湖北省宜昌市枝江第二高级中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若曲线在点(0,处的切线方程是,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果为
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 已知抛物线C:的焦点为F,直线过F与C交于A、B两点,与抛物线的准线l交于点P,若,则( )
A.2 B.3 C.4 D.6
参考答案:
B
如图,由抛物线定义得,由已知 ,
所以,故 , , ,
又, ,故选B.
4. 如图,网格纸上小正方形的边长为2,粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是
A. B. C. D.
参考答案:
D
受三视图的启发,据三视图,想象感知、分析校正、操作确认得原实物图为:在一个水平横放的底面半径为2,高为4的圆柱中,在其前方、上侧的右侧挖去,余下的部分. 所以该几何体的体积为.选D.
5. 在一次实验中,测得的四组值为,则与之间的回归直线方程为
A. B. C. D.
参考答案:
答案:A
6. 已知全集,,,则集合等于( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
7. 在直角坐标系中, 设是曲线上任意一点, 是曲线在点处的切线, 且交坐标轴于两点, 则以下结论正确的是( )
A.的面积为定值 B.的面积有最小值为
C.的面积有最大值为 D.的面积的取值范围是
参考答案:
A
试题分析:设,则,因此的面积为,所以选A.
考点:导数几何意义
【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.
(2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解.
8. 一平面截一球得到直径是6cm的圆面,球心到圆面的距离是4cm,则该球的体积是( ) A. B. C. D.
参考答案:
C
略
9. 已知函数,对于任意,且,均存在唯一实数t,使得,且,若关于的方程有4个不相等的实数根,则a的取值范围是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(-4,-2) D.(-4,-1)∪(-1,0)
参考答案:
C
由题意可得示意图,所以 ,选C.
10. 函数f(x)=|x﹣3|﹣ln(x+1)在定义域内零点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】先求出函数的定义域,再把函数转化为对应的方程,在坐标系中画出两个函数y1=|x﹣2|,y2=lnx(x>0)的图象求出方程的根的个数,即为函数零点的个数.
【解答】解:由题意,函数f(x)的定义域为(0,+∞);
由函数零点的定义,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x﹣3|﹣ln(x+1)=0的根.
令y1=|x﹣3|,y2=ln(x+1)x(x>0),在一个坐标系中画出两个函数的图象:
由图得,两个函数图象有两个交点,
故方程有两个根,即对应函数有两个零点.
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若数列的通项公式,记,试推测 _________
参考答案:
12. 已知,则=_____.
参考答案:
略
13. 将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,若点A、B、C、D都在一个以O为球心的球面上,则球O的体积为 ▲ 。
参考答案:
略
14. 已知则与的夹角为,则 .
参考答案:
略
15. 一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向,行驶4h后,船到达B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为 km.
参考答案:
30
【考点】解三角形的实际应用.
【专题】计算题.
【分析】先根据船的速度和时间求得AB的长,进而在△AMB中根据正弦定理利用∠MAB=30°,∠AMB=45°,和AB的长度,求得BM.
【解答】解:如图,依题意有
AB=15×4=60,
∠MAB=30°,∠AMB=45°,
在△AMB中,
由正弦定理得=,
解得BM=30(km),
故答案为30.
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.常需利用正弦定理或余弦定理,根据已知的边或角求得问题的答案.
16. 已知的最大值为
参考答案:
因为
17. 设的三个内角的对边分别为若则的最大值为
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,正三棱柱中,点是的中点.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求证:平面.
参考答案:
(本小题满分14分)
证:(Ⅰ)因为是正三角形,而是的中点,所以………… 3分
又BC是两个相互垂直的平面与面的交线,且,
所以………………………………………… 7分
(Ⅱ)连接,设,则E为的中点,连接,由是的中点,
得………11分 又,且,所以平面……14分
略
19. (本小题满分15分)已知数列中各项均为正数,是数列的前项和,且.
(1)求数列的通项公式
(2)对,试比较与的大小.
参考答案:
解:,当时,,又中各项均为正数解得,………………………2分
当时, ………………………4分
,即
即,
,中各项均为正数,
即(),,(),………………………6分
又时,,数列的通项公式是,(). …………8分
(2) 对,是数列的前项和,
, ………………10分
…12分,
…………14分
20. (本小题满分12分)
“跑跑龟”是一款益智游戏,它灵活多变老少皆宜,深受大家喜爱。有位小朋友模仿“跑跑龟”也自己动手设计了一个简易游戏来自娱自乐,并且制定规则如下:如图为游戏棋盘由起点到终点共7步,并以一副扑克牌中的4张A、2张2、1张3分别代表前进1步、2步、3步,如果在终点前一步时抽取到2或3,则只需前进一步结束游戏,如果在终点前两步时抽取到3,则只需前进两步结束游戏。游戏开始时不放回的依次抽取一张决定前进的步数
(1)求恰好抽取4张卡片即结束游戏的概率;
(2)若游戏结束抽取的卡片张数记为,求的分布列和期望.
起点
终点
参考答案:
解(1)设抽取4张卡片即结束游戏为事件A,取4张步数要大于等于7,卡片可以是2个A、1个2、1个3或1个A、2个2、1个3,
所以 ………5分
(2)由题意 ………6分
………10分
3
4
5
6
………12分
21. (本题满分12分)某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)估计这次测试数学成绩的平均分和众数;
(Ⅱ)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同,且都超过94分.若将频率视为概率,现用简单随机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数中任意抽取2个数,有放回地抽取了3次,记这3次抽取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为,求的分布列及数学期望.
参考答案:
(I)利用中值估算抽样学生的平均分:
45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………(3分)
众数的估计值为75分 ……………(5分)
所以,估计这次考试的平均分是72分. ……………(6分)
(注:这里的众数、平均值为估计量,若遗漏估计或大约等词语扣一分)
(II)从95, 96,97,98,99,100中抽2个数的全部可能的基本结果数是,
有15种结果,学生的成绩在[90,100]段的人数是0.005×10×80=4(人),
这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是,
两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率 ……………(8分)
随机变量的可能取值为0、1、2、3,则有.
∴
∴变量的分布列为:
0
1
2
3
P
…………(10分)
…………(12分)
解法二. 随机变量满足独立重复试验,所以为二项分布, 即………(10分)
…………(12分)
22. 已知椭圆C:的离心率为,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+2
(1)求椭圆C的方程;
(2)设圆T:(x﹣t)2+y2=,过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点,当圆心在x轴上移动且t∈(1,3)时,求EF的斜率的取值范围.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)由椭圆离心率得到a,c的关系,再由△PF1F2的周长是得a,c的另一关系,联立求得a,c的值,代入隐含条件求得b,则椭圆方程可求;
(2)椭圆的上顶点为M(0,1),设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1,由圆心到切线距离等于半径得到关于切线斜率的方程,由根与系数关系得到
,再联立一切线方程和椭圆方程,求得E的坐标,同理求得F坐标,另一两点求斜率公式得到kEF=.然后由函数单调性求得EF的斜率的范围.
【解答】解:(1)由,即,可知a=4b,,
∵△PF1F2的周长是,
∴,
∴a=4,b=1,
所求椭圆方程为;
(2)椭圆的上顶点为M(0,1),设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1,
由直线y=kx+1与T相切可知,
即(9t2﹣4)k2+18tk+5=0,
∴,
由,得.
∴,
同理,
则=.
当1<t<3时,为增函数,故EF的斜率的范围为.
【点评】本题考查了椭圆方程的求法,考查了直线与圆,直线与椭圆的位置关系,考查了直线与圆相切的条件,训练了利用函数单调性求函数的最值,是中档题.