湖北省武汉市墨水湖中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设0<a<1,则函数y=的图象大致为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】函数的图象.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用0<a<1,判断ax,x>0时的范围,以及x<0时的范围,然后求解ax﹣1的范围,倒数的范围,即可判断函数的图象.
【解答】解:因为0<a<1,x>0时,0<ax<1,﹣1<ax﹣1<0,<﹣1,
x<0时,ax>1,ax﹣1>0,>0,
观察函数的图象可知:B满足题意.
故选:B.
【点评】本题考查指数函数的图象,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化,注意函数的值域以及指数函数的性质.
2. 已知函数,若恒成立,则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
略
3. 存在实数x,使得不等式成立,则实数a的取值范围是( )
A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.(-2,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
参考答案:
D
4. 向量,=(x, y)若与-的夹角等于,则的最大值为( )
A.2 B. C.4 D.
参考答案:
C
由题意可知不共线 且,则有,即,即,则判别式,即,所以,即,所以的最大值为4,选C.
5. 已知函数f(x)=cos(2x﹣)(x∈R),下列结论错误的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)图象关于点(,0)对称
C.函数f(x)在区间[0,]上是减函数
D.函数f(x)的图象关于直线x=对称
参考答案:
C
【考点】余弦函数的单调性.
【分析】根据余弦函数的图象与性质,对称轴处取得函数的最值,对称中心是函数与x 轴的交点,由x的范围求得函数的单调性,即可判断选项命题的正误.
【解答】解:函数,
f(x)的最小正周期为T==π,故A正确;
当x=时,y=cos(2×﹣)=0,
∴f(x)的图象关于点对称,B正确;
x∈[0,]时,2x﹣∈[﹣,],
f(x)=cos(2x﹣)不是减函数,C错误;
当x=时,y=cos(2×﹣)=为最大值,
∴f(x)的图象关于x=对称,D正确.
故选:C.
【点评】本题主要考查了余弦函数的图象与性质的应用问题:三角函数在对称轴处取得函数的最值,对称中心是函数与x轴的交点;函数的单调区间、最值的求解采用整体处理;是基础题目.
6. 若是互不相同的空间直线,是不重合的平面,则下列命题正确的是( ▲ )
A. ????? B.
C. D.
参考答案:
D
7. 已知集合,,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8.
是成立的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
答案:C
9. 若=在上恒正,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. ,点在边上,,
设,则 ( )
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若向量,,,则 .
参考答案:
12. 已知锐角满足,则的最大值为_______________.
参考答案:
13. 设函数的最小正周期为,且其图像关于
直线对称,则下面四个结论:
① 图像关于点对称; ②图像关于点对称;
③ 在上是增函数; ④在上是减函数;
正确结论的编号是____________。
参考答案:
②③
14. 已知且,则= .
参考答案:
15. 已知直线与抛物线相交于两点,为的焦点,若,则
参考答案:
16. 已知A(1,3),B(a,1),C(﹣b,0),(a>0,b>0),若A,B,C三点共线,则 +的最小值是 .
参考答案:
11+6
【考点】基本不等式;三点共线.
【分析】由A(1,3),B(a,1),C(﹣b,0),(a>0,b>0),A,B,C三点共线,可得kAB=kAC,化为3a+2b=1.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵A(1,3),B(a,1),C(﹣b,0),(a>0,b>0),A,B,C三点共线,
∴kAB=kAC, =,化为3a+2b=1.
则+=(3a+2b)=11+≥11+3×2×=11+6,当且仅当a=b时取等号.
故答案为:11+6.
17. 若函数有3个不同零点,则实数的取值范围是
参考答案:
-2<a<2
试题分析:由函数有三个不同的零点,则函数f(x)有两个极值点,极小值小于0,极大值大于0;由,解得,所以函数f(x)的两个极,, ,∴函数的极小值f(1)=a-2和极大值f(-1)=a+2.因为函数有三个不同的零点,所以a+2>0,a-2<0,解之,得-2<a<2.故实数a的取值范围是A.
考点:1.利用导数判断函数的单调性;2.函数的零点.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在直角梯形ABCD中,,平面ABCD外一点P在平ABCD内的射影Q恰在边AD的中点Q上,.
(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若M在线段PC上,且PA∥平面BMQ,求点M到平面PAB的距离.
参考答案:
(1)证明见解析;(2).
【分析】
(1)推导出PQ⊥平面ABCD,PQ⊥AD,CD∥BQ,从而BQ⊥AD,进而AD⊥平面PBQ,由此能证明平面PQB⊥平面PAD.
(2)连接AC与BQ交于点N,则N为AC中点,则点M到平面PAB的距离是点C到平面PAB的距离的,求出三棱锥P-ABC的体积V=,PAB的面积为,设点M到平面PAB的距离为d,由VC-PAB=VP-ABC,能求出点M到平面PAB的距离.
【详解】(1)∵P在平面ABCD内的射影Q恰在边AD上,
∴PQ⊥平面ABCD,
∵AD?平面ABCD,∴PQ⊥AD,
∵Q为线段AD中点,
∴CD∥BQ,∴BQ⊥AD,∴AD⊥平面PBQ,AD?平面PAD,
∴平面PQB⊥平面PAD.
(2)连接AC与BQ交于点N,则N为AC中点,
∴点M到平面PAB的距离是点C到平面PAB的距离的,
在三棱锥P-ABC中,高PQ=,底面积为,
∴三棱锥P-ABC的体积V==,
又△PAB中,PA=AB=2,PB=,
∴△PAB的面积为,
设点M到平面PAB的距离为d,
由VC-PAB=VP-ABC,得=,
解得d=,
∴点M到平面PAB的距离为.
【点睛】本题主要考查面面垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想,是中档题.
19. 2014年3月1日,部分高校在湖南省城长沙举行自主招生笔试,岳阳、长沙两城之间开通了高速列车,假设岳阳到长沙每天8:00–9:00,9:00–10:00两个时间段内各有一趟列车从岳阳到长沙(两车发车情况互不影响),岳阳发车时间及其概率如下表所示 :
发车时间
8:10
8:30
8:50
9:10
9:30
9:50
概率
若甲、乙两位同学打算从岳阳到长沙参加自主招生,假设他们到达岳阳火车站候车的时间分别是周五8:00和周六8:20.(只考虑候车时间,不考虑其它因素)
(1)设乙同学候车所需时间为随机变量X,求X的分布列和数学期望;
(2)求甲、乙二人候车时间相等的概率.
参考答案:
解:(1)X的所有可能取值为10、 30、 50、 70、90(分钟).2分
其概率分布列如下
X
10
30
50
70
90
P
6分
(2)甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为
, ,;………8分
, ,………10分
所以=++==,即甲、乙二人候车时间相等的概率为………12分
略
20. (本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点在单位平面上,∠xOA=α,∠AOB=,且α∈(,).
(Ⅰ)若cos(α+),求的值;
(Ⅱ)过点A,B分别做x轴的垂线,垂足为C、D,记△AOC的面积为S1,△BOD的面积为S2.设f(α)=S1+S2,求函数f(α)的最大值.
参考答案:
(Ⅰ)由三角函数的定义有, ……………………2分
∵ ,
∴ , ………………………………………………………………4分
∴ ,
∴ . …………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由,得.
又,于是,
∴ , ………………8分
∴
=
=
=
=
,即.………………………………12分
21. 在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为,
.
(Ⅰ)求C的参数方程;
(Ⅱ)设点D在C上,C在D处的切线与直线垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
参考答案:
22. 已知函数f(x)=|x﹣1|.
(1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;
(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f().
参考答案:
【考点】绝对值不等式的解法;不等式的证明.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】(Ⅰ)根据f(x)+f(x+4)=|x﹣1|+|x+3|=,分类讨论求得不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集.
(Ⅱ)要证的不等式即|ab﹣1|>|a﹣b|,根据|a|<1,|b|<1,可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 >0,从而得到所证不等式成立.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)+f(x+4)=|x﹣1|+|x+3|=,
当x<﹣3时,由﹣2x﹣2≥8,解得x≤﹣5;
当﹣3≤x≤1时,f(x)≤8不成立;
当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3.
所以,不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤﹣5,或x≥3}.
(Ⅱ)f(ab)>|a|f(),即|ab﹣1|>|a﹣b|.
因为|a|<1,|b|<1,
所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=(a2b2﹣2ab+1)﹣(a2﹣2ab+b2)=(a2﹣1)(b2﹣1)>0,
所以|ab﹣1|>|a﹣b|,故所证不等式成立.
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了等价转化和分类讨论的数学思想,属于中档题.