湖南省衡阳市衡南县第十一中学高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,初听起来,这似乎只是普通的赞美说辞,然而它的实际效果很大.这句话的等价命题是:
A.不拥有的人们不一定幸福 B.不拥有的人们可能幸福
C.拥有的人们不一定幸福 D.不拥有的人们不幸福
参考答案:
D
2. 函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=﹣x+1,则当x<0时,f(x)等于( )
A.﹣x+1 B.﹣x﹣1 C.x+1 D.x﹣1
参考答案:
B
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】因为要求x<0时的解析式,先设x<0,则﹣x>0,因为已知x>0时函数的解析式,所以可求出f(﹣x),再根据函数的奇偶性来求f(x)与f(﹣x)之间的关系.
【解答】解:设x<0,则﹣x>0,
∵当x>0时,f(x)=﹣x+1,∴f(﹣x)=x+1
又∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣(x+1)=﹣x﹣1
故选B
【点评】本题主要考查了已知函数当x>0的解析式,根据函数奇偶性求x<0的解析式,做题时应该认真分析,找到之间的联系.
3. 若函数,则f(-2)的值等于( )
A、 B、 C、 D、2
参考答案:
A
4. 已知2x+y=2,且x,y都为正实数,则xy+的最小值为( )
A.
2
B.
C.
D.
参考答案:
D
5. 已知则( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
6. 已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x﹣6=0},则P∩Q等于( )
A.{2} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}
参考答案:
A
【考点】交集及其运算.
【分析】搞清P、Q表达的数集,解出Q中的二次一次方程,再求交集.
【解答】解:∵Q={x∈R|x2+x﹣6=0}={﹣3,2} 集合P={x∈N|1≤x≤10},
∴P∩Q={2}
故选:A.
7. 已知函数f(x)为偶函数,且对于任意的,都有,设,,则()
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
首先判断函数在的单调性,然后根据偶函数化简,然后比较2,,的大小,比较的大小关系.
【详解】若,则函数在是单调递增函数,
并且函数是偶函数满足,
即,
,
在单调递增,
,
即.
故选C.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小,意在考查函数性质的应用,意在考查转化和变形能力,属于基础题型.
8. 已知在上是的减函数,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B 解析:令是的递减区间,∴而须
恒成立,∴,即,∴;
9. 两直线与平行,则它们之间的距离为
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. (5分)倾斜角等于45°,在y轴上的截距等于2的直线方程式()
A. y=﹣x﹣2 B. y=﹣x+2 C. y=x﹣2 D. y=x+2
参考答案:
D
考点: 直线的斜截式方程.
专题: 直线与圆.
分析: 利用斜截式即可得出.
解答: ∵倾斜角等于45°,∴斜率k=tan45°=1.
又在y轴上的截距等于2的直线方程式为y=x+2.
故选:D.
点评: 本题考查了斜截式方程,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知非零向量,满足:且,则向量与的夹角为 .
参考答案:
(或60°)
12. 一条光线从点射出,经轴反射后,反射光线经过点,则反射光线所在的直线方程为__________________
参考答案:
略
13. 在等差数列{an}中,若,则 。
参考答案:
110
14. 已知,,且,
则a的值为
参考答案:
2
略
15. 命题是真命题是命题是真命题的 (填“充分”、“必要”或“充要”)条件.
参考答案:
充分
16. 已知无穷等比数列{an}的首项为1,公比为,则其各项的和为__________.
参考答案:
【分析】
根据无穷等比数列求和公式求出等比数列{an}的各项和.
【详解】由题意可知,等比数列{an}的各项和为,故答案为:.
【点睛】本题考查等比数列各项和的求解,解题的关键就是利用无穷等比数列求和公式进行计算,考查计算能力,属于基础题.
17. 数列{}是等差数列,=7,则=_________
参考答案:
49
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 用辗转相除法或者更相减损术求三个数 324 , 243 , 135 的最大公约数.
参考答案:
解: 324=243×1+81
243=81×3+0
则 324与 243的最大公约数为 81
又 135=81×1+54
81=54×1+27
54=27×2+0
则 81 与 135的最大公约数为27
所以,三个数 324、243、135的最大公约数为 27
19. (12分)已知,, 且
(1) 求函数的解析式;
(2) 当时, 的最小值是-4, 求此时函数的最大值, 并求出相应的的值.
参考答案:
解: (1)
即
(2)
由, , ,
,
, 此时, .
略
20. (8分)已知a≠0,试讨论函数f(x)=在区间(0,1)上单调性,并加以证明.
参考答案:
考点: 函数单调性的判断与证明.
专题: 分类讨论;函数的性质及应用.
分析: 用函数的单调性定义来判断并证明f(x)在(0,1)上的单调性即可.
解答: a<0时,f(x)在(0,1)上是减函数,
a>0时,f(x)在(0,1)上是增函数;
证明如下:任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2;
∴f(x1)﹣f(x2)=﹣=;
∵0<x1<x2<1,
∴x1+x2>0,
x1﹣x2<0,
(1﹣)(1﹣)>0;
∴当a<0时,f(x1)﹣f(x2)>0,f(x)在(0,1)上是减函数;
当a>0时,f(x1)﹣f(x2)<0,f(x)在(0,1)上是增函数.
综上,a<0时,f(x)在(0,1)上是减函数,
a>0时,f(x)在(0,1)上是增函数.
点评: 本题考查了用函数的单调性定义判断与证明函数的单调性问题,也考查了分类讨论的思想应用问题,是基础题目.
21. (本小题满分分)已知函数.
(1) 若,求使时的取值范围;
(2) 若存在使成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(I)的取值范围为或------------------------------------------(6分)
(II)由题应有----------------------------------(9分)
而,当时,---------------------------(11分)
所以的取值范围为--------------------------------------------------(12分)
22. 已知向量.
(1) 已知且,求x;
(2)若,写出的单调递减区间.
参考答案:
(1)0;(2),.
【分析】
(1)利用得到等式,代入数据化简得到答案.
(2)写出表达式,化简标准形式,最后求单调递减区间.
【详解】解:(1),,即,
(2)
的单调减区间为,.
【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换和单调减区间,属于简单题.