山西省吕梁市孟门镇中学高二数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在复平面内,复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
参考答案:
A
试题分析:,在复平面内对应的点为,位于第一象限.故A正确.
考点:复数的运算.
2. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积是( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
B
【分析】
直接利用三视图转换为几何体,可知该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的.进一步求出几何体的外接球半径,最后求出球的体积.
【详解】解:根据几何体的三视图,该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的.
故:该几何体的外接球为正方体的外接球,
所以:球的半径,
则:.
故选:B.
【点睛】本题考查了三视图和几何体之间的转换,几何体的体积公式的应用,主要考查数学运算能力和转换能力.
3. 设椭圆:的左、右焦点分别为、,是上的点,⊥,∠=,则的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 已知实数x,y满足不等式组,则z=3x﹣y的最大值为( )
A.1 B.﹣ C.﹣2 D.不存在
参考答案:
C
【考点】简单线性规划.
【分析】首先画出平面区域,利用目标函数的几何意义求最大值.
【解答】解:不等式组表示的平面区域如图:目标函数z=3x﹣y变形为y=3x﹣z,
此直线在y轴截距最小时,z最大,
由区域可知,直线经过图中A(0,2)时,z取最大值为﹣2;
故选C
5. 在二项式的展开式中,x2项的系数为( )
A.8 B.4 C.6 D.12
参考答案:
A
【考点】二项式系数的性质.
【分析】利用二项展开式的通项公式,即可求得二项式式的展开式中x2的系数.
【解答】解:由Tr+1=C4rx4﹣r?()r=2rC4rx4﹣2r,
令r=1,可得二项式的展开式中的x2系数为:2C41=8.
故选:A.
6. 直线与圆的交点个数为( )
A.1 B.2 C.0或2 D.1或2
参考答案:
B
7. 某班从6名班干部(其中男生4人,女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选.
(1)设所选3人中女生人数为,求的分布列及数学期望;
(2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.
参考答案:
解:(1)解:的所有可能取值为0,1,2. …………1分
依题意得:
ξ
0
1
2
P
………………4分
∴ Eξ=0×+1×+2×=1 ……………………6分
(2)解法1:设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙也被选中”为事件B。
故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为. …………………12分
解法2:设“男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中”为事件,
从4个男生、2个女生中选3人,男生甲被选中的种数为, ………8分
男生甲被选中,女生乙也被选中的种数为, ………………………………10分
∴.
故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为. ………………12分
略
8. 为了了解全校240名高一学生的身高情况,从中抽取40名学生进行测量,下列说法正确的是( )
A、总体是240 B 个体是每一个学生
C、样本是40名学生 D 样本容量是40
参考答案:
D
9. 已知正数、满足,则的最小值是 ( )
A.18 B.16 C.8 D.10
参考答案:
A
10. 如图,输入n=5时,则输出的S=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】EF:程序框图.
【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,可得答案.
【解答】解:∵输入的n的值为5,
第一次执行循环体后,S=,i=1,满足继续循环的条件,i=2;
第二次执行循环体后,S=,i=2,满足继续循环的条件,i=3;
第三次执行循环体后,S=,i=3,满足继续循环的条件,i=4;
第一次执行循环体后,S=,i=4,满足继续循环的条件,i=5;
第一次执行循环体后,S=,i=5,不满足继续循环的条件,
故输出的S值为:,
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列结论中正确的有
(1)当时,的最小值为2 (2)时,无最大值
(3)当时, (4)当时,
参考答案:
(4)
12. 由曲线,直线所围成的封闭图形的面积为________.
参考答案:
【分析】
画出曲线和直线的图像,求得交点的纵坐标,然后根据定积分求得封闭图形的面积.
【详解】解:作出两条曲线对应的封闭区域如图:
由,得,或,
所以根据积分的几何意义可知所求的几何面积:
,
故答案为:.
【点睛】本小题主要考查定积分的计算,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.
13. 已知F1、F2是椭圆C:(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b= .
参考答案:
3
【考点】椭圆的应用;椭圆的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a, =4c2,,由此能得到b的值.
【解答】解:∵F1、F2是椭圆C:(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.
∴|PF1|+|PF2|=2a, =4c2,,
∴(|PF1|+|PF2|)2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2,
∴36=4(a2﹣c2)=4b2,
∴b=3.
故答案为3.
【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识.
14. 已知定义在R上的函数,其图象为连续不断的曲线,且满足, , 若,则
参考答案:
略
15. 已知命题P:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根.命题Q:方程4x2+4(m﹣2)x+1=0无实根.若“P或Q”为真,“P且Q”为假,则实数m的取值范围是 .
参考答案:
(1,2]∪[3,+∞)
【考点】复合命题的真假.
【分析】利用一元二次方程的实数根与判别式的关系、不等式的解法可得命题P与Q的m的取值范围,再由“P或Q”为真,“P且Q”为假,可得P与Q必然一个为真一个为假.即可得出.
【解答】解:命题P:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根.
∴,解得m>2.
命题Q:方程4x2+4(m﹣2)x+1=0无实根.△=16(m﹣2)2﹣16<0,解得:1<m<3.
若“P或Q”为真,“P且Q”为假,
∴P与Q必然一个为真一个为假.
∴或,
解得1<m≤2,或m≥3.
则实数m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).
故答案为:(1,2]∪[3,+∞).
16. 如果复数为纯虚数,则a= .
参考答案:
﹣2
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0且虚部不为0求得a值.
【解答】解:∵为纯虚数,
∴,即a=﹣2.
故答案为:﹣2.
17. 设为实常数,是定义在上的奇函数,当时,, 若对一切成立,则的取值范围为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)已知空间四边形ABCD,BC=BD,AC=AD,E是CD边的中点.在AE上的一个动点P,讨论BP与CD是否存在垂直关系,并证明你的结论.
参考答案:
连接BE,BP与CD满足垂直关系. ……………2分
因为BC=BD,E是CD中点,所以CD⊥BE ……………4分
又因为AC=AD,E是CD中点,所以CD⊥AE ……………6分
所以CD⊥平面ABE ……………8分
又因为BP是平面ABE内的直线,所以CD⊥BP ……………10分
19. 在平面直角坐标系中,有两定点和两动点,且,直线与直线交点轨迹为曲线
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)若直线分别与直线交于,在曲线上是否存在点,使得△的面积是△面积的4倍,若存在,求出点的横坐标,若不存在,说明理由.
参考答案:
(Ⅰ)因为,所以,设直线的方程为,直线的方程为,所以(5分).
(Ⅱ)假设存在则有 ,所以|EC|·|ED|=4|EA|·|EB|,
所以 (8分).
设,则,或.
所以存在这样的点,它的横坐标为或(12分)
20. 已知直线x﹣y+1=0与圆C:x2+y2﹣4x﹣2y+m=0交于A,B两点;
(1)求线段AB的垂直平分线的方程;
(2)若|AB|=2,求m的值;
(3)在(2)的条件下,求过点P(4,4)的圆C的切线方程.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(1)由题意,线段AB的垂直平分线经过圆的圆心(2,1),斜率为﹣1,可得线段AB的垂直平分线的方程.
(2)利用|AB|=2,求出圆心到直线的距离,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,从而可求m的值.
(3)分类讨论,利用圆心到直线的距离等于半径,即可得出结论.
【解答】解:(1)由题意,线段AB的垂直平分线经过圆的圆心(2,1),斜率为﹣1,
∴方程为y﹣1=﹣(x﹣2),即x+y﹣3=0;
(2)圆x2+y2﹣4x﹣2y+m=0可化为(x﹣2)2+(y﹣1)2=﹣m+5,
∵|AB|=2,∴圆心到直线的距离为,
∵圆心到直线的距离为d==,∴,∴m=1
(3)由题意,知点P(4,4)不在圆上.
①当所求切线的斜率存在时,设切线方程为y﹣4=k(x﹣4),即kx﹣y﹣4k+4=0.由圆心到切线的距离等于半径,得=2,
解得k=,所以所求切线的方程为5x﹣12y+28=0
②当所求切线的斜率不存在时,切线方程为x=4
综上,所求切线的方程为x=4或5x﹣12y+28=0.
21. 设m,n∈N,f(x)=(1+x)m+(1+x)n.
(1)当m=n=5时,若,求a0+a2+a4的值;
(2)f(x)展开式中x的系数是9,当m,n变化时,求x2系数的最小值.
参考答案:
【考点】二项式系数的性质.
【分析】(1)当m=n=5时,f(x)=2(1+x)5,令x=0时,x=2时,代入相加即可得出.
(2)由题意可得: =m+n=9.x2系数===+.利用二次函数的单调性即可得出.
【解答】解:(1)当m=n=5时,f(x)=2(1+x)5,令x=0时,f(0)=a5+a4+…+a1+a0=2,
令x=2时,f(0)=﹣a5+a4+…﹣a1+a0=2×35,
相加可得:a0+a2+a4==244.
(2)由题意可得: =m+n=9.
x2系数=====+.
又m,n∈N,∴m=4或5,其最小值为16.
即或时,x2系数的最小值为16.
22. 已知函数f(x)=ax﹣(a+1)ln(x+1)