浙江省台州市山前中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 对于任意角α和β,若满足α+β=,则称α和β“广义互余”.已知sin(π+θ)=﹣,①sinγ=;②cos(π+γ)=;③tanγ=﹣2;④tanγ=
上述角γ中,可能与角θ“广义互余”的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
参考答案:
C
【考点】三角函数的化简求值.
【专题】计算题;新定义;分类讨论;数形结合法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
【分析】①由已知可得sin2γ+sin2(π+θ)=1,得: +γ+θ+2kπ=0,或γ+θ+2kπ=(k∈Z),即可判断θ和γ可能是广义互余;
②由于sinθ=sin(γ﹣),解得γ﹣θ=2kπ﹣,或γ+θ=2kπ+,即可得解θ和γ不可能是广义互余;
③解得±sinθ=sin(﹣γ),当sinθ=sin(﹣γ)时,可得θ=﹣γ+2kπ,(k∈Z),可得a和β有可能是广义互余;
④解得cos2γ+sin2θ=1,可得γ﹣θ=2kπ,可得γ和θ不可能是广义互余.
【解答】解:∵sin(π+θ)=﹣,可得:sinθ=,
∴①sin2γ+sin2(π+θ)=1,可得: +γ+θ+2kπ=0,或γ+θ+2kπ=(k∈Z),故θ和γ可能是广义互余;
②cos(π+γ)=﹣cosγ=﹣sin(π+θ)=sinθ=sin(γ﹣),
∴θ=γ﹣+2kπ,或θ=π﹣(γ﹣)+2kπ,(k∈Z),
∴γ﹣θ=2kπ﹣,或γ+θ=2kπ+,(k∈Z),
α+β不可能等于90°,θ和γ不可能是广义互余;
③当tanγ=﹣2时,可得cosγ=±=±sinθ=sin(﹣γ),
当sinθ=sin(﹣γ)时,可得θ=﹣γ+2kπ,(k∈Z),
可得a和β有可能是广义互余;
④当tanγ=时,cosγ=±,此时cos2γ+sin2θ=1,γ﹣θ=2kπ,(k∈Z),
∴γ和θ不可能是广义互余.
故选:C.
【点评】本题主要考查了三角函数诱导公式的运用,考查了三角函数的图象和性质,考查了学生分析和解决问题的能力,属于中档题.
2. 函数的零点所在的区间为
A、(0,1) B、(1,2) C、(2,3) D、(3,4)
参考答案:
B
,,因为,故函数零点在(1,2)上.
3. 已知,则下列推证中正确的是
A. B.
C. D.
参考答案:
C
4. 已知x与y之间的一组数据如表,则y与x的线性回归方程=x+必过( )
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
A.点(2,2)
B.点(1.5,0)
C.点(1,2)
D.点(1.5,4)
参考答案:
D
考点:变量间的相关关系.
专题:计算题.
分析:本题是一个线性回归方程,这条直线的方程过这组数据的样本中心点,因此计算这组数据的样本中心点,做出x和y的平均数,得到结果.
解答: 解:由题意知,y与x的线性回归方程=x+必过样本中心点,
==1.5,==4,
∵=x+=x+(﹣=(x﹣)+,
∴线性回归方程必过(1.5,4).
故选D
点评:一组具有相关关系的变量的数据(x,y),通过散点图可观察出所有数据点都分布在一条直线附近,这样的直线可以画出许多条,而其中的一条能最好地反映x与y之间的关系,即这条直线“最贴近”已知的数据点,这就是回归直线.
5. 下列式子中成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. cos (-)的值是( )
A. B.- C. D.-
参考答案:
B
7. 的值为( )
A. B. C.- D.-
参考答案:
A
8. 已知函数,则( )
(A)其最小正周期为 (B)其图象关于直线对称
(C)其图象关于点对称 (D)该函数在区间上单调递增
参考答案:
D
9. 设函数f(x)的定义域为[0,4],若f(x)在[0,2]上单调递减,且f(x+2)为偶函数,则下列结论正确的是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
C
10. 等比数列{an}中, 则{an}的前4项和为( )
A. 81 B. 120 C. 168 D. 192
参考答案:
B
【分析】
根据等比数列的性质可知,列出方程即可求出的值,利用即可求出的值,然后利用等比数列的首项和公比,根据等比数列的前n项和的公式即可求出的前项和.
【详解】,解得,
又,则等比数列的前项和.
故选:B.
【点睛】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式的解集是_________。(用区间表示)
参考答案:
(1,11)
解:。∴解集是(1,11)。
12. 某班共50人,参加A项比赛的共有30人,参加B项比赛的共有33人,且A,B
两项都不参加的人数比A,B都参加的人数的多1人,则只参加A项不参加
B项的有 人.
参考答案:
9
略
13. 函数,单调递减区间为 .
参考答案:
(-1,0)∪(1,+∞)
14. 已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax﹣a﹣x+2(a>0,且a≠1),若g(2)=a,则f(2)= .
参考答案:
【考点】抽象函数及其应用;函数的值.
【分析】根据题意,将x=2、x=﹣2分别代入f(x)+g(x)=ax﹣a﹣x+2可得,f(2)+g(2)=a2﹣a﹣2+2,①和f(﹣2)+g(﹣2)=a﹣2﹣a2+2,②,结合题意中函数奇偶性可得f(﹣2)+g(﹣2)=﹣f(2)+g(2),与②联立可得﹣f(2)+g(2)=a﹣2﹣a2+2,③,联立①③可得,g(2)、f(2)的值,结合题意,可得a的值,将a的值代入f(2)=a2﹣a﹣2中,计算可得答案.
【解答】解:根据题意,由f(x)+g(x)=ax﹣a﹣x+2,
则f(2)+g(2)=a2﹣a﹣2+2,①,f(﹣2)+g(﹣2)=a﹣2﹣a2+2,②
又由f(x)为奇函数而g(x)为偶函数,有f(﹣2)=﹣f(2),g(﹣2)=g(2),
则f(﹣2)+g(﹣2)=﹣f(2)+g(2),
即有﹣f(2)+g(2)=a﹣2﹣a2+2,③
联立①③可得,g(2)=2,f(2)=a2﹣a﹣2
又由g(2)=a,则a=2,
f(2)=22﹣2﹣2=4﹣=;
故答案为.
【点评】本题考查函数奇偶性的应用,关键是利用函数奇偶性构造关于f(2)、g(2)的方程组,求出a的值.
15. 数列{an}的通项公式为,若,则 .
参考答案:
99
16. ks5u
若函数在上有且只有一个零点,则实数的取值范围是 。
参考答案:
或
17. 若存在实数b使得关于x的不等式恒成立,则实数a的取值范围是____.
参考答案:
[-1,1]
【分析】
先求得的取值范围,将题目所给不等式转化为含的绝对值不等式,对分成三种情况,结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立的思想,求得的取值范围.
【详解】由于,故可化简得恒成立.
当时,显然成立.
当时,可得, ,可得且,可得,即,解得.
当时,可得,可得且,可得,即,解得.综上所述,的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查三角函数的值域,考查含有绝对值不等式恒成立问题,考查存在性问题的求解策略,考查函数的单调性,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)在青岛崂山区附近有一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛的中心为圆心,半径为30km的圆形区域.已知小岛中心位于轮船正西70km处,港口位于小岛中心正北40km处.如果轮船沿直线返港,那么它是否会有触礁危险?为什么?
参考答案:
考点: 解三角形的实际应用.
专题: 应用题;直线与圆.
分析: 我们以港口中心为原点O,东西方向为x轴,建立如图所示的直角坐标系.进而可推断出以小岛的中心为圆心,半径为30km的圆形区域所对应的圆的方程,及轮船航线所在直线l的方程,进而求得圆心到直线的距离,解果大于半径推断出轮船没有触礁危险.
解答: 我们以港口中心为原点O,东西方向为x轴,建立如图所示的直角坐标系.
这样,以小岛的中心为圆心,半径为30km的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=302①
轮船航线所在直线l的方程为,即4x+7y﹣280=0②
如果圆O与直线l有公共点,则轮船有触礁危险,需要改变航向;如果O与直线l无公共点,则轮船没有触礁危险,无需改变航向.
由于圆心O(0,0)到直线l的距离d=>30,
所以直线l与圆O无公共点.这说明轮船将没有触礁危险,不用改变航向.
点评: 本题主要考查了根据实际问题选择函数类型.解题的关键是看圆与直线是否有交点.
19. (本题满分12分) 已知.
(1)若的夹角为45°,求;
(2)若,求与的夹角.
参考答案:
解:(1) . 6分
(2)∵, ∴ 10分
∴,又∵ ∴ . . . 12分
略
20. 分别求出适合下列条件的直线方程:
(Ⅰ)经过点P(﹣3,2)且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍;
(Ⅱ)经过直线2x+7y﹣4=0与7x﹣21y﹣1=0的交点,且和A(﹣3,1),B(5,7)等距离.
参考答案:
【考点】直线的一般式方程.
【分析】(Ⅰ)分别讨论直线过原点和不过原点两种情况,设出直线方程,解出即可;(Ⅱ)先求出直线的交点坐标,设出直线方程,再根据点到直线的距离公式求出斜率k即可.
【解答】解:(Ⅰ)当直线不过原点时,设所求直线方程为+=1,
将(﹣3,2)代入所设方程,解得a=,此时,直线方程为x+2y﹣1=0.
当直线过原点时,斜率k=﹣,直线方程为y=﹣x,即2x+3y=0,
综上可知,所求直线方程为x+2y﹣1=0或2x+3y=0.…(6分)
(Ⅱ)有解得交点坐标为(1,),
当直线l的斜率k存在时,设l的方程是y﹣=k(x﹣1),即7kx﹣7y+(2﹣7k)=0,
由A、B两点到直线l的距离相等得,
解得k=,当斜率k不存在时,即直线平行于y轴,方程为x=1时也满足条件.
所以直线l的方程是21x﹣28y﹣13=0或x=1.…(12分)
【点评】本题考察了求直线方程问题,考察点到直线的距离公式,是一道中档题.
21. (12分) 已知数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=(an+1)2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的最小值;
参考答案:
(1)因为(an+1)2=4Sn,所以Sn=,Sn+1=.
所以Sn