福建省南平市大历中学2022年高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的k的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
A
2. 设l表示直线,,,表示不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A. 若且,则 B. 若且,则
C. 若且,则 D. 若且,则
参考答案:
B
【分析】
A中,与可能相交、平行或;B中,由面面平行的性质可得;C中,与相交或平行;D中,与相交或平行,即可求解.
【详解】由表示直线,,,表示不同的平面,
在A中,若且,则,则与可能相交、平行或;
在B中,若且,则,由面面平行的性质可得;
在C中,若且,则,则与相交或平行;
在D中,若且,则,则与相交或平行,
故选B.
3. A,b为正实数,且的最大值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 在中,若,则的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
参考答案:
D
5. 执行如图的程序框图,当输入的n=351时,输出的k=( )
A.355 B.354 C.353 D.352
参考答案:
B
①,则,,
成立,,;
②成立,,;
③成立,,;
④不成立,所以输出.故选.
6. 设,则对任意实数是的( )
A.充分必要条件 B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件 D.既非充分也非必要条件
参考答案:
A
考点:充分必要条件,函数的奇偶性与单调性.
7. 若,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 若复数z满足(3 – 4i)z=4+3i,则|z|=
A.5 B.4 C.3 D.1
参考答案:
D
依题意得:,所以,,选D.
9. 将函数图象沿x轴向右平移个单位长度,再将所得图象上的每一点的横坐标伸长到原来的2倍、纵坐标保持不变,这样得到的是函数的图象,那么的解析式是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
10. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是减函数,若f(ln)+f(ln)﹣2f(1)<0,则的取值范围是( )
A.(0,) B.(,e) C.(e,+∞) D.(0,)∪(e,+∞)
参考答案:
D
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】由函数为定义在R上的偶函数且在区间[0,+∞)上是单调减函数,则不等式可转化为f(ln)<f(1),求解对数不等式即可解得答案.
【解答】解:∵f(x)定义在R上的偶函数,在区间[0,+∞)上是单调减函数
∴f(x)在(﹣∞,0)上是增函数,
又f(ln)+f(ln)﹣2f(1)<0,
∴f(ln)<f(1),
∴|ln|>1,
∴ln>1或ln<﹣1,
可以解得,的取值范围是(0,)∪(e,+∞).
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是正三角形,若与向量的夹角大于,则实数的取值范围是__________.
参考答案:
略
12. 设常数,则a= ; 。
参考答案:
13. 设,若对任意实数都有||≤,则实数的取值范围是_________.
参考答案:
略
14. 在△ABC中,若,∠C=150°,BC=1,则AB的值为 .
参考答案:
【考点】HP:正弦定理;GG:同角三角函数间的基本关系.
【分析】由tanA的值及A的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,再由sinC及BC的值,利用正弦定理即可求出AB的值.
【解答】解:∵tanA=,
∴cos2A==,又A∈(0,30°),
∴sinA=,又sinC=sin150°=,BC=1,
根据正弦定理得: =,
则AB===.
故答案为:
15. 设正实数x,y,z满足,则y的最大值为_________.
参考答案:
2
16. 某程序框图如图所示,判断框内为“?”,为正整数,若输出的,则判断框内的________.
参考答案:
4
17. 等比数列{an}的首项a1=1,前n项的和为Sn,若S6=9S3,则a6= .
参考答案:
32
【考点】等比数列的性质.
【专题】计算题;方程思想;综合法;等差数列与等比数列.
【分析】由已知条件利用等比数列的前n项和公式求出公比q,由此能求出a6的值.
【解答】解:∵{an}是首项为1的等比数列,Sn为{an}的前n项和,S6=9S3,
∴=9×,
解得q=2,
∴a6=25=32.
故答案为:32.
【点评】本题考查等比数列的第6项的求法,是基础题,确定q是关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 本小题满分12分)各项均为正数的等比数列中,.
(Ⅰ)求数列通项公式;
(Ⅱ)若等差数列满足,求数列的前项和.
参考答案:
由条件知……………………2分
………… 4分
(2)设数列公差为,则,…………6分
……………………8分
……………………10分
……………………12分
略
19. 已知函数
(1)若函数在区间上存在极值,其中,求实数的取值范围;
(2)如果当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:
参考答案:
(1)因为,则 …… 2分
当时,;当时,
所以在上单调递增;在单调递减,所以在处取得极大值。
因为在区间(其中)上存在极值。
所以:,解得: ……4分
(2)不等式即为 记
所以 ………… 6分
令,则, ,在上单调递增,
,从而, 故在上也单调递增,
所以,所以 . ………… 8分
(3)由(2)知:恒成立,即,
令,则, ………… 10分
所以 ,
,
,
… …
,
叠加得:
=n-2(1-)>n-2+>n-2 . ………… 12分
略
20. 对于双曲线,定义为其伴随曲线,记双曲线的左、右顶点为、.
(1)当时,记双曲线的半焦距为,其伴随椭圆的半焦距为,若,求双曲线的渐近线方程;
(2)若双曲线的方程为,过点且与的伴随曲线相切的直线交曲线于、两点,求的面积(为坐标原点)
(3)若双曲线的方程为,弦轴,记直线与直线的交点为,求动点的轨迹方程.
参考答案:
解:(1)∵, ………………………1分
由,得,即
可得 ………………………3分
∴的渐近线方程为 ………………………4分
(2)双曲线的伴随曲线的方程为,设直线的方程为,由与圆相切知 即
解得 ……………………………6分
当时,设、的坐标分别为、
由 得,即,
∵,= ∴
∴ ………………………8分
∴
由对称性知,当时,也有 …………………………10分
(3)设,,又、,
∴直线的方程为…………①
直线的方程为…………② …………………………12分
由①②得 ……………………………………14分
∵ 在双曲线上
∴ ∴ ……………………………………16分
略
21. 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客的需求,为此,某市公交公司在某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间作为样本分成5组,如下表所示:
组别
一
二
三
四
五
候车时间(分钟)
[0,5)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25]
人数
2
6
4
2
1
(1)估计这15名乘客的平均候车时间;
(2)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;
(3)若从上表第三,四组的6人中选2人作进一步的问卷调查,求抽到的2人恰好来自不同组的概率。
参考答案:
(1)平均候车时间为 …………3分
(2)候车时间少于10分钟的人数所占的比例为
故这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数为 60× …………6分
(3)设表中第三组的4个人分别为a1、a2、a3、a4、第四组的2个人分别为b1、b2,
从这6人中选2人作进一步的问卷调查,
①用列举法列出上述所有可能情况:(a1,a2 )、( a1,a3 )、( a1,a4 )、
(a1,b1)、( a1,b2)、(a2,a3)、(a2,a4)、(a2,b1)、(a2,b2)、
(a3,a4)、(a3,b1)、(a3,b2)、(a4,b1)、(a4,b2)、(b1,b2),共计15种
…………8分.
②抽到的两人恰好来自不同组的情况有 (a1,b1)、( a1,b2)、(a2,b1)、(a2,b2)、
(a3,b1)、(a3,b2)、(a4,b1)、(a4,b2),共计8种, …………10分
故抽到的两人恰好来自不同组的概率为 …………12分
22. 设函数f(x)=1+(1+a)x﹣x2﹣x3,其中a>0.
(Ⅰ)讨论f(x)在其定义域上的单调性;
(Ⅱ)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.
参考答案:
考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
专题:导数的综合应用.
分析:(Ⅰ)利用导数判断函数的单调性即可;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,讨论两根与1的大小关系,判断函数在[0,1]时的单调性,得出取最值时的x的取值.
解答: 解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣∞,+∞),f′(x)=1+a﹣2x﹣3x2,
由f′(x