湖南省湘潭市湘乡名民实验中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若干个人站成排,其中不是互斥事件的是( )
A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙不站排尾”
C. “甲站排头”与“乙站排尾” D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”
参考答案:
BCD
【分析】
互斥事件是不能同时发生的事件,因此从这方面来判断即可.
【详解】排头只能有一人,因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥,而B、C、D中,甲、乙站位不一定在同一位置,可以同时发生,因此它们都不互斥.
故选BCD.
【点睛】本题考查互斥事件的概念,判断是否是互斥事件,就是判断它们能否同时发生,能同时发生的就不是互斥事件,不能同时发生的就是互斥事件.
2. 在边长为4的等边△ABC中,M,N分别为BC,AC的中点,则=( )
A. -6 B. 6 C. 0 D.
参考答案:
A
【分析】
设,分别去表示,,利用向量间的运算法则得到。
【详解】设
则
故选A
【点睛】本题考查了向量的数量积,关键是将未知向量,用已知向量去表示。
3. 已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=2x2﹣2x+1,则f(﹣1)=( )
A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2
参考答案:
A
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】分别将x赋值为1和﹣1,利用已知等式,集合函数得奇偶性,两式相加解得.
【解答】解:令x=1,得f(1)+g(1)=1,
令x=﹣1,得f(﹣1)+g(﹣1)=5,
又f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(﹣1)=f(1),g(﹣1)=﹣g(1),
两式相加得:f(1)+f(﹣1)+g(1)+g(﹣1)=6,
f(1)+f(1)+g(1)﹣g(1)=6,即2f(1)=6,
所以f(﹣1)=3;
故选A.
【点评】本题考查了函数奇偶性得运用,利用方程得思想求得,属于基础题.
4. 已知函数 f (x) = ,则 f [ f ( ) ] =( )
A. 9 B. C. -9 D. -
参考答案:
B
5. 若对任意的,函数满足,且,则( ▲ )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
6. 在正项等比数列{an}中,,为方程的两根,则( )
A. 9 B. 27 C. 64 D. 81
参考答案:
B
【分析】
由韦达定理得,再利用等比数列的性质求得结果.
【详解】由已知得
是正项等比数列
本题正确选项:B
【点睛】本题考查等比数列的三项之积的求法,关键是对等比数列的性质进行合理运用,属于基础题.
7. 若函数的定义域为,值域为,则实数m的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 已知函数在R上是增函数,且则的取值范围是( )
A.(-
参考答案:
A
略
9. 对于集合,定义,,设,,则( )
.
参考答案:
C
10. 将的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函( )
A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某几何体是由一个正方体去掉一个三棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积是___
参考答案:
6
【分析】
先作出几何体图形,再根据几何体的体积等于正方体的体积减去三棱柱的体积计算.
【详解】几何体如图所示:
去掉的三棱柱的高为2,底面面积是正方体底面积的 ,
所以三棱柱的体积:
所以几何体的体积:
【点睛】本题考查三视图与几何体的体积.关键是作出几何体的图形,方法:先作出正方体的图形,再根据三视图“切”去多余部分.
12. 已知f(x)=x2+1是定义在闭区间[﹣1,a]上的偶函数,则f(a)的值为 .
参考答案:
2
【考点】二次函数的性质.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】根据偶函数的对称性可知a=1,代入解析式计算即可.
【解答】解:∵f(x)=x2+1是定义在闭区间[﹣1,a]上的偶函数,∴a=1.∴f(a)=f(1)=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查了函数奇偶性的性质,属于基础题.
13. 已知集合U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},B={4,5},则A∩(UB)=_
参考答案:
14. 衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发而体积变小,若它的体积V随时间t的变化规律是(e为自然对数的底),其中为初始值.若,则t的值约为 .(运算结果保留整数,参考数据:
参考答案:
11 ;
15. 关于x的不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0的解集为(﹣∞,+∞),则实数a的取值范围是 .
参考答案:
[,+∞)
【考点】其他不等式的解法.
【分析】将不等式恒成立进行参数分类得到a≥,利用换元法将不等式转化为基本不等式的性质,根据基本不等式的性质求出的最大值即可得到结论.
【解答】解:不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0,
则a(x2+3)≥|x+1|,
即a≥,
设t=x+1,则x=t﹣1,
则不等式a≥等价为a≥==>0
即a>0,
设f(t)=,
当|t|=0,即x=﹣1时,不等式等价为a+3a=4a≥0,此时满足条件,
当t>0,f(t)==,当且仅当t=,
即t=2,即x=1时取等号.
当t<0,f(t)==≤,
当且仅当﹣t=﹣,
∴t=﹣2,即x=﹣3时取等号.
∴当x=1,即t=2时,fmax(t)==,
∴要使a≥恒成立,则a,
方法2:由不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0,
则a(x2+3)≥|x+1|,
∴要使不等式的解集是(﹣∞,+∞),则a>0,
作出y=a(x2+3)和y=|x+1|的图象,
由图象知只要当x>﹣1时,直线y═|x+1|=x+1与y=a(x2+3)相切或相离即可,
此时不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0等价为不等式ax2﹣x﹣1+3a≥0,
对应的判别式△=1﹣4a(3a﹣1)≤0,
即﹣12a2+4a+1≤0,
即12a2﹣4a﹣1≥0,
(2a﹣1)(6a+1)≥0,
解得a≥或a≤﹣(舍),
故答案为:[,+∞)
16. 已知、是不同的两个平面,直线,命题无公共点;命题, 则的 条件。
参考答案:
必要 从到,过不去,回得来
17. 已知是定义在R上的奇函数,当时,,则时, .
参考答案:
∵x>0时,,∴当时,,,
又∵是定义在R上的奇函数,∴,
∴,∴.故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知为定义在上的奇函数,当时,;
(1)求在上的解析式;
(2)试判断函数在区间上的单调性,并给出证明.
参考答案:
解:(1)当时,,
所以,
又 6分
(2)函数在区间上为单调减函数. ks5u
证明如下:
设是区间上的任意两个实数,且,
则8分
,
因为,
所以 即.
所以函数在区间上为单调减函数. 12分
19. (12分)(1)求函数y=+的定义域;
(2)求函数y=﹣x2+4x﹣2,x∈[0,3)的最值.
参考答案:
考点: 二次函数的性质;函数的定义域及其求法.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 本题(1)根据分式的分母不为0,偶次根式的被开方数非负,得到自变量满足的条件,解不等式,得到函数的定义域;(2)对二次函数进行配方、画图,根据图象特征,得到函数的最值,得到本题结论.
解答: (1)要使原式有意义,则
,
∴,
∴该函数的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(﹣2,﹣1)∪(1,2)∪(2,+∞).
(2)原式化为y=﹣(x﹣2)2+2,x∈[0,3),
由图可知:
当x=2时,ymax=2,
当x=0时,ymin=﹣2,
故该函数的最大值为2,最小值为﹣2.
点评: 本题考查了二次函数的图象与性质,本题难度不大,属于基础题.
20. (12分)已知全集U=R,集合A={x|1<2x﹣1<5},B={y|y=()x,x≥﹣2}.
(1)求(?UA)∩B;
(2)若集合C={x|a﹣1<x﹣a<1},且C?A,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用.
【分析】(1)先化简A,B,根据集合的交补即可求出答案.
(2)要分C等于空集和不等于空集两种情况.再根据C?A求出a的取值范围.
【解答】解:(1)由集合A={x|1<2x﹣1<5}={x|1<x<3},
∴CUA={x|x≤1,或x≥3}
∵B={y|y=()x,x≥﹣2}={y|0<y≤4}
∴(CUA)∩B={x|0<x≤1,或3≤x≤4},
(2)C={x|a﹣1<x﹣a<1}={x|2a﹣1<x<a+1},
当2a﹣1≥a+1时,即a≥2时,C=?,满足C?A,
当a<2时,由题意,解得1≤a<2,
综上,实数a的取值范围是[1,+∞)
【点评】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题.要正确判断两个集合间相等的关系,必须对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,认清集合的特征.
21. 已知直线和直线,求这两条直线的交点A,及它们分别与x轴的交点B,C的坐标.
参考答案:
联立方程,解得,点A的坐标为(-1,-4).……4分
直线,点B在x轴上,令,则,点B的坐标为(3,0).
……7分
直线,点C在x轴上,令,则,点C的坐标为(-5,0).
……10分
22. 已知集合A={x|﹣1<x<2},B={x|m<x<m+8}.
(1)若A?B,求实数m的取值范围;
(2)若A∩B=?,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】交集及其运算;集合的包含关系判断及应用.
【专题】集合.
【分析】(1)由集合A={x|﹣1<x<2},B={x|m<x<m+8}得:若A?B,则,解得实数m的取值范围;
(2)若A∩B=?,则m+8≤﹣1或m≥2,解得实数m的取值范围.
【解答】解:(1)∵集合A={x|﹣1<x<2},B={x|m<x<m+8}.
若A?B,则
解得:m∈[﹣6,﹣1],
∴实数m的取值范围是[﹣6,﹣1]
(2)若A∩B=?,则m+8≤﹣1或m≥2
即m∈(﹣∞,﹣9]∪[2,+∞)
【点评】本题考查的知识点是集合的交集运算,集合包含关系的判断及应用,其中将已知集合关系转化为关于m的不等式(组),是解答的关键.