广东省茂名市林头中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数f(x)=3sin(2x﹣)的图象为M,下列结论中正确的是( )
A.图象M关于直线x=对称
B.图象M关于点()对称
C.f(x)在区间(﹣,)上递增
D.由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可得M
参考答案:
C
【考点】H2:正弦函数的图象.
【分析】A:利用三角函数在对称轴处取得函数的最值,验证选项A
B:正弦类函数图象的对称点是图象的平衡点,可验证选项B
C:令u=2x﹣,当﹣<x<时,﹣<u<,由于y=3sinu在(﹣,)上是增函数,利用复合函数的单调性可验证选项C
D:由于y=3sin2x的图象向右平移个单位得y=3sin2(x﹣)即y=3sin(2x﹣)的图象,验证选项D
【解答】解:选项A错误,由于f()=0≠±3,故A错.
选项B错误,由于正弦类函数图象的对称点是图象的平衡点,因为f(﹣)=3sin(﹣2×﹣)=﹣,所以(﹣,0)不在函数图象上.此函数图象不关于这点对称,故B错误.
选项C正确,令u=2x﹣,当﹣<x<时,﹣<u<,由于y=3sinu在(﹣,)上是增函数,所以选项C正确.
选项D错误,由于y=3sin2x的图象向右平移个单位得y=3sin2(x﹣)即y=3sin(2x﹣)的图象而不是图象M.
故选:C.
2. 设集合,a=3,那么下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为f(x)=x2+1,值域为{5,10}的“孪生函数”共有( )
A.4个 B.8个 C.9个 D.12个
参考答案:
C
【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法;函数的表示方法.
【分析】根据已知中若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,再由函数解析式为y=x2+1,值域为{5,10},由y=5时,x=±2;y=10时,x=±3,用列举法,可以得到函数解析式为y=x2+1,值域为{5,10}的所有“孪生函数”,进而得到答案.
【解答】解:由已知中“孪生函数”的定义:
一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,
当函数解析式为y=x2+1,值域为{5,10}时,
由y=5时,x=±2,y=7时,x=±3
用列举法得函数的定义域可能为:{﹣2,﹣3},{﹣2,3},{2,﹣3},{2,3},{﹣2,﹣3,3},{2,﹣3,3},{2,3,﹣2},{2,﹣3,﹣2},{﹣2,﹣3,3,2},共9个
故选:C.
4. 下列函数中既是奇函数,又是其定义域上的增函数的是( )
A.y=|x| B.y=lnx C.y=x D.y=x﹣3
参考答案:
C
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】根据奇函数、偶函数的定义,奇函数图象的特点,以及增函数的定义便可判断每个选项的正误,从而找出正确选项.
【解答】解:A.y=|x|为偶函数,不是奇函数,∴该选项错误;
B.根据y=lnx的图象知该函数非奇非偶,∴该选项错误;
C.,,∴该函数为奇函数;
x增大时,y增大,∴该函数为在定义域R上的增函数,∴该选项正确;
D.y=x﹣3,x>0,x增大时,减小;
∴该函数在(0,+∞)上为减函数,在定义域上没有单调性;
∴该选项错误.
故选:C.
【点评】考查偶函数、奇函数的定义,奇函数图象的对称性,增函数的定义,以及反比例函数的单调性,知道函数在定义域上没有单调性.
5. 在同一直角坐标系中,表示直线与正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
利用直线斜率与截距的意义即可得出.
【详解】假设,则中的的截距与矛盾,同理也与矛盾.
假设,则中的斜率小于零,与斜率大于零相矛盾,故符合条件.
故选:.
【点睛】本题考查了直线斜率与截距的意义,考查了数形结合的思想方法,属于基础题.
6. 考察下列每组对象哪几组能够成集合?( )
(1)比较小的数
(2)不大于10的偶数
(3)所有三角形
(4)高个子男生.
A.(1)(4) B.(2)(3) C.(2) D.(3)
参考答案:
B
【考点】11:集合的含义.
【分析】集合中的元素具有确定性,由此能求出结果.
【解答】解:在(1)中,比较小的数,没有确定性,故(1)不能构成集合;
在(2)中,不大于10的偶数,有确定性,故(2)能构成集合;
在(3)中,所有三角形,具有确定性,故(3)能构成集合;
在(4)中,高个子男生,没有确定性,故(4)不能构成集合.
故选:B.
【点评】本题考查集合的确定,是基础题,解题时要认真审题,注意集合中的元素的确定性的合理运用.
7. 在斜二测画法中,与坐标轴不垂直的线段的长度在直观图中( )
A.可能不变 B.变小 C.变大 D.一定改变
参考答案:
A
8. 已知点在直线上,则数列
A.是公差为2的等差数列 B.是公比为2的等比数列
C.是递减数列 D.以上均不对
参考答案:
A
9. 如图,在△ABC中,设,,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P,若,则=
A. B.1 C. D.
参考答案:
D
10. 设两条直线的方程分别为x+y+a=0和 x+y+b=0,已知a、b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤,则这两条直线间距离的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】点到直线的距离公式.
【分析】利用方程的根,求出a,b,c的关系,求出平行线之间的距离表达式,然后求解距离的最值.
【解答】解:因为a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,
所以a+b=﹣1,ab=c,两条直线之间的距离d=,
所以d2==,
因为0≤c≤,
所以≤1﹣4c≤1,
即d2∈[,],所以两条直线之间的距离的最大值是.
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 点关于直线的对称点为______________.
参考答案:
(1,2)
12. 若幂函数的图象过点(2,8),则n的值为___________.
参考答案:
3
【分析】
将点(2,8)代入可解得.
【详解】因为幂函数的图象过点(2,8),
所以,即,解得.
故答案为:3
【点睛】本题考查了根据幂函数经过点求参数,属于基础题.
13. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件,为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n= .
参考答案:
13
【考点】分层抽样方法.
【专题】概率与统计.
【分析】由题意根据分层抽样的定义和方法,每个个体被抽到的概率相等,由=,解得n的值.
【解答】解:依题意,有=,解得n=13,
故答案为:13.
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法,注意每个个体被抽到的概率相等,属于基础题.
14. 若集合A={x|x2=1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则由实数m的值组成的集合为 .
参考答案:
{﹣1,0,1}
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【分析】根据题意,解方程x2=1可得结合A,分析A∪B=A,可得B?A,进而对B分3种情况讨论::①、B=?,②、B={1},③、B={﹣1},分别求出m的值,综合可得答案.
【解答】解:根据题意,A={x|x2=1}={﹣1,1},若A∪B=A,则有B?A,
对B分3种情况讨论:①、B=?,即方程mx=1无解,分析可得m=0,
②、B={1},即方程mx=1的解为x=1,即m×1=1,解可得m=1,
③、B={﹣1},即方程mx=1的解为x=﹣1,即m×(﹣1)=1,解可得m=﹣1,
综合可得:实数m的值组成的集合为{﹣1,0,1};
故答案为:{﹣1,0,1}.
15. 我国古代数学家刘微在《九章算术·注释》中指出:“凡望极高、测绝深而兼知极远者,必用重差.”也就是说目标“极高”“绝深”等不能靠近进行测量时,必须用两次(或两次以上)测量的方法加以实现,为测量某山的高度,在A,B测得的数据如图所示(单位:m),则A到山顶的距离AM=_____.
参考答案:
【分析】
根据图形,可得中各个角的度数,又知AB的长度,由正弦定理可求出AM的长.
【详解】如图: 所以,.所以,在中,由正弦定理可知:,即,即.
【点睛】本题考查三角形正弦定理的应用,属于基础题.
16. 若数列{}的前项和,则 的值为 ;
参考答案:
2
17. 不等式的解集是______.
参考答案:
【分析】
由题可得,分式化乘积得,进而求得解集。
【详解】由移项通分可得,即,解得,
故解集为
【点睛】本题考查分式不等式的解法,属于基础题。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,已知tanA,tanB是关于x的方程x2+(x+1)p+1=0的两个实根.
(1)求角C;
(2)求实数p的取值集合.
参考答案:
【考点】两角和与差的正切函数.
【分析】(1)先由根系关系得出tanA与tanB和与积,由正切的和角公式代入求值,结合A,B的范围即可计算得解A+B的值,利用三角形内角和定理即可求C的值.
(2)由(1)可求A,B的取值范围,进而得方程两根的取值范围,构造函数f(x)=x2+px+p+1,则函数的两个零点均在区间(0,1)内,利用二次函数的性质构造关于p的不等式组可以求出满足条件的p的范围.
【解答】(本题满分为12分)
解:(1)根据题意,则有tanA+tanB=﹣p,tanAtanB=p+1,
而,又A,B是△ABC的内角,
所以,则.…
(2)在△ABC中由(1)知,则,即tanA,tanB∈(0,1),…
则关于x的方程x2+(p+1)x+1=x2+px+p+1=0在区间(0,1)上有两个实根,…
设f(x)=x2+px+p+1,则函数f(x)与x轴有两个交点,且交点在(0,1)内;
又函数f(x)的图象是开口向上的抛物线,且对称轴方程为x=﹣,
故其图象满足:,…
解之得:.…
所以实数p的取值集合为.…
【点评】本题考查的知识点是函数的零点,韦达定理(一元二次方程根与系数关系),两角和的正切公式,其中利用韦达定理及两角和的正切公式,确定方程两个根的范围是解答的关键,属于中档题.
19. 设函数定义在上,对于任意实数,,恒有,且当时,.
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)证明在上是减函数.
(Ⅲ)设集合,,且,求实数的取值范围.
参考答案:
见解析
解:(Ⅰ)∵,,为任意实数,
取,,则有,即,
∵当时,,
∴,
∴.
(Ⅱ)设,,且,则:
,
,
∵,
∴,
∴,
∴,
又∵当时,,
∴,
则,
取,,则,
∴,
又当时,,
∴在上,,故,
∴,即,
∴在上是减函数.