湖南省常德市董家当中学高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的定义域为( )
A.{x|x≥﹣2且x≠1} B.{x|x≥﹣2} C.{x|x≥﹣2或x≠1} D.{x|x≠1}
参考答案:
A
【考点】函数的定义域及其求法.
【专题】计算题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】由根式内部的代数式大于等于0,分式的分母不为0,联立不等式组得答案.
【解答】解:由,得x≥﹣2且x≠1.
∴函数的定义域为{x|x≥﹣2且x≠1}.
故选:A.
【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础的计算题.
2. 如图,在山脚A测得山顶P的仰角为,沿倾斜角为的斜坡向上走米到B,在B处测得山顶P的仰角为,求山高h=( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
3. 若+9=10·,那么x2+1的值为( )
A.1 B.2 C.5 D.1或5
参考答案:
D
4. 已知是第二象限角,且,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. 设函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论中一定正确的是( )
A.函数f(x)+x2是奇函数 B.函数f(x)+|x|是偶函数
C.函数x2f(x)是奇函数 D.函数|x|f(x)是偶函数
参考答案:
C
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可.
【解答】解:∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x),
A.f(﹣x)+(﹣x)2=﹣f(x)+x2,则函数不是奇函数.故A错误,
B.f(﹣x)+|﹣x|=﹣f(x)+|x|,则函数不是奇函数.故B错误,
C.(﹣x)2f(﹣x)=﹣x2f(x)为奇函数,满足条件.故C正确,
D.|﹣x|f(﹣x)=﹣|x|f(x)为奇函数,故D错误,
故选:C
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据奇偶性的定义是解决本题的关键.
6. 函数的图象是( )
A B C D
参考答案:
C
7. 若函数为R上的增函数,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
∵函数 在上为增函数,
∴,解得。
∴实数的取值范围是。选A。
8. 直线x=3的倾斜角是( )
A.90° B.60° C.30° D.不存在
参考答案:
A
【考点】直线的倾斜角.
【分析】直接通过直线方程,求出直线的倾斜角即可.
【解答】解:∵直线方程为x=3,直线与x轴垂直,
∴直线的倾斜角为90°.
故选:A.
9. 已知甲乙两车间的月产值在2011年元月份相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值,乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2011年8月份发现两车间的月产值又相同,比较甲乙两个车间2011年4月月产值的大小,则有
A.甲大于乙 B.甲等于乙 C.甲小于乙 D.不确定
参考答案:
A
10. 等差数列中,,则前10项的和等于 ( )
A、720 B、257 C、255 D、不确定
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等差数列的公差为2,前5项和为25,则数列的首项为_______。
参考答案:
a1=1
12. 在平面直角坐标系中,若三条直线,和相交于一点,则实数的值为__________。
参考答案:
1
13. 当{a,0,—1}={4,b,0}时,a= ,b= .
参考答案:
4,-1
14. 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于_________.
参考答案:
15. 函数y=的增区间是________
参考答案:
(-]
略
16. 关于x的方程2015x=有实数根,则实数a的取值范围为______.
参考答案:
(-,5)
【分析】
先求的值域,再解不等式得结果.
【详解】解:设,则y的值域为(0,+∞),
即
【点睛】本题考查了指数函数的值域,分式不等式的解法,属于基础题.
17. 函数f(x)=的单调递减区间为 .
参考答案:
(﹣∞,0),(0,+∞)
【考点】函数单调性的判断与证明.
【分析】先求导,再令f′(x)<0,解得即可.
【解答】解:∵f(x)=1+,
∴f′(x)=﹣<0
∵x≠0
∴函数f(x)的单调递减区间为(﹣∞,0),(0,+∞),
故答案为:(﹣∞,0),(0,+∞).
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0).
(1)求y=f(x)的定义域;
(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于x轴;
(3)当a,b满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.
参考答案:
解:(1)由ax-bx>0得x>1,
∵a>1>b>0,∴>1,∴x>0.
∴f(x)的定义域是(0,+∞). …….4分
(2)任取x1、x2∈(0,+∞)且x1>x2,
∵a>1>b>0,∴ax1>ax2>1,bx1ax2-bx2>0
∴lg(ax1-bx1)>lg(ax2-bx2)
故f(x1)>f(x2)
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
假设y=f(x)的图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),使过A、B两点的直线平行于x轴,则x1≠x2,y1=y2,这与f(x)是增函数矛盾.故函数y=f(x)的图象上不存在不同两点,使过这两点的直线平行于x轴. …….8分
(3)∵f(x)是增函数,∴当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1).
这样只需f(1)≥0,即lg(a-b)≥0,
∴a-b≥1.
即当a≥b+1时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值. --------12分
19. 已知
(1)化简; (2)若,求的值.
参考答案:
(1)
;
(2),
略
20. (16分)我校为进行“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的矩形AMPN健身场地.如图,点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上.已知∠ACB=60°,|AC|=30米,|AM|=x米,x∈[10,20].设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元,再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为元(k为正常数).
(1)试用x表示S,并求S的取值范围;
(2)求总造价T关于面积S的函数T=f(S);
(3)如何选取|AM|,使总造价T最低(不要求求出最低造价).
参考答案:
【考点】函数的最值及其几何意义;函数解析式的求解及常用方法;函数的值.
【专题】函数思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】(1)由解直角三角形,可得矩形AMPN的面积,x∈[10,20],运用二次函数的最值求法,可得值域;
(2)由三角形的面积和题意可得总造价T=T1+T2,即可得到所求;
(3)运用基本不等式,计算即可得到所求x=12或18.
【解答】解:(1)在Rt△PMC中,显然|MC|=30﹣x,∠PCM=60°,
∴,
矩形AMPN的面积,x∈[10,20],
由x(30﹣x)≤()2=225,当x=15时,可得最大值为225,
当x=10或20时,取得最小值200,
于是为所求.
(2)矩形AMPN健身场地造价T1=,
又△ABC的面积为,即草坪造价T2=,
由总造价T=T1+T2,
∴,.
(3)∵,
当且仅当即时等号成立,
此时,解得x=12或x=18,
答:选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低.
【点评】本题考查函数模型的运用,考查函数的值域和最值的求法,注意运用函数的单调性和基本不等式,考查运算能力,属于中档题.
21. 已知函数的定义域为M.
(1)求M; (2)当时,求的值域.
参考答案:
(1)由已知可得---------------------------2分
所以---------------------------------------------------------4分
所以
所以-----------------------------------------------------------5分
(2)
----------------------------------------------------7分
------------------------------------9分
当,即时,
当,即时,
所以的值域为--------------------------------------12分
22. 已知,求下列各式的值
(1)
(2)
参考答案:
解:(1)两边平方得
(2)原式=
略