浙江省丽水市黎明中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 是虚数单位,复数的共轭复数为
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π)的图象向左平移个单位后关于原点对称,则函数f(x)在[0,]上的最小值为( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
参考答案:
A
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】由函数图象的平移得到,再由函数为奇函数及φ的范围得到,求出φ的值,则函数解析式可求,再由x的范围求得函数f(x)在[0,]上的最小值.
【解答】解:函数f(x)=sin(2x+φ)图象向左平移个单位得,
由于函数图象关于原点对称,∴函数为奇函数,
又|φ|<π,∴,得,
∴,
由于,∴0≤2x≤π,
∴,
当,即x=0时,.
故选:A.
3. 已知,其中为虚数单位,则
A.-1 B.1 C.2 D.3
参考答案:
4. 如图,在△ABC中,AB=1, AC=3,D是BC的中点,则=
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 不能确定
参考答案:
B
略
5. 已知直线⊥平面,直线m平面,有下面四个命题:①∥⊥m;②⊥∥m;③∥m⊥; ④⊥m∥.
其中正确命题的个数是
A.4 B.3 C. 2 D. 1
参考答案:
C
略
6. 已知函数的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线是其图象的一条对称轴,则符合条件的函数解析式可以是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
B
7. 复数z满足,则复数z等于()
A. 1-i B. 1+i C. 2 D. -2
参考答案:
B
【分析】
通过复数的模以及复数的代数形式混合运算,化简求解即可.
【详解】复数满足,
∴,
故选B.
8. 若,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
9. 若是纯虚数,则实数= ( )
A.1 B.-1 C. D.-
参考答案:
A
略
10. 若函数的图象在处的切线与圆相切,则的最大值是( )
(A)4 (B) (C)2 (D)
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知菱形边长为2,,将沿对角线翻折形成四面体,当四面体的体积最大时,它的外接球的表面积为 .
参考答案:
12. 已知,照此规律,第五个等式为 。
参考答案:
略
13. 如图,是圆外的一点,为切线,为切点,割线经过圆心,,则 .
参考答案:
14. 动点P与给定的边长为1的正方形在同一平面内,设此正方形的顶点为A,B,C,D(逆时针方向),且P点到A,B,C的距离分别为a,b,c。若a2+b2=c2,则点P的轨迹是___________;P点到D点的最大距离为___________。
参考答案:
圆x2+(y+1)2=2;2+
15. △ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,则tanAtan2B的取值范围是 .
参考答案:
【考点】余弦定理.
【分析】由且,可得cosC==,C∈(0,π),解得C=.可得tanAtan2B=tan?tan2B=,再利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:由且,
∴cosC==,C∈(0,π),
解得C=.
则tanAtan2B=tan?tan2B=×=,
令tanB=t∈(0,1),则≤=,等号不成立.
∴∈(0,),
故答案为:.
【点评】本题考查了余弦定理、和差公式、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
16. 在的二项展开式中,常数项为60,则n等于__________.
参考答案:
6
略
17. 在的展开式中,常数项为 .
参考答案:
60
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设的导数满足,其中常数。
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,求函数的极值。
参考答案:
略
19. 已知曲线E的极坐标方程为,倾斜角为α的直线l过点P (2,2).
(1)求曲线E的直角坐标方程和直线l的参数方程;
(2)设l1, l2是过点P且关于直线x=2对称的两条直线,l1与E交于A, B两点,l2与E交于C, D两点. 求证:|PA| : |PD|=|PC| : |PB|.
参考答案:
(1)E:x2=4y(x≠0), l: (t为参数) ………5分
(2)∵l1, l2关于直线x=2对称,
∴l1, l2的倾斜角互补.设l1的倾斜角为α,则l2的倾斜角为π-α,
把直线l1:(t为参数)代入x2=4y并整理得:t2cos2α+4(cosα-sinα)t-4=0,
根据韦达定理,t1t2=,即|PA|×|PB|=.……8分
同理即|PC|×|PD|==.
∴|PA|×|PB|=|PC|×|PD|,即|PA | : |PD|=|PC | : |PB|. ……………………10分
20. (本小题满分12分)
已知集合
(1)若求实数m的值;
(2)设集合为R,若,求实数m的取值范围。
参考答案:
21. 已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2,且当时,
(Ⅰ)求函数在上的解析式; (Ⅱ)判断在上的单调性;
(Ⅲ)当取何值时,方程在上有实数解?
参考答案:
(Ⅰ)∵f(x)是x∈R上的奇函数,∴f(0)=0.
设x∈(-1,0), 则-x∈(0,1),
(Ⅱ)设,
∵,∴,
∴
∴f(x)在(0,1)上为减函数.
(Ⅲ)∵f(x)在(0,1)上为减函数,
∴
方程上有实数解.
22. 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况,随机抽取了100位居民作为样本,就最近一年来网购消费金额(单位:千元),网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内,按[0,5],(5,10],(10,15],(15,20],(20,25],(25,30]分成6组,其频率分布直方图如图所示.
(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数;
(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”,补全下面的列联表,并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”;
男
女
合计
网购迷
20
非网购迷
45
合计
100
(3)调査显示,甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立,两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式,所得数据如下表所示:
网购总次数
支付宝支付次数
银行卡支付次数
微信支付次数
甲
80
40
16
24
乙
90
60
18
12
将频率视为概率,若甲、乙两人在下周内各自网购2次,记两人采用支付宝支付的次数之和为,求的数学期望.
附:观测值公式:
临界值表:
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考答案:
(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析;(3)
【分析】
(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2) 由直方图知,网购消费金额在20千元以上的频数为,得“网购迷”共有35人,列出列联表计算即可得出结论;(3) 设甲,乙两人采用支付宝支付的次数分别为,,据题意得,,计算,由,即可求解
【详解】(1)在直方图中,从左至右前3个小矩形的面积之和为,
后2个小矩形的面积之和为,所以中位数位于区间内.
设直方图的面积平分线为,则,得,所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.
(2)由直方图知,网购消费金额在20千元以上的频数为,
所以“网购迷”共有35人,由列联表知,其中女性有20人,则男性有15人.
所以补全的列联表如下:
男
女
合计
网购迷
15
20
35
非网购迷
45
20
65
合计
60
40
100
因为,查表得,
所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.
(3)由表知,甲,乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为,.
设甲,乙两人采用支付宝支付的次数分别为,,据题意,,.
所以,.
因为,则,所以的数学期望为.
【点睛】本题考查频率分布直方图,独立性检验,二项分布,熟记公式准确计算是关键,是中档题