2022年福建省漳州市龙海浮宫中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若集合,下列关系式中成立的为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 已知,且,则角等于 ( )
A.或 B.或 C.或 D.或
参考答案:
A
略
3. 经过两直线与的交点,且平行于直线的直线方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 下列各组函数表示同一函数的是( )
A.f(x)=,g(x)=()2 B.f(x)=1,g(x)=x0
C.f(x)=,g(x)=x D.f(x)=x﹣1,g(x)=
参考答案:
C
【考点】判断两个函数是否为同一函数.
【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同即可.
【解答】解:f(x)=,g(x)=()2,两个函数的定义域不相同,所以不是相同的函数.
f(x)=1,g(x)=x0,两个函数的定义域不相同,所以不是相同的函数.
f(x)=,g(x)=x,两个函数的定义域与对应法则相同,是相同的函数.
f(x)=x﹣1,g(x)=两个函数的定义域不相同,所以不是相同的函数.
故选:C.
5. 已知函数在上为奇函数,且当时,,则当时,的解析式是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
6. 如图,在一根长11cm,底面圆周长为6cm的圆柱形柱体外表面,用一根细铁丝缠绕,组成10个螺旋,如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上,则铁丝长度的最小值为 ( )
A.61cm B.cm C.cm D.10cm
参考答案:
A
7. 函数 f(x)=x2-4x+5在区间 [0,m]上的最大值为5,最小值为1,则m的取值范围是( )
A . B . [0,2] C .( D. [2,4]
参考答案:
D
8. 若执行如图所示的框图,输入x1=1,x2=2,x3=3, =2,则输出的数等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【分析】先弄清该算法功能,S=0+(1﹣2)2=1,i=1,满足条件i<3,执行循环体,依此类推,当i=3,不满足条件i<3,退出循环体,输出所求即可.
【解答】解:S=0+(1﹣2)2=1,i=1,满足条件i<3,执行循环体,i=2
S=1+(2﹣2)2=1,i=2,满足条件i<3,执行循环体,i=3
S=1+(3﹣2)2=2,i=3,不满足条件i<3,退出循环体,
则S=×2=.
故选B.
9. 若函数y=x2+(2a-1)x+1在(-∞,2上是减函数,则实数a的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. (5分)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与x轴两个相邻交点的距离等于,则f(x)的单调递增区间是()
A. ,k∈Z B.
C. D.
参考答案:
C
考点: 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
专题: 计算题.
分析: 化简函数f(x)=sinωx+cosωx为f(x)=2sin(ωx+),y=f(x)的图象与x轴两个相邻交点的距离等于,求出函数的周期,推出ω,得到函数解析式,利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间.
解答: 函数f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+),
因为y=f(x)的图象与x轴两个相邻交点的距离等于,函数的周期T=π,
所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+),因为2kπ﹣≤2x+≤+2kπ k∈Z,
解得x∈,k∈Z
即函数的单调增区间为:,k∈Z
故选:C.
点评: 本题是基础题,考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,注意函数的周期的求法,考查计算能力,正弦函数的单调增区间的求法,常考题型.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设f(x)=max,其中max{a,b,c}表示三个数a,b,c中的最大值,则f(x)的最小值是 .
参考答案:
2
【考点】函数的最值及其几何意义.
【分析】分别作出y=x2﹣4x+3,y=x+,y=3﹣x的图象,分别求出最小值,比较即可.
【解答】解:分别作出y=x2﹣4x+3,y=x+,y=3﹣x的图象,
当x≤0时,f(x)=x2﹣4x+3,其最小值为3,
当0<x≤1时,f(x)=3﹣x,其最小值为2,
当1≤x≤5时,f(x)=y=x+,其最小值为2,
当x>5时,f(x)=x2﹣4x+3,其最小值为8,
综上所述f(x)的最小值是2,
故答案为:2
12. 定义在上的偶函数,当时,是减函数,若,则实数的取值范围_________.
参考答案:
由题意得,解得:.
13. 若,则关于的不等式的解是 .
参考答案:
14. 如果一个几何体的俯视图中有圆,则这个几何体中可能有 .
参考答案:
圆柱、圆台、圆锥、球
【考点】L!:由三视图求面积、体积.
【分析】运用空间想象力并联系所学过的几何体列举得答案.
【解答】解:一个几何体的俯视图中有圆,则这个几何体中可能有:圆柱、圆台、圆锥、球.
故答案为:圆柱、圆台、圆锥、球.
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状,考查学生的空间想象能力和思维能力,是基础题.
15. (5分)若函数f(x)=(k﹣2)x2+(k﹣1)x+3是偶函数,则f(x)的递减区间是 .
参考答案:
[0,+∞)
考点: 奇偶性与单调性的综合.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用偶函数的定义f(﹣x)=f(x),解出 k的值,化简f(x)的解析式,通过解析式求出f(x)的递减区间.
解答: ∵函数f(x)=(k﹣2)x2+(k﹣1)x+3是偶函数,
∴f(﹣x)=f(x),
即 (k﹣2)x2 ﹣(k﹣1)x+3=(k﹣2)x2+(k﹣1)x+3,∴k=1,
∴f(x)=﹣x2 +3,f(x)的递减区间是[0,+∞).
故答案为:[0,+∞).
点评: 本题考查偶函数的定义及二次函数的单调性、单调区间的求法.
16. 若∥,则x=___________。
参考答案:
略
17. 圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是________cm.
参考答案:
4
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,边a,b的长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,C=60°,求边c的长.
参考答案:
【考点】HT:三角形中的几何计算.
【分析】利用韦达定理和余弦定理即可求解.
【解答】解:由题意,a,b的长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,
∴a+b=5,ab=6.
由余弦定理:得cosC=,即ab=(a+b)2﹣2ab﹣c2.
可得:25﹣c2=18.
∴c=.
即边c的长为.
19. (14分)已知函数.
(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(2)证明:函数f(x)在内是增函数.
参考答案:
考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)利用函数奇偶性的定义去判断.(2)利用函数单调性的定义去证明.
解答: (1)函数的定义域是(﹣∞,0)∪(0,+∞)(1分)
∵,
∴f(x)是奇函数.(5分)
(2)设,且x1<x2 (6分)
则=,(7分)
∵,
∴x1﹣x2<0,x1x2﹣2>0,x1x2>0(10分)
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)(11分)
故f(x)在内是增函数.(12分)
点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断和单调性的判断,利用函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键.
20. (本题满分12分)已知是定义在[-1,1]上的奇函数且,若a、b∈[-1,1],a+b≠0, 有成立。
(1)判断函数在[-1,1]上是增函数还是减函数,并加以证明。
(2)解不等式。
(3)若对所有、a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围。
参考答案:
略
21. 已知等比数列{an}的公比q>1,a2,a3是方程x2﹣6x+8=0的两根.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{2n?an}的前n项和Sn.
参考答案:
【考点】8E:数列的求和.
【分析】(1)求出数列的公比,然后求解数列的通项公式.
(2)化简数列的通项公式,利用错位相减法求和即可.
【解答】解:(1)方程x2﹣6x+8=0的两根分别为2,4,依题意得a2=2,a3=4.
所以q=2,所以数列{an}的通项公式为.
(2)由(1)知,
所以,①,②
由①﹣②得,
即,
所以.
【点评】本题考查等比数列通项公式的求法,数列求和的方法,考查计算能力.
22. (13分)如图,已知⊿中,点与点关于点对称,是上的点,且,和交于点,设。
(1)用表示向量、;
(2)若,求实数的值。
参考答案:
(1)∵ ∴
(2)
∵ ∴ 解得