河南省周口市鹿邑县第三高级中学2022年高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 给出以下四个问题,
①输入一个数x,输出它的相反数;②求面积为6的正方形的周长;
③求三个数a,b,c中的最大数;④求二进数111111的值。
其中不需要用条件语句来描述其算法的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
参考答案:
B
2. 已知|(x)在R上是奇函数,且满足|(x+4)=|(x),当x∈(0,2)时,|(x)=2x2,则|(7)等于 ( )
A -2 B 2 C -98 D 98
参考答案:
A
3. 运行如图所示的程序框图,则输出的结果是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)0
参考答案:
B
4. 各项均为正数的等比数列中,,
则的值为( )
A. B.或
C. D.
参考答案:
D
命题意图:本题考查等比数列的运算性质,简单题.
5. 设函数f(x)的定义域为D,若f(x)满足条件:存在[a,b]?D(a<b),使f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b],则称为“优美函数”,若函数为“优美函数”,则t的取值范围是( )
A. B.(0,1) C. D.
参考答案:
D
【考点】34:函数的值域.
【分析】由题意得,函数是增函数,构造出方程组,利用方程组的解都大于0,求出t的取值范围.
【解答】解:为增函数,存在[a,b]?D(a<b),使f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b],
则,即
∴a,b是方程为4x﹣2x+t=0的两个不等的根,
设2x=m,
∴m2﹣m+t=0有两个不等的实根,且两根都大于0,
∴,
解得0<t,
故选:D.
6. 已知均为正实数,且,则的最小值为
A. B. C. D.
冷漠
不冷漠
总计
多看手机
8
4
12
少看手机
2
16
18
总计
10
20
30
参考答案:
C
7. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
C
8. 已知△ABC的面积为,AC=2,,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c. 若a、b、c成等比数列,且
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
略
10. 已知椭圆C: =1(a>b>0)的左、右顶点分別为A,B,点M,N是椭圆C上关于长轴对称的两点,若直线AM与BN相交于点P,则点P的轨迹方程是( )
A.x=±a(y≠0) B.y2=2b(|x|﹣a)(y≠0)
C.x2+y2=a2+b2(y≠0) D. =1(y≠0)
参考答案:
D
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】求得直线PA的方程及PB的方程,两式相乘,整理即可求得P的轨迹方程.
【解答】解:由题意可知:A(﹣a,0),B(a,0),设M(x0,y0),N(x0,﹣y0),y0≠0,P(x,y),y≠0
则直线PA的斜率k=,则直线PA的方程y=(x+a),①
同理直线PB的斜率k=,直线PB的方程y=(x﹣a),②
两式相乘:y2=(x2﹣a2),
由,y02=(a2﹣x02),
则y2=(x2﹣a2),整理得:(a>b>0)(y≠0),
则点P的轨迹方程(a>b>0)(y≠0),
故选D.
【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线的点斜式方程,考查轨迹方程的求法,考查转化思想,属于中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (09年扬州中学2月月考)如果复数是实数,则实数_____ ▲ .
参考答案:
答案:
12. 从1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中,可得到一般规律为 .(用数学表达式表示)
参考答案:
n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2
【考点】类比推理.
【分析】从具体到一般,观察按一定的规律推广.
【解答】解:从具体到一般,按照一定的规律,可得如下结论:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2
故答案为:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2
13. 是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当间的距离最大时,直线的方程是 .
参考答案:
解:当两条平行直线与A、B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大.
因为A(-1,1)、B(2,-4),所以,所以两平行线的斜率为,所以直线的方程是,即。
14. 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2).
则|PA|+|PF|的最小值是 ,取最小值时P点的坐标 .
参考答案:
,
抛物线的准线为。过P做PM垂直于准线于M过A做AN垂直于准线于N,则根据抛物线的定义知,所以,所以的最小值为,此时三点共线。,此时,代入抛物线得,即取最小值时P点的坐标为。
15. 给出下列命题:①存在实数,使; ②若是锐角△的内角,则;③函数x-)是偶函数;④函数的图象向右平移个单位,得到的图象.其中正确的命题的序号是 .
参考答案:
①②③
略
16. △ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列,则cosB的最小值为_____.
参考答案:
【分析】
利用余弦定理和基本不等式可求的最小值.
【详解】因为成等比数列,所以
,
由基本不等式可以得到,当且仅当时等号成立,
故的最小值为.
【点睛】本题考查余弦定理、等比中项和基本不等式,此类问题是中档题.
17. 有3辆汽车、6名售票员、3名司机,每辆汽车配1名司机两名售票员就可以工作,所有的安排方法数是
参考答案:
540
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)给定椭圆:. 称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”. 若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(Ⅱ)点是椭圆的“准圆”上的一个动点,过动点作直线,使得与椭圆都只有一个交点,试判断是否垂直?并说明理由。
参考答案:
解析:(Ⅰ),
椭圆方程为, ………… 4分
准圆方程为. ……………………5分
(Ⅱ)①当中有一条无斜率时,不妨设无斜率,
因为与椭圆只有一个公共点,则其方程为,
当方程为时,此时与准圆交于点,
此时经过点(或)且与椭圆只有一个公共点的直线是(或),即为(或),显然直线垂直;
同理可证方程为时,直线也垂直. ………………7分
②当都有斜率时,设点,其中.
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为,
则由消去,得
. ………9分
由化简整理得:.
因为,所以有 . …10分
设的斜率分别为,因为与椭圆只有一个公共点,
所以满足上述方程,
所以,即垂直. …………………11分
综合①②知垂直. ……………………12分
19. 已知函数f(x)=|x﹣|﹣|2x+1|.
(Ⅰ)求f(x)的值域;
(Ⅱ)若f(x)的最大值时a,已知x,y,z均为正实数,且x+y+z=a,
求证: ++≥1.
参考答案:
【考点】不等式的证明.
【专题】选作题;转化思想;演绎法;不等式.
【分析】(Ⅰ)作出函数的图象,即可求f(x)的值域;
(Ⅱ)利用柯西不等式,即可证明结论.
【解答】(Ⅰ)解:函数f(x)=|x﹣|﹣|2x+1|=,
函数的图象如图所示,则函数的值域为(﹣∞,1];
(Ⅱ)证明:由题意x,y,z均为正实数,x+y+z=1,
由柯西不等式可得(x+y+z)(++)≥(y+z+z)2=1,
∴++≥1.
【点评】本题考查绝对值函数的值域,考查不等式的证明,考查柯西不等式,属于中档题.
20. 已知函数.
(1)讨论函数f(x)的极值点的个数;
(2)若f(x)有两个极值点,,证明:.
参考答案:
(1)见解析(2)见解析
【分析】
(1)求得函数的导数,,按、、三种情况分类讨论,得出函数的单调性,进而得出函数的极值;
(2)由(1)知,当时,极值点,是方程的两根,化简得,设,,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.
【详解】(1)由题意,函数,
得,,
(i)若时;,
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增,
所以当,函数取得极小值,是的一个极小值点;
(ii)若时,则,即时,此时,在是减函数,无极值点,
当时,则,令,解得,,
当和时,,当时,,
∴在取得极小值,在取得极大值,所以有两个极值点,
综上可知:(i)时,仅有一个极值点;(ii).当时,无极值点;
(iii)当,有两个极值点.
(2)由(1)知,当且仅当时,有极小值点和极大值点,
且,是方程的两根,∴,,
则
,
设,,则,
∴时,是减函数,,
∴,
∴.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应含参的不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
21. 给定椭圆C:,若椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴上的一个端点到F的距离为.
(I)求椭圆C的方程;
(II)已知斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,点Q满足且=0,其中N为椭圆的下顶点,求直线在y轴上截距的取值范围.
参考答案:
略
22. 已知函数
(1)当时,求f(x)的单调递减区间;
(2)若当x>0时,f(x)>1恒成立,求a的取值范围;
(3)求证:.
参考答案:
考点:数列与不等式的综合;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性.
专题:综合题;导数的综合应用.
分析:(1)求导数,利用导数小于0,即可求f(x)的单调递减区间;
(2)由得a>(x+2)﹣(x+2)ln(x+1),记g(x)=(x+2),确定函数的最值,即可求a的取值范围;
(3)先证明,取,即可证得结论.
解答: (1)解:当时,(x>﹣1)
令f′(x)<0,可得,∴f(x)的单调递减区间为…
(2)解:由得a>(x+2)﹣(x+2)ln(x+1)
记g(x)=(x+2),则
当x>0时 g′(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)递减
又g(0)=2?=2,∴g