2022-2023学年湖南省郴州市英杰高级中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 集合M={(x,y)|y=,x、y∈R},N={(x,y)|x=1,y∈R},则M∩N等于
A.{(1,0)} B.{y|0≤y≤1} C.{1,0} D.
参考答案:
A
y=表示单位圆的上半圆,x=1与之有且仅有一个公共点(1,0).
2. 函数 =,的最小正周期为
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 若a,b∈R且ab≠0,则成立的一个充分非必要条件是( )
A.a>b>0 B.b>a C.a<b<0 D.ab(a﹣b)<0
参考答案:
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】a,b∈R且ab≠0,则?|a|<|b|,即可判断出结论.
【解答】解:a,b∈R且ab≠0,则?|a|<|b|,
因此成立的一个充分非必要条件是a<b<0.
故选:C.
4. 设,则使幂y=xa为奇函数且在(0,+)上单调递减的α值的个数为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
B
5. 已知,且,则等于
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 下列命题中,错误的命题是( )
A、平行于同一直线的两个平面平行。
B、一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个平面相交。
C、平行于同一平面的两个平面平行。
D、一条直线与两个平行平面所成的角相等。
参考答案:
A
A项中平行于同一直线的两个平面可能平行还可能相交
7. 下列函数中,最小正周期不是的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
8. 为得到函数的图象,只需将函数的图象( )
A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位
参考答案:
C
略
9. f(x)=lnx+x﹣2的零点在下列哪个区间内( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
B
【考点】函数零点的判定定理.
【专题】计算题.
【分析】利用根的存在定理分别判断端点值的符合关系.
【解答】解:因为f(1)=ln1+1﹣2=﹣1<0,f(2)=ln2+2﹣2>0,
所以函数f(x)=lnx+x﹣2的零点所在的区间为(1,2).
故答案为 B.
【点评】本题主要考查函数零点区间的判断,判断的主要方法是利用根的存在性定理,判断函数在给定区间端点处的符号是否相反.
10. 在等差数列{an}中,a3=0,a7﹣2a4=﹣1,则公差d等于( )
A.﹣2 B. C.2 D.﹣
参考答案:
D
【考点】84:等差数列的通项公式.
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出.
【解答】解:∵a3=0,a7﹣2a4=﹣1,
∴a1+2d=0,a1+6d﹣2(a1+3d)=﹣1,
∴a1=1,d=﹣,
故选:D.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则f(9)= .
参考答案:
3
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用.
【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式,代入点的坐标,求出幂函数的解析式,再求f(16)的值
【解答】解:由题意令y=f(x)=xa,由于图象过点(2,),
得 =2a,a=
∴y=f(x)=
∴f(9)=3.
故答案为:3.
12. 不等式的解集为_________________.
参考答案:
;
略
13. (4分)从一个棱长为1的正方体中切去一部分,得到一个几何体,其三视图如图,则该几何体的体积为 .
参考答案:
考点: 由三视图求面积、体积.
专题: 分割补形法.
分析: 先根据题目所给的几何体的三视图得出该几何体的直观图,然后计算该几何体的体积即可.
解答: 解:由题目所给的几何体的三视图可得该几何体的形状如下图所示:
该几何体是一棱长为1的正方体切去如图所示的一角,
∴剩余几何体的体积等于正方体的体积减去窃取的直三棱锥的体积,
∴V=1﹣=.
故答案为:.
点评: 本题主要以有三视图得到几何体的直观图为载体,考查空间想象能力,要在学习中注意训练才行.
14. 若钝角△ABC的三边a,b,c成等差数列且a<b<c,则的取值范围是 .
参考答案:
(,)
【考点】余弦定理;等差数列的通项公式.
【分析】用a,c表示出b,根据钝角三角形得出的范围,将表示成的函数,根据的范围得出的范围.
【解答】解:∵a,b,c成等差数列,∴b=.
∵△ABC是钝角三角形,∴c2>a2+b2,即c2>a2+,∴3c2﹣5a2﹣2ac>0.
即3()2﹣2﹣5>0,解得>.
又a+b>c,即a+>c,∴<3.
∴===.
令,则,f(t)=+=t+,
f′(t)=1﹣,∴当<t<3时,f(t)为增函数,
∴当t→时,→=,当t→3时,→,
∴<<.
故答案为:(,).
15. (4分)已知奇函数y=f(x)满足当x≥0时,f(x)=2x+x﹣a,则f(﹣1)= .
参考答案:
﹣2
考点: 函数奇偶性的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 先根据f(0)=0求出a的值,然后根据奇函数的性质,将f(﹣1)转化为f(1)的函数值.
解答: 解:因为f(x)是奇函数,且在x=0时有定义,所以f(0)=1﹣a=0,所以a=1.
所以x≥0时,f(x)=2x+x﹣1,所以f(1)=2.
所以f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2.
故答案为﹣2.
点评: 本题综合考查了函数的奇函数的性质,体现转化思想在解题中的作用.
16. 已知,,则等于 .
参考答案:
略
17. 已知函数f(x)满足,则f(x)的解析式为________
参考答案:
【分析】
由已知可得f()2f(x),联立两式消去f(),解方程组可得.
【详解】∵
∴f()2f(x),
联立两式消去f(),
可得f(x)=
故答案为f(x)=
【点睛】本题考查函数解析式的求解,考查整体换元,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)求函数的对称轴和对称中心.
参考答案:
(1) 令,得,
∴单调递增区间为:,
令,得,
∴单调递减区间为:,
(2)令,得,
∴对称轴方程为:.
令,得,
∴对称中心为:.
(注:单调区间写开区间不扣分;不写扣1分)
19. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3=9,a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
考点:等比数列的前n项和;等比数列的通项公式.
专题:等差数列与等比数列.
分析:(1)根据条件利用等比数列的公式,求出公差,即可求数列{an}的通项公式;
(2)化简bn=2,然后根据等比数列的前n项和公式即可求数列{bn}的前n项和Tn.
解答: 解:(1)∵a1,a3,a7成等比数列.
∴a32=a1a7,
即(a1+2d)2=a1(a1+6d),
化简得d=a1,d=0(舍去).
∴S3=3a1+=a1=9,得a1=2,d=1.
∴an=a1+(n﹣1)d=2+(n﹣1)=n+1,即an=n+1.
(2)∵bn=2an=2n+1,∴b1=4,.
∴{bn}是以4为首项,2为公比的等比数列,
∴Tn==2n+2﹣4.
点评:本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用,以及等比数列前n项和的计算,要求熟练掌握相应的公式.
20. (12分)已知函数f(x)=3x+k(k为常数),A(﹣2k,2)是函数y=f1(x)图象上的点.
(1)求实数k的值及函数y=f1(x)的解析式:
(2)将y=f1(x)的图象向右平移3个单位,得到函数y=g(x)的图象,若2f1(x+﹣3})﹣g(x)≥1对任意的x>0恒成立,试求实数m的取值范围.
参考答案:
考点: 反函数;函数的图象与图象变化.
专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
分析: (1)根据题意,把点A的坐标代入函数y=f(x)中,求出k的值,得f(x),从而求出y=f1(x);
(2)根据图象平移,得函数y=g(x)的解析式,化简不等式2f1(x+﹣3})﹣g(x)≥1,利用函数的性质,结合分离常数法,即可求出关于m的不等式的解集.
解答: (1)∵函数f(x)=3x+k(k为常数),
且A(﹣2k,2)是函数y=f1(x)图象上的点;
∴32+k=﹣2k,
解得k=﹣3;
∴f(x)=3x﹣3,
∴函数y=f1(x)=log3(x+3);
(2)将y=f1(x)=log3(x+3)的图象向右平移3个单位,得到函数y=g(x)的图象,
∴y=g(x)=log3x;
∵2f1(x+﹣3)﹣g(x)≥1,
即2log3(x+﹣3+3)﹣log3x≥1,
∴log3≥1;
即≥3对任意的x>0恒成立,
∴x+≥3,
即2+m≥(3﹣x)x;
∵x>0,设函数t=(3﹣x)x,
∴t=﹣x2+3x=﹣+≤;
∴m+2≥,
解得m≥﹣;
∴实数m的取值范围[﹣,+∞).
点评: 本题考查了函数的性质与应用问题,也考查了利用分离常数法求函数最值的问题,考查了解不等式的问题,是综合性题目.
21. 已知向量=(sinθ,﹣2)与=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0,).求sinθ和cosθ的值.
参考答案:
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】根据向量垂直的关系,以及三角函数的公式即可得到结论.
【解答】解:(1)∵与互相垂直,则,
即sinθ=2cosθ,代入sin2θ+cos2θ=1得,
又,∴.
(2)∵,,∴,
则,
∴cosφ=.
22. (本小题满分14分)经市场调研,某超市一种玩具在过去一个月(按30天)的销售量(件)与价格(元)均为时间x(天)的函数,且销售量近似满足,价格近似满足。
(1)试写出该种玩具的日销售额y与时间x(,)的函数关系式;
(2)求该种玩具的日销售额y的最大值。
参考答案:
解:(1)由题意,得
……………………………………6分
(2)当,时,,而,又,所以当时,; ……………………10分
当,时,,则函数在(20,30]上单调递增,所以当时,。…………13分
综上所述,当时,该种玩具的日销售额的最大值为1408元。……………………14分