黑龙江省哈尔滨市第七中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 抛物线的焦点坐标为 .
参考答案:
(2,0)
略
2. 在独立性检验中,统计量有两个临界值:3.841和6.635;当>3.841时,有95%的把握说明两个事件有关,当>6.635时,有99%的把握说明两个事件有关,当3.841时,认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了2000人,经计算的=20.87,根据这一数据分析,认为打鼾与患心脏病之间( )
A.有95%的把握认为两者有关 B.约有95%的打鼾者患心脏病
C.有99%的把握认为两者有关 D.约有99%的打鼾者患心脏病
参考答案:
C
略
3. 一个长方体被一平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. 24 B. 48 C. 72 D. 96
参考答案:
B
如图长方体中,分别是中点,该几何体是此长方体被 面所截左边的部分,其体积为长方体体积的一半,即,故选B.
4. 已知函数,则( )
A. 15 B. 30 C. 32 D. 77
参考答案:
B
【分析】
先求得导函数,由此求得.
【详解】依题意,所以.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了导数的计算,属于基础题.
5. 已知四棱锥S﹣ABCD的所有顶点都在同一个球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内.当此四棱锥体积取得最大值时,其表面积等于,则球O的体积等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】球的体积和表面积;球内接多面体.
【分析】当此四棱锥体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥,根据该四棱锥的表面积等于,确定该四棱锥的底面边长和高,进而可求球的半径为R,从而可求球的体积.
【解答】解:由题意,当此四棱锥体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥,
∵该四棱锥的表面积等于,
设球O的半径为R,则AC=2R,SO=R,如图,
∴该四棱锥的底面边长为 AB=,
则有+4××=,
∴R=
∴球O的体积是=.
故选B.
【点评】本题考查球内接多面体,球的体积,解题的关键是确定球的半径,再利用公式求解.
6. 已知a>0,﹣1<b<0,那么下列不等式成立的是( )
A.a<ab<ab2 B.ab<a<ab2 C.ab<ab2<a D.ab2<a<ab
参考答案:
C
【考点】R3:不等式的基本性质.
【分析】根据a,b的范围以及不等式的性质,判断即可.
【解答】解:由a>0,b<0知,ab<0,ab2>0,
又由﹣1<b<0知0<b2<1,
所以ab2<a,
故选:C.
7. 已知,设函数若关于x的不等式在R上恒成立,则a的取值范围为( )
A. [0,1] B. [0,2] C. [0,e] D. [1,e]
参考答案:
C
【分析】
先判断时,在上恒成立;若在上恒成立,转化为在上恒成立。
【详解】∵,即,
(1)当时,,
当时,,
故当时,在上恒成立;
若在上恒成立,即在上恒成立,
令,则,
当函数单增,当函数单减,
故,所以。当时,在上恒成立;
综上可知,的取值范围是,
故选C。
【点睛】本题考查分段函数的最值问题,关键利用求导的方法研究函数的单调性,进行综合分析。
8. .已知且,则2a+3b的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
略
9. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为()
A.2+2 B.-1 C.2-2 D.+1
参考答案:
D
10. 给出平面区域如图所示,其中A(1,1),B(2,5),C(4,3),若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是
A B 1 C 4 D
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知的三边成等差数列,且,则的最大值是 ▲ .
参考答案:
.
12. 曲线在点处的切线的斜率是__ ___
参考答案:
2
13. 把数列依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号四个数,第五个括号一个数……循环下去,如:(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),……,则第104个括号内各数字之和为
参考答案:
1125072
略
14. 若在行列式中,元素的代数余子式的值是 .
参考答案:
略
15. 事件在一次试验中发生的次数的方差的最大值为 。
参考答案:
16. 已知函数的图象恒过定点A,则A的坐标为___.
参考答案:
(2,3)
【分析】
令x-2=0,所以x=2,把x=2代入函数的解析式得定点的纵坐标,即得解.
【详解】令x-2=0,所以x=2,
把x=2代入函数的解析式得.
所以函数的图像过定点A(2,3).
故答案为:(2,3)
【点睛】本题主要考查指数型函数图像的定点问题,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.
17. 曲线在处的切线方程为 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的单调增区间;
(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围.
参考答案:
解:(1)∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a.
令f′(x)>0,得ex>a,
当a≤0时,有f′(x)>0在R上恒成立;
当a>0时,有x≥ln a.
综上,当a≤0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,f(x)的单调增区间为[ln a,+∞).…6分
(2)由(1)知f′(x)=ex-a.
∵f(x)在R上单调递增,∴f′(x)=ex-a≥0恒成立,
即a≤ex,x∈R恒成立.
∵x∈R时,ex∈(0,+∞),∴a≤0.
即a的取值范围为(-∞,0].…………………12分
略
19. (本小题满分16分)
设圆,动圆.
(1)求证:圆、圆相交于两个定点;
(2)设点P是圆上的点,过点P作圆的一条切线,切点为,过点P作圆的一条切线,切点为,问:是否存在点P,使无穷多个圆,满足?如果存在,求出所有这样的点P;如果不存在,说明理由.
参考答案:
解(1)将方程化为,
令得或,所以圆过定点和,……………4分
将代入,左边=右边,故点在圆上,同理可得点也在圆上,所以圆、圆相交于两个定点和;……………6分
(2)设,则,…………………………8分, …………………………………10分
即,整理得(*)………………………………………………12分
存在无穷多个圆,满足的条件为(1)有解,
…………………14分
而(1)无解,故不存在点P,使无穷多个圆,满足.………………16分
20. (本小题满分12分)已知椭圆:经过点,其离心率.
(I)求椭圆的方程;
(II)过坐标原点作不与坐标轴重合的直线交椭圆于两点,过作轴的垂线,垂足为,连接并延长交椭圆于点,试判断随着的转动,直线与的斜率的乘积是否为定值?说明理由.
参考答案:
(I)∵,∴,,
∵点在椭圆上,∴,
21. 已知圆,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B两点.
(1)当Q的坐标为(1,0)时,求切线QA,QB的方程.
(2)求四边形面积的最小值.
(3)若,求直线MQ的方程.
参考答案:
见解析.
()当过的直线无斜率时,直线方程为,显然与圆相切,符合题意;
当过的直线有斜率时,设切线方程为,即,
∴圆心到切线的距离,
解得,
综上,切线,的方程分别为,.
(),
,
.
∴当轴时,取得最小值,
∴四边形面积的最小值为.
()圆心到弦的距离为,
设,则,
又,
∴,
解得.
∴或,
∴直线的方程为或.
22. 已知函数,,且点处取得极值.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若关于的方程在区间上有解,求的取值范围;
(Ⅲ)证明:.
参考答案:
解:(Ⅰ)∵, ∴
∵函数在点处取得极值,
∴,即当时,
∴,则得.经检验符合题意 ……4分
(Ⅱ)∵,∴,
∴.
令, ……6分
则.
∴当时,随的变化情况表:
1
(1,2)
2
(2,3)
3
+
0
-
↗
极大值
↘
计算得:,,,
所以的取值范围为。 …… 9分
(Ⅲ)证明:令,
则, ……10分
令,则 ,
函数在递增,在上的零点最多一个 ……11分
又,,
存在唯一的使得, ……12分
且当时,;当时,.
即当时,;当时,.
在递减,在递增,
从而. ……13分
由得即,两边取对数得:,,
,
从而证得. ……14分
略