2022-2023学年四川省巴中市创新中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知数列{an}的前n项和为Sn,,且满足,若,则的值为( )
A. B. -3 C. D. -2
参考答案:
D
【分析】
由递推关系可证得数列为等差数列,利用等差数列通项公式求得公差;利用等差数列通项公式和前项和公式分别求得和,代入求得结果.
【详解】由得:
数列为等差数列,设其公差为
, ,解得:
,
本题正确选项:
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,涉及到利用递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项公式和前项和公式的应用.
2. 与表示同一函数的是( )
A. , B. ,
C. , D.,
参考答案:
D
3. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,,,则b=
A. B. C. 2 D. 3
参考答案:
D
【详解】由余弦定理得,
解得(舍去),故选D.
4. 如图所示,一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为2的正方形,侧视图是一个直径为2的圆,则该几何体的表面积是( )
A.4π B.6π C.8π D.16π
参考答案:
B
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】计算题;方程思想;综合法;立体几何.
【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱体,根据数据求出它的表面积.
【解答】解:根据几何体的三视图,知该几何体是
底面直径为2,高为2的圆柱体;
∴该圆柱体的表面积是
S=2S底+S侧=2π×12+2π×1×2=6π.
故选:B.
【点评】本题考查了三视图的应用问题,解题时应根据三视图,得出几何体的形状与数据特征,从而求出答案,是基础题.
5. 函数f(x)=的最小正周期是 ( )
(A)2 (B) (C) (D) 4
参考答案:
A
6. 已知集合,,若,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 下列式子中成立的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
8. 要得到函数的图象,只需要将的图象 ( ).
(A)向右平移个单位 (B)向右平移个单位
(C)向左平移个单位 (D)向左平移个单位
参考答案:
C
略
9. 函数的单调减区间是( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(2,5) D.(-1,2)
参考答案:
C
由﹣x2+4x+5≥0可解得﹣1≤x≤5,
结合二次函数的性质和复合函数的单调性可得:
函数y= 的单调减区间是(2,5)
故选:C.
10. (5分)已知函数f(x)=log2014(x+1),且a>b>c>0,则,,的大小关系为()
A. B. C. D.
参考答案:
B
考点: 函数单调性的判断与证明.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 先画出函数f(x)的图象,在构造新函数g(x)=,数形结合判断函数g(x)的单调性,最后利用单调性比较大小即可
解答: 解:函数f (x)=log2014(x+1)的图象如图:
令g(x)==,其几何意义为f(x)图象上的点(x,f(x))与原点(0,0)连线的斜率
由图可知函数g(x)为(0,+∞)上的减函数,
因为a>b>c>0,所以<<,
故选:B
点评: 本题考查了对数函数的图象,数形结合判断函数单调性的方法,利用单调性比较大小,转化化归的思想方法
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 观察下列图形中小正方形的个数,则第n个图中有 个小正方形.
(1) (2) (3) (4) (5)
参考答案:
12. 函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[﹣3.5]=﹣4,[2.1]=2.已知定义在R上的函数g(x)=[x]+[2x],若A={y|y=g(x),0≤x≤1},则A中所有元素的和为 .
参考答案:
4
【考点】函数的值域.
【分析】利用分类讨论思想求出A中所有的元素,由此能求出A中所有元素的和.
【解答】解:当x∈[0,),0≤2x<1,f(x)=[x]+[2x]=0;
当x∈[,1),1≤2x<2,f(x)=[x]+[2x]=1;
当x=1,时2x=2,f(x)=[x]+[2x]=3.
∴A={y|y=f(x),0≤x≤1}={0,1,3}.
∴A中所有元素的和为0+1+3=4.
故答案为:4.
13. 满足条件{1,3}∪M={1,3,5}的所有集合M的个数是 .
参考答案:
4
14. 数列{an}满足,且对于任意的都有,则an= , .
参考答案:
∵满足,且对于任意的都有,,
∴,
∴
.
∴
.
15. 已知角的终边过点P(4,-3),那么的值为
参考答案:
16. 已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和,若,是方程的两个根,则__________.
参考答案:
63
试题分析:因为是方程的两个根,且等比数列是递增数列,所以,即,则;故填63.
考点:1.一元二次方程的根与系数的关系;2.等比数列.
17. △ABC中,分别是角的对边,且,若,则=__________.
参考答案:
4025
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
炮兵阵地位于地面处,两观察所分别位于地面点和处,已知 , ,, 目标出现于地面点处时,测得, (如答题卷图所示).求:炮兵阵地到目标的距离.
参考答案:
解:在△ACD中,
根据正弦定理有:
同理:在△BCD中,
,
根据正弦定理有:
在△ABD中,
根据勾股定理有:
所以:炮兵阵地到目标的距离为.
略
19. (12分)已知函数f(x2﹣1)=loga(a>0且a≠1)
(1)求函数f(x)的解析式,并判断f(x)的奇偶性;
(2)解关于x的方程f(x)=loga.
参考答案:
考点: 对数函数的图像与性质;函数解析式的求解及常用方法;函数奇偶性的判断.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: (1)化简f(x2﹣1)=loga=loga,从而得,x∈(﹣1,1),再判断f(﹣x)与f(x)的关系即可;
(2)方程f(x)=loga可化为?x=1;从而解得.
解答: (1)∵f(x2﹣1)=loga=loga,
∴,x∈(﹣1,1),
又∵f(﹣x)++loga=0;
则f(x)是奇函数;
(2)方程f(x)=loga可化为?x=1;
解得,.
点评: 本题考查了函数的性质的判断与应用,同时考查了方程的解法,属于基础题.
19. (本小题满分8分)已知角的终边在上,求
(1)的值;
(2)的值.
参考答案:
19.
略
21. 设.
(1)若在上的最大值是,求的值;
(2)若对于任意,总存在,使得成立,求的取值范围;
参考答案:
(1); (2)
本试题主要是考查了二次函数的最值问题,以及函数与方程思想的综合运用
(1)因为在(0,1)上的最大值,可知函数的解析式中a的值。
时,,所以
时不符题意舍去
时,最小值为,其中,而得到结论。
解:(1)
(2)依题意, 时,,所以,解得,
时不符题意舍去
时,最小值为,其中,而,不符题意舍去,又,也不符题意舍去,
综上
22. ( 10分)廊坊市某所中学有一块矩形空地,学校要在这块空地上修建一个内接四边形的花坛(如图所示),该花坛的四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知 A B=a(a>2),BC=2,且 A E=A H=CF=CG,设 A E=x,花坛面积为y.
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域;
(2)当 A E为何值时,花坛面积y最大?
参考答案:
考点: 函数最值的应用.
专题: 应用题;函数的性质及应用.
分析: (1)先求得四边形ABCD,△AHE的面积,再分割法求得四边形EFGH的面积,即建立y关于x的函数关系式;
(2)由(1)知y是关于x的二次函数,用二次函数求最值的方法求解.
解答: 解:(1)S△AEH=S△CFG=x2,(1分)
S△BEF=S△DGH=(a﹣x)(2﹣x).(2分)
∴y=SABCD﹣2S△AEH﹣2S△BEF=2a﹣x2﹣(a﹣x)(2﹣x)=﹣2x2+(a+2)x.(5分)
由,得0<x≤2(6分)
∴y=﹣2x2+(a+2)x,0<x≤2(7分)
(2)当<2,即a<6时,则x=时,y取最大值.(9分)
当≥2,即a≥6时,y=﹣2x2+(a+2)x,在(0,2]上是增函数,
则x=2时,y取最大值2a﹣4(11分)
综上所述:当a<6时,AE=时,绿地面积取最大值;当a≥6时,AE=2时,绿地面积取最大值2a﹣4(12分).
点评: 本题主要考查实际问题中的建模和解模能力,注意二次函数求最值的方法.