2022年浙江省台州市大汾中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在直角坐标系中,一动点从点A(1,0)出发,沿单位圆(圆心在坐标原点半径为1的圆)圆周按逆时针方向运动π弧长,到达点B,则点B的坐标为( )
A.(﹣,) B.(﹣,﹣) C.(﹣,﹣) D.(﹣,)
参考答案:
A
【考点】弧度制.
【专题】计算题;数形结合;数形结合法;三角函数的求值.
【分析】作出单位圆,过B作BM⊥x轴,交x轴于点M,结合单位圆能求出B点坐标.
【解答】解:如图,作出单位圆,
由题意,,OB=1,
过B作BM⊥x轴,交x轴于点M,则,
∴|OM|=,MB==,
∴B(﹣,).
故选:A.
【点评】本题考查点的坐标的求法,是基础题,解题时要注意单位圆的性质的合理运用.
2. 已知函数是奇函数,若,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
由题意首先求得m的值,然后结合函数的性质求解不等式即可.
【详解】函数为奇函数,则恒成立,
即恒成立,整理可得:,
据此可得:,即恒成立,
据此可得:.函数的解析式为:,
,
当且仅当时等号成立,故奇函数是定义域内的单调递增函数,
不等式即,
据此有:,由函数的单调性可得:,
求解不等式可得的取值范围是.
本题选择C选项.
【点睛】对于求值或范围的问题,一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性,再利用其单调性脱去函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题,若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).
3. 废品率x%和每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为=256+2x,表明( )
A.废品率每增加1%,成本增加256元
B.废品率每增加1%,成本增加2x元
C.废品率每增加1%,生铁成本每吨增加2元
D.废品率不变,生铁成本为256元
参考答案:
C
略
4. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为,则抛物线的方程是 ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
5. 已知全集,, ,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 两个相关变量满足如下关系:
x
2
3
4
5
6
y
25
●
50
56
64
根据表格已得回归方程:=9.4x+9.2,表中有一数据模糊不清,请推算该数据是( )
A.37 B.38.5 C.39 D.40.5
参考答案:
C
7. 已知直线l⊥平面α,直线m?平面β,有下面四个命题:
①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α⊥β,其中正确的命题是( )
A.①② B.①③
C.②④ D.③④
参考答案:
B
8. 对于集合N和集合,
若满足,则集合中的运算“”可以是
A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法
参考答案:
C
9. 的展开式中的系数是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
10. 圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长为( )
A.2π B.2π C.22π D.4π
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将函数y=sin(2x﹣)的图象先向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为y= .
参考答案:
sin(4x+ )
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】先求函数y=sin(2x﹣)的图象先向左平移,图象的函数表达式,再求图象上所有的点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),则所得到的图象对应的函数解析式.
【解答】解:将函数y=sin(2x﹣)的图象先向左平移,
得到函数y=sin[2(x+)﹣]=sin(2x+)的图象,
将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),
则所得到的图象对应的函数解析式为:y=sin(4x+ )
故答案为:sin(4x+ ).
12. 已知函数,则函数的增区间是 .
参考答案:
可写为开区间;
13. 定义:关于的两个不等式和的解集分别为(,)和(,),则称这两个不等式为对偶不等式。如果不等式与不等式为对偶不等式,此处,则________
参考答案:
或
略
14. 设函数f(x)=,则不等式f(x)>f(1)的解集是__________.
参考答案:
{x|-3<x<1或x>3}
15. 我们知道,如果定义在某区间上的函数满足对该区间上的任意两个数、,总有不等式成立,则称函数为该区间上的向上凸函数(简称上凸). 类比上述定义,对于数列,如果对任意正整数,总有不等式:成立,则称数列为向上凸数列(简称上凸数列). 现有数列满足如下两个条件:
(1)数列为上凸数列,且;
(2)对正整数(),都有,其中.
则数列中的第五项的取值范围为 .
参考答案:
略
16. (5分)设集合M={y|y=3﹣x2},N={y|y=2x2﹣1},则M∩N= .
参考答案:
[﹣1,3]
考点: 交集及其运算.
专题: 不等式的解法及应用.
分析: 求二次函数的值域得到集合M,N,再根据两个集合的交集的定义求得M∩N.
解答: ∵集合M={y|y=3﹣x2}={y|y≤3}=(﹣∞,3],N={y|y=2x2﹣1}={y|y≥﹣1}=[﹣1,+∞),
则M∩N=[﹣1,3],
故答案为[﹣1,3].
点评: 本题主要考查求二次函数的值域,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题.
17. 已知圆C的方程为,一定点为A(1,2),要使过A点作圆的切线有两条,则a的取值范围是____________
参考答案:
【分析】
使过A点作圆的切线有两条,定点在圆外,代入圆方程计算得到答案.
【详解】已知圆C的方程为,
要使过A点作圆的切线有两条
即点A(1,2)在圆C外:恒成立.
综上所述:
故答案为:
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系,通过切线数量判断位置关系是解题的关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 关于的不等式: .
(1) 当时,求不等式的解集;
(2) 当时,解不等式.
参考答案:
(1)
(2)原式等价于
当时,解集是
当时,解集是
当时,解集是
略
19. 已知数列{an}的前n项和为Sn,并且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)设Tn为数列的前n项和,求Tn.
参考答案:
【考点】8E:数列的求和;84:等差数列的通项公式.
【分析】(1)由nan+1=Sn+n结合通项和前n项和的关系,转化为an+1﹣an=2(n≥2)再由等差数列的定义求解,要注意分类讨论.
(2)由(1)求得 an代入整理得是一个等差数列与等比数列对应项积的形式,用错位相减法求其前n项和.
【解答】解:(1)nan+1﹣(n﹣1)an=an+2n,an+1﹣an=2(n≥2)a1=2,a2=s1+2,
∴a2﹣a1=2,所以{an}等差an=2n
(2)
20. (本题满分8分)
已知在平面直角坐标系中,△三个顶点坐标分别为
(I)求边的中线所在的直线方程;
(II)求边的高所在的直线方程
参考答案:
(1)BC中点D的坐标为,
所以直线AD方程为: ,
(2)因为,,所以
所以直线BH方程为:,
21. 如图,正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD,AE⊥平面CDE,且AE=1,AB=2.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADE;
(Ⅱ)求凸多面体ABCDE的体积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)推导出AE⊥CD,CD⊥AD,从而CD⊥平面ADE,再由AB∥CD,能证明AB⊥平面ADE.
(Ⅱ)凸多面体ABCDE的体积V=VB﹣CDE+VB﹣ADE,由此能求出结果.
【解答】证明:(Ⅰ)∵AE⊥平面CDE,CD?平面CDE,
∴AE⊥CD,
又在正方形ABCD中,CD⊥AD,AE∩AD=A,
∴CD⊥平面ADE,
又在正方形ABCD中,AB∥CD,
∴AB⊥平面ADE.…
解:(Ⅱ)连接BD,设B到平面CDE的距离为h,
∵AB∥CD,CD?平面CDE,
∴AB∥平面CDE,又AE⊥平面CDE,
∴h=AE=1,又=,
∴=,
又==,
∴凸多面体ABCDE的体积V=VB﹣CDE+VB﹣ADE=.…
22. (本题满分12分)已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(,).
(1)若||=||,求角α的值;
(2)若·= -1,求的值.
参考答案:
解:(1)=(cosα-3,sinα), =(cosα,sinα-3),
∵||=|| 可得cosα=sinα
又α∈(,)∴α= ……6分
(2)·= cos2α-3 cosα+ sin2α-3 sinα=-1
∴cosα+sinα=, 2=-
==2=- ……12分
略