湖南省衡阳市祁东县官家嘴中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若直线与平面、、满足∥,,则有( )
A.∥且 B.⊥且 C.⊥且∥ D.∥且⊥
参考答案:
B
略
2. “”是“”的( )条件
A.充分不必要 B.充要 C. 必要不充分 D.既不充分也不必要
参考答案:
C
得不到,比如无意义,,根据对数函数在定义域上是增函数,则,由于是增函数,可得到,“”是“”的必要不充分条件,故选C.
3. l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则( )
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
参考答案:
A
【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系,进行判断即可.
【解答】解:若l1,l2是异面直线,则l1,l2不相交,即充分性成立,
若l1,l2不相交,则l1,l2可能是平行或异面直线,即必要性不成立,
故p是q的充分条件,但不是q的必要条件,
故选:A.
4. 如果命题“”为假命题,则( )
A.均为假命题 B.中至少有一个真命题
C.均为真命题 D.中只有一个真命题
参考答案:
D
5. 已知点,点在圆:上运动,则直线斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
6. 若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C.D.
参考答案:
D
略
7. 已知命题 ,,则( )
A., B.,
C., D. ,
参考答案:
B
8. 已知命题p:抛物线方程是x=4y2,则它的准线方程为x=1,命题q:双曲线的一个焦点是(0,3),其中真命题是( )
A.p B.¬q C.p∧q D.p∨q
参考答案:
D
【考点】双曲线的标准方程;复合命题的真假;抛物线的标准方程.
【分析】根据题意,由抛物线的标准方程分析可得P为假命题,由双曲线标准方程分析可得q为真命题,进而结合复合命题的性质依次分析选项可得答案.
【解答】解:根据题意,分析2个命题,
对于命题p,抛物线方程是x=4y2,即y2=x,其准线方程为x=﹣,故命题P为假命题;
对于命题q,双曲线的方程,即﹣=1,焦点在y轴上,且c==3,坐标为(0,3),命题q为真命题;
分析选项可得:A、命题P为假命题;
B、命题q为真命题,命题q为假命题;
C、命题P为假命题,命题q为真命题,则p∧q为假命题;
D、命题P为假命题,命题q为真命题,则p∨q为真命题;
故选:D.
9. 已知点分别是椭圆的左,右焦点,过且垂直于轴的直线与椭圆交于,两点,若是锐角三角形,则该椭圆的离心率的取值范围( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
10. 函数在区间和内分别为( )
(A)增函数,增函数 (B)增函数,减函数
(C)减函数,增函数 (D)减函数,减函数
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系中,已知双曲线:()的一条渐近线与直线:垂直,则实数 ▲ .
参考答案:
2
12. 若公差为2的等差数列的前9项和为81,则 .
参考答案:
17
13. 若复数z满足z=|z|-3-4i,则=________.
参考答案:
略
14. 在下列命题中,不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
参考答案:
A
15. 函数y=x+( x>1)的最小值是 .--
参考答案:
5
16. 观察下列等式:
照此规律, 第n个等式可为 .
参考答案:
略
17. (坐标系与参数方程) 在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆的离心率,过点A(0,﹣b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知定点E(﹣1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点,问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.
参考答案:
【考点】圆与圆锥曲线的综合;椭圆的标准方程.
【分析】(1)直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0,依题意可得:,由此能求出椭圆的方程.
(2)假设存在这样的值.,得(1+3k2)x2+12kx+9=0,再由根的判别式和根与系数的关系进行求解.
【解答】解:(1)直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0,
依题意可得:,
解得:a2=3,b=1,
∴椭圆的方程为.
(2)假设存在这样的值.
,
得(1+3k2)x2+12kx+9=0,
∴△=(12k)2﹣36(1+3k2)>0…①,
设C(x1,y1),D(x2,y2),
则
而y1?y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,
要使以CD为直径的圆过点E(﹣1,0),
当且仅当CE⊥DE时,
则y1y2+(x1+1)(x2+1)=0,
∴(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0…③
将②代入③整理得k=,
经验证k=使得①成立综上可知,存在k=使得以CD为直径的圆过点E.
【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
19. 已知二次函数在处取得极值,且在点处的切线与直线平行.
(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)求函数的单调递增区间.
参考答案:
解:(Ⅰ)由,可得.
由题设可得 即
解得,.所以. (5)
(Ⅱ)由题意得,
所以.
所以函数的单调递增区间为,.
略
20. 设x>0,y>0,z>0,
(Ⅰ)比较与的大小;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,证明:.
参考答案:
【考点】综合法与分析法(选修).
【分析】(Ⅰ)对两个解析式作差,对差的形式进行化简整理,判断出差的符号,得出两数的大小.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)类比出一个结论,利用综合法证明不等式即可.
【解答】(Ⅰ)∵,∴.
(Ⅱ)由(1)得.
类似的,,(7分)
又;
∴x2+y2+z2≥xy+yz+zx.
∴=(12分)
【点评】本题考查综合法与分析法,解题的关键是根据(I)类比出一个条件作为证明的前提.再利用综合法证明,正确理解综合法与分析法的原理与作用,顺利解题很关键.
21. (14分)已知椭圆C:,的离心率为,A、B分别为椭圆的长轴和短轴的端点,M为AB的中点,O为坐标原点,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过(﹣1,0)的直线l与椭圆交于P、Q两点,求△POQ的面积的最大时直线l的方程.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
【专题】综合题.
【分析】(Ⅰ)根据离心率为,,建立方程组,求得椭圆的基本量,从而可得椭圆的方程;
(Ⅱ)方法一:设交点P(x1,y1),Q(x2,y2),分类讨论,将直线方程与椭圆方程联立,消去y,表示出△POQ的面积,利用基本不等式求得结论.
方法二:设交点P(x1,y1),Q(x2,y2),分类讨论,将直线方程与椭圆方程联立,消去x,表示出△POQ的面积,利用基本不等式求得结论.
【解答】解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c,则,解得,
所以椭圆的方程为.…
(Ⅱ)方法一:设交点P(x1,y1),Q(x2,y2),
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=﹣1,则…
当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1)(k≠0),联立椭圆方程,
得(4k2+1)x2+8k2x+4(k2﹣1)=0,两个根为x1,x2,,…
则(k≠0),
又原点到直线l的距离d=,…
所以(k≠0)
=…
所以,当直线l的方程为x=﹣1时,△POQ面积最大.…
方法二:设交点P(x1,y1),Q(x2,y2),
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=﹣1,则.…
当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1)(k≠0),联立椭圆方程,得,两个根为y1,y2,△>0恒成立,,……
∴
=…
所以,当直线l的方程为x=﹣1时,△POQ面积最大.…
【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,正确表示三角形的面积是关键.
22. (12分)把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.
(1) 43251是这个数列的第几项?
(2) 这个数列的第96项是多少?
(3) 求这个数列的各项和.
参考答案:
⑴先考虑大于43251的数,分为以下三类
第一类:以5打头的有: =24
第二类:以45打头的有: =6
第三类:以435打头的有: =2………………………………2分
故不大于43251的五位数有:(个)
即43251是第88项.…………………………………………………………………4分
⑵数列共有A=120项,96项以后还有120-96=24项,
即比96项所表示的五位数大的五位数有24个,
所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.…8分
⑶因为1,2,3,4,5各在万位上时都有A个五位数,所以万位上数字的和为:(1+2+3+4+5)·A·10000……………………………………………………………10分
同理它们在千位、十位、个位上也都有A个五位数,所以这个数列各项和为:
(1+2+3+4+5)·A·(1+10+100+1000+10000)
=15×24×11111=3999960……………………………………………………………12分