2022-2023学年河北省秦皇岛市土门子中学高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是 ( )
A.32 B.16+ C.48 D.
参考答案:
B
2. 已知f(x),g(x)对应值如表.则f(g(1))的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.不存在
参考答案:
C
略
3. 已知球面的三个大圆所在平面两两垂直,则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比是
A. B.1:2 C.1 D.4:3
参考答案:
C
4. 下列函数中,在区间上为减函数的是
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 函数,则f(log23)=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】分段函数的应用;函数的值.
【分析】由已知中函数,将x=log23代入可得答案.
【解答】解:∵函数,
将x=log23∈(1,2)
则f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3)==,
故选:A.
6. 图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只要将y=sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
B.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
D.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
参考答案:
A
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】先根据函数的周期和振幅确定w和A的值,再代入特殊点可确定φ的一个值,进而得到函数的解析式,再进行平移变换即可.
【解答】解:由图象可知函数的周期为π,振幅为1,
所以函数的表达式可以是y=sin(2x+φ).
代入(﹣,0)可得φ的一个值为,
故图象中函数的一个表达式是y=sin(2x+),
即y=sin2(x+),
所以只需将y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变.
故选A.
7. 函数在上有定义,若对任意,有
则称在上具有性质.设在[1,3]上具有性质,现给出如下题:①在上的图像时连续不断的; ②在上具有性质;
③若在处取得最大值,则;④对任意,有
其中真命题的序号( )
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
参考答案:
D
8. 要得到y=sin(2x﹣)的图象,需要将函数y=sin2x的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
参考答案:
D
【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到的路线,进行平移变换,推出结果.
【解答】解:将函数y=sin2x向右平移个单位,即可得到的图象,就是的图象;
故选D.
【点评】本题主要考查三角函数的平移.三角函数的平移原则为左加右减上加下减.注意x的系数.
9. 已知△ABC中,三内角A、B、C的度数成依次等差数列,边a、b、c依次成等比数列.则△ABC是( )
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
参考答案:
B
∵△ABC中,三内角的度数成等差数列,
∴,
又,
∴°.
又边依次成等比数列,
∴,
在△ABC中,由余弦定理得:,
∴,
∴,
∴,
∴,
又,
∴为等边三角形。
故选B.
10. 已知( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的定义域是 .
参考答案:
12. 如图是某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图像。假设其函数关系为指数函数,并给出下列说法:
①此指数函数的底数为2;
②在第5个月时,野生水葫芦的面积会超过30;
③野生水葫芦从4蔓延到12只需1.5个月;
④设野生水葫芦蔓延至2、3、6所需的
时间分别为、、,则有;
其中正确结论的序号是 。(把所有正确的结论都填上)
参考答案:
①②④。
13. 已知函数,则方程的解集为 。
参考答案:
14. 已知圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,则球的半径是______cm.
参考答案:
4
【分析】
先设球的半径为,根据三个球的体积加上水的体积等于圆柱形容器的体积,列出等式,即可求出结果.
【详解】设球的半径为,则底面圆的半径为,
从而有,
由此解得.
故答案为:4
【点睛】本题主要考查几何体的体积的相关计算,熟记体积公式即可,属于常考题型.
15. 空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行,∠A=,则∠B= ▲ .
参考答案:
16. 已知幂函数的图像经过点(2,)则f(3)= .
参考答案:
17. 若,则,就称A是伙伴关系集合,集合的所有非空子集中,是伙伴关系集合的个数为______________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知,若,求实数m的取值范围.
参考答案:
当时, 解得
当时,由得解得
综上可知:
19. (12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4(尾/立方米)时,v的值为2(千克/年);当4≤x≤20时,v是x的一次函数;当x达到20(尾/立方米)时,因缺氧等原因,v的值为0(千克/年).
(1)当0<x≤20时,求函数v(x)的表达式;
(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)f(x)=x?v(x)可以达到最大,并求出最大值.
参考答案:
考点: 函数模型的选择与应用.
专题: 应用题;综合题.
分析: (1)由题意:当0<x≤4时,v(x)=2.当4<x≤20时,设v(x)=ax+b,v(x)=ax+b在[4,20]是减函数,由已知得,能求出函数v(x).
(2)依题意并由(1),得f(x)=,当0≤x≤4时,f(x)为增函数,由此能求出fmax(x)=f(4),由此能求出结果.
解答: (1)由题意:当0<x≤4时,v(x)=2.…(2分)
当4<x≤20时,设v(x)=ax+b,显然v(x)=ax+b在[4,20]是减函数,
由已知得,
解得…(4分)
故函数v(x)=…(6分)
(2)依题意并由(1),
得f(x)=,…(8分)
当0≤x≤4时,f(x)为增函数,
故fmax(x)=f(4)=4×2=8.…(10分)
当4≤x≤20时,f(x)=﹣=﹣=﹣+,
fmax(x)=f(10)=12.5.…(12分)
所以,当0<x≤20时,f(x)的最大值为12.5.
当养殖密度为10尾/立方米时,
鱼的年生长量可以达到最大,最大值约为12.5千克/立方米.…(14分)
点评: 本题考查函数表达式的求法,考查函数最大值的求法及其应用,解题时要认真审题,注意函数有生产生活中的实际应用.
20. (12分)已知函数.
(1)判断该函数在区间(2,+∞)上的单调性,并给出证明;
(2)求该函数在区间[3,6]上的最大值和最小值.
参考答案:
考点: 函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明.
专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)利用函数单调性的定义证明函数的单调性.(2)利用函数的单调性求函数的最值.
解答: (1)任设两个变量2<x1<x2,则,
因为2<x1<x2,所以x2﹣x1>0,(x1﹣2)(x2﹣2)>0,所以f(x1)﹣f(x2)>0,f(x1)>f(x2).
所以函数在区间(2,+∞)上的单调递减,是减函数.
(2)因为函数在区间[3,6]上的单调递减,所以函数的最大值为f(3)=3.
最小值为f(6)=.
点评: 本题主要考查函数单调性的判断以及利用单调性求函数的最值问题.
21. 已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项;
(Ⅱ)求证:<1.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(Ⅰ)由题设知公差d≠0,由a1=1,a1,a3,a9成等比数列,可得=a1?a9,即(1+2d)2=1×(1+8d),解出即可得出.
(II)==.利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明.
【解答】(Ⅰ)解:由题设知公差d≠0,由a1=1,a1,a3,a9成等比数列,∴=a1?a9,∴(1+2d)2=1×(1+8d),化为:4d2=4d,
解得d=1,d=0(舍去),故{an}的通项an=1+(n﹣1)×1=n.
(II)证明: ==.
∴.
22. 南海中学校园内建有一块矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=米,为了便于师生平时休闲散步,总务科将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF,考虑到校园整体规划,要求O是AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且∠EOF=90°,如下图所示.
(1)设∠BOE=,试将的面积表示成的函数关系式,并求出此函数的定义域;
(2)在区域计划种植海南省花三角梅,请你帮总务科计算面积的
取值范围.
参考答案:
解:(1)∵在Rt△BOE中,OB=25, ∠B=90°,∠BOE=,∴OE=
在Rt△AOF中,OA=25, ∠A=90°,∠AFO=,∴OF=.
又∠EOF=90°,∴
当点F在点D时,这时角最小,求得此时=;
当点E在C点时,这时角最大,求得此时=.
故此函数的定义域为.
(2)由(1)得的面积,
因为,从而,
所以.
略