湖南省株洲市下东中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设x,y∈R,且x+y=4,则5x+5y的最小值是( )
A.9 B.25 C.50 D.162
参考答案:
C
2. 设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】取PF2的中点A,利用,可得⊥,从而可得PF1⊥PF2,利用双曲线的定义及勾股定理,可得结论.
【解答】解:取PF2的中点A,则
∵,
∴⊥
∵O是F1F2的中点
∴OA∥PF1,
∴PF1⊥PF2,
∵|PF1|=3|PF2|,
∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|,
∵|PF1|2+|PF2|2=4c2,
∴10a2=4c2,
∴e=
故选C.
3. 下列函数中,其图象既是轴对称图形又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=B.y=﹣x2+1C..y=2xD.y=lg|x+1|
参考答案:
D
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断;函数的图象.
【分析】根据题意,结合常见的基本初等函数的图象与性质,对选项中的函数进行判断即可.
【解答】解:对于A,函数y=的图象是中心对称图形,不是轴对称图形,∴不满足题意;
对于B,函数y=﹣x2+1的图象是轴对称图形,在区间(0,+∞)上是单调减函数,∴不满足题意;
对于C,函数y=2x的图象不是轴对称图形,∴不满足题意;
对于D,函数y=lg|x+1|的图象是关于直线x=﹣1对称的图形,且在区间(0,+∞)上是单调增函数,满足题意.
故选:D.
4. 函数的大致图像是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
由题得,令得,所以函数 的增区间是. 所以排除A,D. 当,故选C.
5. 有如下四个命题:
①命题“若,则“的逆否命题为“若”
②若x=y=0,则x2+y2=0的逆命题是真命题
③若为假命题,则,均为假命题
④命题“若,则”的否命题为“若,则”
其中错误命题的个数是( )
A.0个 B. 1个 C.2个 D.3个
参考答案:
C
略
6. 过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦,是另一焦点,若∠,则双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 已知,b=20.3,c=0.32,则a,b,c三者的大小关系是( )
A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a
参考答案:
A
故选:A.
8. 已知为等差数列,为等比数列,其公比,且,若,则有
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. “1<x<2”是“x<2”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
A
试题分析:因为“若,则”是真命题,“若,则”是假命题,所以“”是“”成立的充分不必要条件.选A.
考点:充分必要条件的判断.
【易错点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件,充要条件的判断,属于基础题. 对于命题“若,则
”是真命题,我们说,并且说是的充分条件,是的必要条件,命题“若,则”是假命题,我们说,由充分条件,必要条件的定义,可以判断出“”是“”成立的充分不必要条件.掌握充分条件,必要条件的定义是解题关键.
10. 在△ABC中,a=1,b=,A=30°,则角C=( )
A.60° B.30°或90° C.30° D.60°或120°
参考答案:
B
【考点】正弦定理.
【分析】由已知利用正弦定理可得sinB=,结合B的范围可求B的值,进而利用三角形内角和定理可求C的值.
【解答】解:∵a=1,b=,A=30°,
∴由正弦定理可得:sinB===,
∵b>a,可得:B∈(30°,180°),
∴可得:B=60°,或120°,
∴C=180°﹣A﹣B=90°或30°.
故选:B.
【点评】本题主要考查了正弦定理,三角形内角和定理在解三角形中的应用,考查了转化思想和分类讨论思想,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知x、y的取值如下表所示
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图分析,y与x线性相关,且,则
参考答案:
12. 命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的否命题是 .
参考答案:
若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数
【考点】四种命题.
【专题】阅读型.
【分析】欲写出它的否命题,须同时对条件和结论同时进行否定即可.
【解答】解:条件和结论同时进行否定,则否命题为:若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.
故答案为:若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.
【点评】命题的否定就是对这个命题的结论进行否认(命题的否定与原命题真假性相反);命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认(否命题与原命题的真假性没有必然联系).
13.
已知函数f(x)满足,当时,,则函数f(x)在[-2,0]上的解析式为___________.
参考答案:
14. 定积分= 。
参考答案:
-2
略
15. 命题“”的否定是 .
参考答案:
略
16. 设F1,F2分别是椭圆+=1的左,右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为 .
参考答案:
15
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由椭圆的定义可得,|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2a+|MF2|,由此可得结论.
【解答】解:由题意F2(3,0),|MF2|=5,
由椭圆的定义可得,|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|=10+|PM|﹣|PF2|≤10+|MF2|=15,
当且仅当P,F2,M三点共线时取等号,
故答案为:15.
17. 如图,二面角的大小是60°,线段.,与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(Ⅱ)当时,f(x)≤g(x)成立,求a的取值范围.
参考答案:
(1)解集为(0,2)
(2)当时,f(x)≤g(x)为
,,
(法二:数形结合法)
19. (本小题满分13 分)从甲地到乙地一天共有A、B 两班车,由于雨雪天气的影响,一段时间内A 班车正点到达乙地的概率为0.7,B 班车正点到达乙地的概率为0.75。
(1)有三位游客分别乘坐三天的A 班车,从甲地到乙地,求其中恰有两名游客正点到达的概率(答案用小数表示)。
(2)有两位游客分别乘坐A、B 班车,从甲地到乙地,求其中至少有1 人正点到达的概率(答案用小数表示)。
参考答案:
解:(1)坐A 班车的三人中恰有2 人正点到达的概率为Ks5u
P3(2)= C0.72×0.31 = 0.441 ……………………(6 分)
(2)记“A 班车正点到达”为事件M,“B 班车正点到达为事件N
则两人中至少有一人正点到达的概率为
P = P(M·N)+ P(M·)+ P(·N)
= 0.7 ×0.75 + 0.7 ×0.25 + 0.3 ×0.75 = 0.525 + 0.175 + 0.225 = 0.925 (13 分)
20. 已知和是椭圆的两个焦点,且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线(m>0)与椭圆C有且仅有一个公共点,且与x轴和y轴分别交于点M,N,当△OMN面积取最小值时,求此时直线l的方程.
参考答案:
(1)∵和是椭圆的两个焦点,且点在椭圆C上,
∴依题意,,又,故.---------------------2分
由得b2=3.-----------------------------------------------------------3分
故所求椭圆C的方程为.-----------------------------------------------4分
(2)由,消y得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,
由直线l与椭圆C仅有一个公共点知,
△=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,整理得m2=4k2+3.-----------------------------6分
由条件可得k≠0,,N(0,m).
所以.①------------------------------8分
将m2=4k2+3代入①,得.
因为|k|>0,所以,-------------------------------10分
当且仅当,则,即时等号成立,S△OMN有最小值.-----11分
因为m2=4k2+3,所以m2=6,又m>0,解得.
故所求直线方程为或.----------------------------12分
21. 已知等差数列{an}的公差d>0,前n项和为Sn ,且满足a2a3=45,
a1+a4=14.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;
(2)设(c为非零常数),若数列{bn}也是等差数列,请确定常数c的值,并求数列的前n项和Tn .
参考答案:
略
22. (本小题满分13分)
已知公差不为0的等差数列的首项,且成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前项和为,求数列的前n项和.
参考答案:
(Ⅰ)解:设等差数列的公差为,
由题意,得,即, …………………… 2分
所以,解得 ,或(舍),………… 4分
所以 . ……… 6分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ),得, …… 8分
所以.
则
……………… 9分
…………………… 11分
,
所以数列的前n项和. …………………… 13分