2022-2023学年福建省三明市沙县第三中学高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合,下列从A到B的对应关系f不是映射的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
2. 已知长方体同一个顶点的三条棱长分别为2,3,4,则该长方体的外接球的表面积等于( )
A.13π B.25π C.29π D.36π
参考答案:
C
【考点】LG:球的体积和表面积.
【分析】先利用长方体的棱长,求出它的体对角线即求出外接球的直径,由此据球的表面积公式即可球的表面积.
【解答】解:长方体一顶点出发的三条棱a,b,c的长分别为3,4,5,
得a2+b2+c2=29.
于是,球的直径2R满足4R2=(2R)2=a2+b2+c2=29.
故外接球的表面积为S=4πR2=29π.
故选C.
【点评】本题考查长方体的几何性质,长方体与其外接球的关系,以及球的表面积公式,训练了空间想象能力.
3. 已知,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 在一次数学测验中,某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是:
2,3,-3,-5,12,12,8,2,-1,4,-10,-2,5,5,那么这个小组的平均分是( )
A.97.2 B.87.29 C.92.32 D.82.86
参考答案:
B
5. 设,向量且 ,则
A. B. C. D.10
参考答案:
B
由题意可知:,则,
6. 若幂函数y=f(x)的图象经过点(,3),则该幂函数的解析式为( )
A.y=x﹣1 B.y=x C.y=x D.y=x3
参考答案:
A
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】利用幂函数的形式设出f(x),将点的坐标代入求出函数的解析式.
【解答】解:∵f(x)是幂函数
设f(x)=xα
∴图象经过点(,3),
∴3=,
∴α=﹣1
∴f(x)=x﹣1
故选:A.
【点评】本题考查利用待定系数法求知函数模型的解析式.
7. 数列的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
8. 已知函数是奇函数且当时是减函数,若f(1)=0,则函数的零点共有( )
A.4个 B.5个 C. 6个 D.7个
参考答案:
D
9. 设是方程的解,则在下列哪个区间内( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
B
构造函数,∵, ,∴函数的零点属于区间,即属于区间.
10. 如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,异面直线BD1与A1D所成的角等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
参考答案:
D
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】先分析出BD1在面ADD1A1上的射影是AD1,再根据其为正方体得到AD1⊥A1D;最后结合三垂线定理及其逆定理的内容即可得出结论.
【解答】解:因为BD1在面ADD1A1上的射影是AD1,
又因为其为正方体
所以有:AD1⊥A1D.
再根据三垂线定理中的:面内的一条直线和射影垂直,则此面内的该线就和此面对应的斜线垂直.
所以有:BD1⊥A1D
即:异面直线BD1与A1D所成的角等于90°
故选:D.
【点评】本题主要考查异面直线所成角的求法以及三垂线定理的应用.解决本题可以用三垂线定理和其逆定理;也可以通过平移把异面直线转化为相交直线来求解.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 二次函数的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则不等式的解集是 。
参考答案:
或
12. 设函数则成立的x的取值范围为____.
参考答案:
【分析】
分和两种情况解不等式,求出的解集再求并集即可.
【详解】或
或或,故答案为.
【点睛】本题主要考查不等式的解法,与分段函数有关的不等式,通常需要用分类讨论的思想来解决,属于基础题型.
13. 若函数的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是
参考答案:
14. 把球的表面积扩大到原来的4倍,那么体积扩大到原来的 倍.
参考答案:
8
15. 已知幂函数f(x)=x(k∈Z)满足f(2)<f(3),若函数g(x)=1﹣q,f(x)+(2q﹣1)x在区间[﹣1,2]上是减函数,则非负实数q的取值范围是 .
参考答案:
0≤q≤
【考点】函数单调性的判断与证明.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】先表示出函数g(x)的表达式,结合函数的单调性通过讨论q的范围,从而得到答案.
【解答】解:依题意可知,﹣k2+k+2>0,解得:﹣1<k<2,
又k∈Z,所以k=0或1,则﹣k2+k+1=2,
所以:f(x)=x2.
g(x)=﹣qx2+(2q﹣1)x+1,(q≥0),
当q=0时,g(x)=﹣x+1在[﹣1,2]单调递减成立;
当q>0时,g(x)=﹣qx2+(2q﹣1)x+1开口向下,对称轴右侧单调递减,
所以≤﹣1,解得0<q≤;
综上所述,0≤q≤,
故答案为:0≤q≤.
【点评】本题考查了函数解析式的求法,考查函数的单调性问题,是一道基础题.
16. (5分)函数f(x)=log2x,则f(3)+f()= .
参考答案:
3
考点: 函数的值.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 直接利用函数的解析式,求解函数值即可.
解答: 函数f(x)=log2x,则f(3)+f()=log23+log2=log23+log28﹣log23=3.
故答案为:3.
点评: 本题考查函数值的求法,对数的运算法则的应用,考查计算能力.
17. 设函数f(x)=,则f(f())= .
参考答案:
1
【考点】函数的值.
【分析】先求出==4,从而f(f())=f(4),由此能求出结果.
【解答】解:∵f(x)=,
∴==4,
f(f())=f(4)==1.
故答案为:1.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【分析】几何体为圆台挖去一个圆锥,求出圆台和圆锥的底面半径,高和母线,代入面积公式和体积公式计算即可.
【解答】解:作CE⊥AB于E,作DF⊥CE于F,
则AE=AD=2,CE=4,BE=3,∴BC=5,
四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥,
其中,圆台的上下底面半径为r1=2,r2=5,高为4,母线l=5,
圆锥的底面半径为2,高为2,母线l′=2,
∴几何体的表面积S=25π+π×2×5+π×5×5+=60π+4π.
几何体的体积V=(25π+4π+)×4﹣×4π×2=.
19. 化简计算.
(1);其中. (2).
(3). (4).
参考答案:
(1).(2).(3).(4).
()原式
.
()原式
.
()原式
.
()原式
.
20. 椭圆方程为的一个顶点为,离心率。 (1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆相交于不同的两点且P(2,1)为MN中点,求直线的方程。
参考答案:
(1) (6分) (2) (14分)
21. (12分)已知线段AB的端点B坐标是(3,4),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB中点M的轨迹方程.
参考答案:
考点: 轨迹方程.
专题: 计算题;直线与圆.
分析: 利用M、N为AB、PB的中点,根据三角形中位线定理得出:MN∥PA且MN=PA=1,从而动点M的轨迹为以N为圆心,半径长为1的圆.最后写出其轨迹方程即可.
解答: 圆(x+1)2+y2=4的圆心为P(﹣1,0),半径长为2,
线段AB中点为M(x,y)
取PB中点N,其坐标为N(1,2)
∵M、N为AB、PB的中点,
∴MN∥PA且MN=PA=1.
∴动点M的轨迹为以N为圆心,半径长为1的圆.
所求轨迹方程为:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1.
点评: 本题考查轨迹方程,利用的是定义法,定义法是若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求.
22. 若0≤x≤2,求函数y=的最大值和最小值.
参考答案:
【考点】复合函数的单调性.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】y=﹣3×2x+5=(2x)2﹣3×2x+5,令2x=t,转化为关于t的二次函数,在t的范围内即可求出最值.
【解答】解:y=﹣3×2x+5=(2x)2﹣3×2x+5
令2x=t,则y=t2﹣3t+5=+,
因为x∈[0,2],所以1≤t≤4,
所以当t=3时,ymin=,
当t=1时,ymax=.
所以函数的最大值为,最小值为.
【点评】本题考查有理数指数幂的运算及二次函数的最值问题,本题运用了转化思想.