湖南省湘西市泸溪县第一高级中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（ ）
A． B．π C． D．
参考答案：
D
【考点】正弦函数的定义域和值域．
【分析】由题意得，x∈[a，b]时，﹣1≤sinx≤，定义域的区间长度b﹣a最小为，最大为，由此选出符合条件的选项．
【解答】解：函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，∴x∈[a，b]时，﹣1≤sinx≤，
故sinx能取到最小值﹣1，最大值只能取到，
例如当a=﹣，b=时，区间长度b﹣a最小为；
当a=﹣，b=时，区间长度b﹣a取得最大为，即≤b﹣a≤，
故b﹣a一定取不到，
故选：D．
2. =
A.-1 B.0 C. 1 D.2
参考答案：
A
略
3. 若弧长为4的弧所对的圆心角是2 ，则这条弧所在的圆的半径等于（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
参考答案：
C
略
4. 要得到函数的图象，只需将函数y=cos2x的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
参考答案：
B
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】先根据诱导公式进行化简y=cos2x为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．
【解答】解：y=cos2x=sin（2x+），函数y=sin（2x+）的图象经过向右平移而得到函数y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x+）的图象，
故选B．
5. 若，则下列不等式中不正确的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
根据不等式的性质和基本不等式，即可作出判断，得到答案.
【详解】由题意，不等式，可得，
则，，所以成立，所以A是正确的；
由，则，所以，因为，所以等号不成立，所以成立，所以B是正确的；
由且，根据不等式的性质，可得，所以C不正确；
由，可得，所以D是正确的，
故选C.
【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，以及基本不等式的应用，其中解答中根据不等式的性质求得的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6. 函数y=是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶数
参考答案：
B
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】计算题．
【分析】判断函数的奇偶性要先求出函数的定义域，若定义域关于原点对称，再利用函数的奇偶性的定义来判断函数的奇偶性的性质，故应先求定义域，再由定义判断奇偶性，然后选出正确选项
【解答】解：由函数的形式得解得x∈[﹣1，0）∪（0，1]，定义域关于原点对称
又y（﹣x）===y（x）
故函数是偶函数
故选B
【点评】本题考查函数奇偶性的判断，掌握判断方法是解题的关键，判断函数的奇偶性有两看，一看定义域是否对称，二看是否符合定义式
7. 把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
略
8. 若函数的图像（部分）如图所示，则和的取值分别为
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
参考答案：
A
9. 下列四个函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（ ）
； ； ； ；
参考答案：
B
10. 在△ABC中，已知，且，则的值是（ ）
A. 2 B. C. －2 D.
参考答案：
C
【分析】
在中，根据正弦定理，可以把转化为边之间比的关系，可以进一步判断三角形的形状，利用和三角形的形状，可以求出三角形的三条边，最后利用平面向量的数量积公式求出的值.
【详解】在中，设内角所对边，根据正弦定理，
可知,已知，所以，显然是等腰直角三角形，即，，因此有，所以
，故本题选C.
【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积公式、三角形形状的识别，以及平面向量的数量积运算，平面向量的夹角是解题的关键也是易错点.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m恒成立，则实数m的取值范围为 ．
参考答案：
或m≥1
【考点】函数恒成立问题．
【分析】求出分段函数的最大值，把不等式f（x）≤m2﹣m恒成立转化为m2﹣m大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m的取值范围．
【解答】解：对于函数f（x）=，
当x≤1时，f（x）=；
当x＞1时，f（x）=＜0．
∴要使不等式f（x）≤m2﹣m恒成立，
则恒成立，即或m≥1．
故答案为：或m≥1．
12. 的值为 ．
参考答案：
略
13. 定义在R上的函数，如果存在函数为常数），使得≥对一切实数都成立，则称为的一个承托函数.现有如下命题：
①对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能无数个；
②=2x为函数的一个承托函数；
③若函数为函数的承托函数，则a的取值范围是;
④定义域和值域都是R的函数不存在承托函数；
其中正确命题的序号是 .
参考答案：
(1)(3)
略
14. 化简，得其结果为
参考答案：
略
15. 若把函数的图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象,则的解析式为 .
参考答案：
略
16. 已知函数，若函数图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，则的值为 ．
参考答案：
2
略
17. 函数的定义域为 ．
参考答案：
[－3,0]
题意，解得即.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数在时取得最大值2. （1）求的最小正周期； （2）求的解析式；
（3）若，，求的值.
参考答案：
解：（1）的最小正周期为
（2）由的最大值是2知，，
又，即，
∵，∴，∴，∴
∴
（3）由（2）得，
即，∴，
∵，∴
∴
（12分）
∴
略
19. 求满足下列条件的曲线方程：
（1）经过两条直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点，且垂直于直线6x﹣8y+3=0的直线
（2）经过点C（﹣1，1）和D（1，3），圆心在x轴上的圆．
参考答案：
【考点】圆的一般方程．
【分析】（1）联立方程，求出点P的坐标，利用所求直线l与6x﹣8y+3=0垂直，可设直线l的方程为8x+6y+C=0，代入P的坐标，可求直线l的方程；
（2）设圆心为M（a，0），由|MA|=|MB|求得a的值，可得圆心坐标以及半径的值，从而求得圆的方程．
【解答】解：（1）由，解得x=3，y=2，
∴点P的坐标是（3，2），
∵所求直线l与8x+6y+C=0垂直，
∴可设直线l的方程为8x+6y+C=0．
把点P的坐标代入得8×3+6×2+C=0，即C=﹣36．
∴所求直线l的方程为8x+6y﹣36=0，
即4x+3y﹣18=0．
（2）∵圆C的圆心在x轴上，设圆心为M（a，0），由圆过点A（﹣1，1）和B（1，3），
由|MA|=|MB|可得 MA2=MB2，即（a+1）2+1=（a﹣1）2+9，求得a=2，
可得圆心为M（ 2，0），半径为|MA|=，故圆的方程为 （x﹣2）2+y2=10．
20. 由经验得知,在天天商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下图：
排队人数
5人及以下
6
7
8
9
10人及以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：⑴ 至多6个人排队的概率；⑵ 至少8个人排队的概率.
参考答案：
⑴0.26 ⑵0.44
略
21. 如图，小岛A在港口P的南偏西60°方向，距离港口81 n mile处．甲船从A出发，
沿AP方向以9 n mile/h的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东75°方向，以9 n mile/h的速度驶离港口．现两船同时出发，
（1）出发后3 h两船之间的距离是多少？
（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？
参考答案：
解：（1）设出发后3h甲船到达C点，乙船到达D点，则PC＝54，PD＝27．
由题意，可知∠CPD＝135°．
在△PCD中，CD2＝PC2＋PD2－2 PC·PDcos∠CPD ………………………………2分
＝542＋(27)2－2×54×27×(－)＝272×10＝7290．
所以CD＝27．………………………………………………………………………3分
所以出发后3h两船相距27 n mile．………………………………………………4分
（2）设出发后xh乙船位于甲船的正东方向，此时甲船到达E点，乙船到达F点，则∠PEF＝30°，∠PFE＝15°，PE＝81－9x，PF＝9x．
在△PEF中，＝．即＝．…………………………7分
解得x＝3．……………………………………………………………………………9分
答：出发后3h两船相距27 n mile，出发后3h乙船在甲船的正东方向．…10分
略
22. 计算（8分）
（1）已知，求的值。
（2）
参考答案：
(1)解：
原式=