2022-2023学年福建省莆田市第八华侨中学高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
得到倾斜角为.
【详解】
故答案选B
【点睛】本题考查了直线的倾斜角,属于简单题.
2. 偶函数在区间[0,4]上单调递减,则有( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
3. 幂函数的图象经过点 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 若f(x)符合:对定义域内的任意的,都有,且当时,,则称f(x)为“好函数”,则下列函数是“好函数”的是
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 不等式2x-x-1>0的解集是
A. (,1) B. (1,+∞) C. (-∞,1)∪(2,+∞) D. (-∞,)∪(1,+∞)
参考答案:
D
6. 已知=(﹣2,1),=(﹣1,2),则?=( )
A.0 B.4 C.﹣3 D.﹣1
参考答案:
B
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据题意,由向量的数量积的坐标计算公式计算可得答案.
【解答】解:根据题意, =(﹣2,1),=(﹣1,2),
则?=(﹣2)×(﹣1)+1×2=4;
故选:B.
【点评】本题考查向量数量积的计算,关键要掌握平面向量数量积的计算公式.
7. 设是两个非零向量,有以下四个说法:
①若,则向量在方向上的投影为;
②若0,则向量与的夹角为钝角;
③若,则存在实数,使得;
④若存在实数,使得,则,其中正确的说法个数有( )
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
参考答案:
A
略
8. 两直线3x+y-3=0 与6x+my+1=0 平行,则它们之间的距离为()
A、 4
参考答案:
D
试题分析:由两直线平行可得直线3x+y-3=0变形为6x+2y-6=0,所以距离为
考点:两直线间的距离
9. 下列四个集合中,是空集的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D 解析:选项A所代表的集合是并非空集,选项B所代表的集合是
并非空集,选项C所代表的集合是并非空集,
选项D中的方程无实数根;
10. 已知函数的最大值是,最小值为,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设,则————
参考答案:
{-1}
12. 若为圆的弦的中点,则直线的方程是
参考答案:
13. 已知函数g(x)=(x2-cosx)sin,对于[,]上的任意x1,x2,有如下条件:
①;②|x1|>x2;③x1>|x2|;④.
其中能使g(x1)>g(x2)恒成立的条件序号是 .
参考答案:
③④
【分析】说明函数f(x)的奇偶性,利用导数说明函数f(x)单调性,由以上两性质可得f(x)图象类似于开口向上的抛物线,得出那个x离y轴远,对应的函数值就大.
【解答】解:∵g(x)= [(﹣x)2﹣cos(﹣x)]= [x2﹣cosx]=g(x),
∴g(x)是偶函数,∴g(x)图象关于y轴对称,
∵g′(x)=x+sinx>0,x∈(0,],
∴g(x)在(0,]上是增函数,在[﹣,0)是减函数,
故③x1>|x2|;④时,g(x1)>g(x2)恒成立,
故答案为:③④.
14. 在△ABC中,若b2=ac,则cos(A﹣C)+cosB+cos2B的值是 .
参考答案:
1
【考点】HP:正弦定理;GP:两角和与差的余弦函数;GT:二倍角的余弦.
【分析】由正弦定理可知,sin2B=sinAsinC,利用三角形的内角和,两角和与差的三角函数化简cos(A﹣C)+cosB+cos2B,然后利用二倍角公式化简即可.
【解答】解:∵b2=ac,
利用正弦定理可得sin2B=sinAsinC.
∴cos(A﹣C)+cosB+cos2B=cos(A﹣C)﹣cos(A+C)+cos2B
=2sinAsinC+cos2B=2sin2B+(1﹣2sin2B)=1.
故答案为:1.
15. 满足集合有______个
参考答案:
7
16. (5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为R上的奇函数,该函数的部分图象如图所表示,A,B分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为2,现有下面的3个命题:
(1)函数y=|f(x)|的最小正周期是2;
(2)函数在区间上单调递减;
(3)直线x=1是函数y=f(x+1)的图象的一条对称轴.
其中正确的命题是 .
参考答案:
(1)
考点: 命题的真假判断与应用.
专题: 三角函数的图像与性质;简易逻辑.
分析: 根据三角函数的奇偶性求出φ的值,由最高点与最低点间的距离、勾股定理求出ω的值,即求出函数的解析式,
利用y=|sinx|的周期求出函数y=|f(x)|的最小正周期,从而判断(1);根据正弦函数的单调性判(2);利用余弦函数的对称轴判断(3).
解答: 因为函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为R上的奇函数,
所以φ=,则函数f(x)=sin(ωx),
设函数f(x)=sin(ωx)的周期是T,
因为A,B分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为2,
所以,解得T=4,即4=,则ω=,
所以f(x)=sin(x),
对于(1),则函数y=|f(x)|=|sin(x)|的最小正周期是=2,(1)正确;
对于(2),因为f(x)=sin(x),所以函数=sin,
由x∈得,(x﹣)∈,所以在上递增,(2)错误;
对于(3),因为f(x)=sin(x),所以函数y=f(x+1)=sin=cos(x),
当x=1时,x=,所以直线x=1不是函数y=f(x+1)的图象的一条对称轴,(3)错误,
综上得,正确的命题是(1),
故答案为:(1).
点评: 本题考查命题真假的判断,主要利用三角函数的性质进行判断,比较综合,属于中档题.
17. 在用二分法求方程的一个近似解时,现在已经将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可以断定该根所在区间为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知定义域为的函数是奇函数.
(1) 求a的值, (2)判断并证明的单调性;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(1) 由得
分
检验: 时,
对恒成立,即是奇函数.
(2)判断:单调递增
证明: 设则
即
又即,即,即
在上是增函数
(3) 是奇函数
不等式
在上是增函数
对任意的,不等式恒成立
即对任意的恒成立
即对任意的恒成立
时,不等式即为恒成立,合题意;
时,有即
综上:实数的取值范围为
略
19. 已知函数的图象过点,当时,的最大值为
.
(1)求的解析式;
(2)由的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数的图象?并说明理由.
参考答案:
(1);(2)向上平移个单位,向右平移个单位,得到,是一个奇函数.
考点:三角函数的解析式;三角函数的图象及性质.
20. 某商品在近30天内,每件的销售价格(元)与时间t(天)的函数关系是:
,该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是
Q= -t+40 (0
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