三棱锥P﹣ABC,点P在平面ABC的投影D,则四边形ABCD是矩形.
【解答】解:如图所示,三棱锥P﹣ABC,点P在平面ABC的投影D,则四边形ABCD是矩形.
则三棱锥的体积V==.
故选:B.
【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
7. 我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,可求得该女子第4天所织布的尺数为”( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】等比数列的通项公式.
【专题】方程思想;综合法;等差数列与等比数列.
【分析】由题意可得每天的织布数量构成公比为2的等比数列,由等比数列的求和公式可得首项,进而由通项公式可得.
【解答】解:设该女第n天织布为an尺,且数列为公比q=2的等比数列,
则由题意可得=5,解得a1=,
故该女子第4天所织布的尺数为a4=a1q3=,
故选:D.
【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式,属基础题.
8. 在ΔABC中,a=2,b=3,c=4,则ΔABC的面积是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
9. 抛物线的焦点坐标为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 设函数在定义域内可导,的图象如下右图所示,则导函数可能为( )
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形,则圆柱的表面积为 .
参考答案:
6π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
【分析】由圆柱的轴截面是边长为2的正方形可得圆柱底面圆的直径长为2,高为2.
【解答】解:∵圆柱的轴截面是边长为2的正方形,
∴圆柱底面圆的直径长为2,高为2.
则圆柱的表面积S=2?π?2+2?π?12=6π.
故答案为6π.
12. 欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为1.5cm的圆,中间有边长为0.5cm的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为 .
参考答案:
【考点】几何概型.
【分析】分别求出铜钱圆的面积和中间正方形的面积,利用面积比求油滴正好落入孔中的概率.
【解答】解:铜钱圆的面积为π(cm2),
中间正方形的面积为(cm2).
∴油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为=.
故答案为:.
13.
参考答案:
14. 已知复数满足是虚数单位),则_____________.
参考答案:
略
15. 在xOy平面内,曲线y = – x 2 + x + 1上的点到点A和到直线l的距离相等,则点A的坐标是 ,直线l的方程是 。
参考答案:
(,1 ),y =
16. 函数y=的定义域为__________.
参考答案:
略
17. 平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=﹣1的距离相等,若机器人接触不到过点P(﹣1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 .
参考答案:
k<﹣1或k>1
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】由抛物线的定义,求出机器人的轨迹方程,过点P(﹣1,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1),代入y2=4x,利用判别式,即可求出k的取值范围.
【解答】解:由抛物线的定义可知,机器人的轨迹方程为y2=4x,
过点P(﹣1,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1),
代入y2=4x,可得k2x2+(2k2﹣4)x+k2=0,
∵机器人接触不到过点P(﹣1,0)且斜率为k的直线,
∴△=(2k2﹣4)2﹣4k4<0,
∴k<﹣1或k>1.
故答案为:k<﹣1或k>1.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设x=1和x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点
(1) 求a,b的值;
(2) 求f(x)的单调区间。
参考答案:
(B卷)1)
(2)
∴f(x)在(2,+∞)及(0,1)上是减函数,在(1,2)上为增函数
略
19. (本小题满分12分)在棱长为2的正方体中,设是棱的中点.
⑴ 求证:;⑵ 求证:平面;
⑶.求三棱锥的体积.
参考答案:
证明:连接BD,AE. 因四边形ABCD为正方形,故,
因底面ABCD,面ABCD,故,又,
故平面,平面,故. ----------- 4分
⑵. 连接,设,连接,
则为中点,而为的中点,故为三角形的中位线,
,平面,平面,故平面.----------- 8分
⑶. 由⑵知,点A到平面的距离等于C到平面的距离,
故三棱锥的体积,
而,三棱锥的体积为.
……………………………………--- 12分
20. 若经过点P(1﹣a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,求实数a的取值范围.
参考答案:
(﹣2,1)
【考点】直线的倾斜角.
【分析】由直线的倾斜角α为钝角,能得出直线的斜率小于0,解不等式求出实数a的取值范围;
【解答】解:∵过P(1﹣a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α为钝角,
∴直线的斜率小于0,
即<0,即,解得﹣2<a<1,
故a的取值范围为(﹣2,1).
【点评】本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系.
21. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个小球被取出的可能性相等.
(Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率;
(Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.
参考答案:
略
22. (本小题满分10分)如图,在正ΔABC中,点D、E分别在边BC, AC上,且,,AD,BE相交于点P.
求证:(I) 四点P、D、C、E共 圆;
(II) AP ⊥CP。
参考答案:
证明:(I)在中,由知:
≌,………………2分
即.
所以四点共圆;………………5分
(II)如图,连结.
在中,,,
由正弦定理知.………………8分
由四点共圆知,,
所以………………10分
23.解: